三角形易错易混点解析

易错点1 忽视构成三角形的条件

例1 已知一个三角形有两边相等，且其中某两边长分别是2cm和4cm，则这个三角形的周长为 .

【错解】这个三角形的周长为8cm和10cm.

【剖析】分两种情况讨论：

（1）当相等两边长均为2cm时，由于2+2=4，不符合“三角形任何两边的和大于第三边”；

（2）当相等两边长均为4cm时，由于2+4>4，此时能构成三角形，周长为10cm.

【点评】求三角形的周长时，必须考虑三角形三边关系是否成立.

易错点2 忽视三角形高线位置的分类讨论

例2 已知AD是△ABC的边BC上的高线，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC= .

【错解】∠BAC=90°.

[图1][图2]

【剖析】当高AD在△ABC的内部时（如图1），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；当高AD在△ABC的外部时（如图2），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上可知，∠BAC的度数为90°或50°.

【点评】三角形的高线因三角形的形状不同而位置不同，对于与三角形高线有关的问题，需根据三角形的具体形状进行分类讨论.

易错点3 忽视全等三角形的对应关系

例3 已知△ABC与△A′B′C′全等，其中∠A=60°，∠B′=40°，∠A′=80°，BC=3，则A′B′的长为（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.不确定

【错解】D.

【剖析】由于思維定式，误认为A′B′=AB，且它们是未知的，故选D.

∵∠A′+∠B′+∠C′=180°，∠A′=80°，∠B′=40°，∴∠C′=60°，可得∠C′与∠A是对应角，即边A′B′与边BC是对应边，则A′B′=BC=3.

【点评】在确定全等三角形的对应角、对应边时，易受思维定式的影响而找错对应边、对应角，应根据角度相等找到对应角，从而找到对应边.

易错点4 忽视三角形全等判别方法的正确应用

例4 如图3，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，且CD=BE.△ADC与△AEB全等吗？说明理由.

图3

【错解】因为AB=AC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA）.

【剖析】错解在于把“SSA”作为三角形全等的判别方法.

【正解】△ADC≌△AEB.

∵AB=AC，D、E为AB、AC的中点，∴AD=AE.在△ADC和△AEB中，∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.

【点评】判断全等三角形的方法一般为“ASA”“SAS”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”属于直角三角形.很多同学在证明三角形全等的时候常常应用并不成立的“SSA”定理.

易错点5 忽视等腰三角形、直角三角形问题中的分类讨论

例5 等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）.

A.40° B.100° C.70° D.40°或70°

【错解】A.

【剖析】等腰三角形的一个外角可以是底角的邻补角，也可以是顶角的邻补角.

【正解】D.

【点评】解决等腰三角形角的问题时，注意根据顶角或底角的特征进行分类讨论；在解决等腰三角形边的问题时，注意根据腰或底边的特征进行分类讨论.

例6 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边的长.

【错解】第三边的长为5.

【剖析】若3、4都为直角边长，则第三边长为[32+42]=5；若3为直角边，4为斜边长，则第三边长为[42-32]=[7].

【点评】当所给出的直角三角形的已知边没有具体指明是直角边还是斜边时，要分情况讨论，防止漏解.

易错点6 忽视勾股定理的逆定理的正确理解

例7 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，其中a=[54]，b=1，c=[34].

【错解】不是.

【剖析】∵a2=[2516]，b2=1，c2=[916]，∴b2+c2=a2，即线段a、b、c组成的三角形是直角三角形.

【点评】由边长关系判定直角三角形时，常常误认为以a、b、c为边的三角形，只有当a2+b2=c2时才是直角三角形，实际上只要存在两边的平方和等于第三边的平方，就可判定一个三角形是直角三角形.

易错点7 忽视等腰三角形的性质与判定的灵活运用

例8 如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF.

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由.

图4

【剖析】不能找到∠GDF=∠DFG，DE=EF，从而不能由等腰三角形的三线合一性质得到EG⊥DF.

【正解】（1）∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，∠DAE=∠FBE.

∵E是AB的中点，∴AE=BE.

∴△ADE≌△BFE.

（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF.

∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，

∴∠GDF=∠BFE，

∴GD=GF.由（1）得DE=EF，∴EG⊥DF.

【点评】要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：①等角对等边；②三角形全等；③利用垂直平分线的性质.在已知的等腰三角形中，应灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决线段之间的数量与位置关系.

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中学）