电容式传感器测量用二极管双T型交流电桥的分析

黄 帅，黄 伟，陈 琳，张双银，杜和萍

（ 1.铜仁学院 大数据学院，贵州 铜仁 554300；2.铜仁学院 材料与化学工程学院，贵州 铜仁 554300）

0．引言

电容式传感器是将非电量的变化转换为电容量的变化，从而实现对非电量的测量[1]。对电容量变化的测量是通过合适的调理电路将其转化为与其成正比的电压、电流或频率进行的[2]，相应的调理电路有调频电路、运算放大器、变压器式交流电桥、二极管双T型交流电桥、脉冲宽度调制电路等[3-6]。二极管双T型交流电桥的优点是电路简单，无需相敏检波和整流电路，便可得到较高的直流输出电压。在“传感器原理及实验”课程所用的教材中仅给出了二极管双T型交流电桥输出电压的近似结果，教学中会让学生对此产生突兀和困惑。因此对该结果的来历的详细分析是很有必要的，是对教学内容的补充和完善。同时，后续相关科研项目的开展将采用二极管双T型交流电桥对电容进行测量。为保证相关系统的准确性和可靠性，对二极管双T型交流电桥输出电压的详细推导和影响因素分析也是非常有必要的。本文将从电路基本原理和分析方法出发，详细推导二极管双T型交流电桥的输出电压，并分析相关电路参数对输出电压的影响。

1．理论分析

二极管双T型交流电桥的电路由二极管VD1、VD2、电容C1、C2、电阻R1、R2、负载RL，以及周期方波信号u构成，如图1（a）所示。方波信号u的周期为T，最大值和最小值分别为+U和-U，如图1（b）所示。在u的正半周期，二极管VD2导通，VD1截止，忽略二极管上的压降，等效电路如图1（c）所示；由于充电电阻很小，对电容C2的充电很快就完成，因此等效电路又可简化为图1e）所示电路，其中电容C1的初始电压UC1_0（在图示参考方向下，其值为-U）可由负半周的等效电路分析得到。同理，在u的负半周期，二极管VD1导通，VD2截止，等效电路如图1（d）所示；等效电路又可简化为图（1f）所示电路，在图示参考方向下电容C2的初始电压UC2_0=-U，可由正半周的等效电路分析得到。

对图1e）应用网孔电流法[7]，可得电路方程组如式（1）～式（3）所示。

附加电容C1的初始条件如式（4）所示。

联立式（1）-（4）式，即可求出电路的解。

由式（1）可得出I12，如式（5）所示。

将式（5）代入式（2）得出I11，如式（6）所示。

将式（3）代入式（6）得到关于UC1的微分方程，如式（7）所示。

则式（7）化简为式（7′）。

求解式（7′）得出UC1，如式（8）所示。

式（8）中A、B为待定常数。分析图1e）的电路可知，当时间t→∞，电容C1两端的电压与电阻RL两端的电压URL_∞相等，而URL_∞又等于电阻R2与RL串联回路在RL上的分压，如式（9）所示。

将电容的初始条件式（4）代入式（8），并利用B=1，得出系数A，如式（10）所示。

则UC1可表示为式（11）所示。

将式（11）代入式（3）可得电流I11，如式（12）所示。

利用式（5）及式（12），在正半周期电阻RL两端的电压可表示为式（13）所示。对式（13）在正半周期内积分，可得RL两端的平均压降，如式（14）所示。

同理，对图1f）应用网孔电流法，附加电容C2的初始条件，可得电路方程组，如（15）-（18）式所示。

联立式（15）～式（18）可求得在负半周期电阻RL两端的电压，如式（19）所示：

图1 二极管双T型交流电桥 (a)电路构成，(b)周期信号，(c)信号正半周期等效电路，(d)信号负半周期等效电路，(e)信号正半周期简化电路，(f)信号负半周期简化电路Fig.1 Diode-double-T-type alternating current bridge

由式（14）和式（20）可得在一个信号周期内电阻RL两端的平均电压，如式（21）所示。

2．电路参数对输出电压的影响

在式（21）第一项中对负载RL求导数，并令其等于零，可得RL=R1时，该项绝对值取最大值（因其对RL的二阶导数小于零）为因此，为减小与待测电容无关的输出项，应尽可能的使R2=R1，工程应用时R2、R1应选用同一厂家同一批次的产品，或在R2或R1的支路上串联一个可变电阻来调节实现。如若不能实现R2=R1，则应选择R2、R1使其远离RL。

式（21）中第二项与各电路参数的关系较为复杂，后续讨论将基于前面的结论作简化分析。考虑n=1，则式（21）可简化为式（22），时间常数则简化为式（23）。

当信号周期远大于电容充放电的时间常数，即T≫τ1,τ2时，，，则在整个信号周期内电阻RL两端的平均电压如式（24）所示，这正是教材中给出的近似结果，它与两个电容的差值成线性关系。

式（24）中f=1/T，为周期信号的频率。式（24）对R1、RL的导数均大于零，二阶导数均小于零，即是说电阻RL两端的平均电压随电阻R1、RL的增大而增大，但增大的速率减小。同时其随信号频率的增大而增大，即要求周期越小越好。但R1、RL的增大会导致τ1、τ2增大，使Tτ1,τ2不满足，式（24）就不成立。在式（23）中，RL趋近于0时，τ1=R1C1、τ2=R1C2；RL趋近于∞时，τ1=2R1C1、τ2=2R1C2。因此，时间常数主要取决于R1与C1或C2的乘积，RL对其影响不大。

则在整个信号周期内电阻RL两端的平均电压如式（25）所示，结果为零。其原因为脉冲电压源的频率过高，电容电压来不及变化，电容上储存的电荷就不能通过电阻RL释放，导致电阻RL两端的平均电压与电容值无关。

综上所述，脉冲电压源的频率过低，电阻RL两端的平均电压很小；频率过高，电阻RL两端的平均电压为零。在实际工程应用时，应根据被测电容的大小，选择合适的电阻R1，在保证激励信号的周期远大于时间常数τ1、τ2的条件下，尽可能地的提高信号频率，可获得更大的输出电压。

3．结论

从基本的电路理论和分析方法对二极管双T型交流电桥输出电压作了详细的推导，是对“传感器原理及实验”课程中有关二极管双T型交流电桥部分的内容的补充和完善，能让学生透彻的理解近似结果的来历。同时，详细分析了相关电路参数对输入电压的影响，为后续相关项目的开展过程中采用二极管双T型交流电桥对电容进行测量的电路设计提供了技术参考。为保证调理电路获得尽可能大的输出电压，设计时应根据被测电容的大小，选择合适的电阻R1，在保证激励信号的周期远大于时间常数τ1、τ2的条件下，尽可能提高信号频率。

参考文献：

[1]胡向东．传感器与检测技术[M]．北京：机械工业出版社，2013：75．

[2]佘生能，孙士平．电容传感器新型电容测量电路设计[J]．中国测试技术，2005，31（5）：42-43．

[3]赵树忠，安晓星．平板电容式液体介电常数测试系统[J]．山东工业技术，2016（1）：178-179．

[4]邵学涛，李新娥．振荡式微小电容测量电路[J]．电子测试，2011（1）：50-53．

[5]黄雨濛，戚昊琛，胡智文，等．MEMS电容式压力传感器检测电路比较研究[J]．电子科技，2015，28（1）：186-189．

[6]孙杰．电容式加速度传感器检测电路的设计与研究[D]．上海：复旦大学，2013：32-42．

[7]王雷，王保良，冀海峰，等．电容传感器新型微弱电容测量电路[J]．传感技术学报，2002（4）：273-277．

[8]李瀚荪．电路分析基础（上册）[M]．北京：高等教育出版社，2006：62-68．