基于VaR的风险平价模型及实证研究

【摘要】由于波动率难以描述资产的下行风险，构造了基于VaR的风险平价模型，该模型采用VaR值来度量资产的风险，然后运用风险平价的思想来构造投资组合。实证研究结果表明：基于该模型构造的投资组合虽然在年化收益方面不及传统的等权重投资组合，但是却在风险控制及夏普比率、卡尔玛比率方面具有明显优势。对于追求夏普比率最大化或者卡尔玛比率最大化的投资者来说，基于该模型构造的投资组合不失为合理选择。

【关键词】风险平价 在险价值 资产配置 均值-方差模型

所谓大类资产配置，顾名思义，就是选取标的资产类别的投资策略。20世纪50年代以来，出现了很多投资组合优化模型，这些优化模型在投资决策中扮演着重要角色。最优投资组合构造方法中的一个知名例子就是均值-方差模型，由马科维茨提出的均值-方差模型被视作投资组合优化领域的基本框架。第一次为风险和收益提供了一个量化的视角。近年来，基于配置因子的资产配置理论得到了长足的发展，其中最为典型的代表就是风险平价理论。

本文对大类资产配置理论进行了全面的总结和归纳，并深入分析了风险平价理论及其缺陷，并在此基础上，创新性地提出了基于VaR的风险平价理论。最后运用股票、债券和大宗商品三类资产利用基于VaR的风险平价理论进行了实证研究。

一、资产配置文献综述

素有“全球资产配置之父”之称的Brinson的研究指出，从长期来看，美国共同基金90%以上的投资收益都是来自成功的资产配置。虽然大类资产配置对投资业绩的重要性到底有多大至今仍然没有盖棺定论，但自Markowitz在1952年提出投资组合理论后，世界就开启了资产配置的浪潮。大类资产配置理论也从恒定混合策略和现代投资组合理论发展到基于大数据和机器学习的资产配置策略，经历了一个从静态到动态、从定性到定量的过程。

在20世纪50年代以前，虽然许多投资者已经意识到资产配置的重要性，但仅停留在对其风险分散功能的认可层面，采用的配置方法一般为简单的恒定混合策略，即保持投资组合中各类资产的价值权重不变。当某项资产相对于其他资产价格下跌时，投资者将买进该资产，反之则卖出。相较于买入并持有策略（Buy and Hold Strategy），恒定混合策略（Constant-mix Strategy）形成的投资组合对资产有分散风险的作用，但下跌保护的能力和自身持续增值的能力都较弱。典型的恒定混合型配置策略包括等权重投资组合（equally weighted portfolio）和经典的60/40投资组合策略。

Sharpe、Lintner和Mossin在均值方差模型的基础上建立了资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM），如果说在有效市场和理性人的假设下，Markowitz的组合理论解决了投资组合的可行性区域的存在问题，那么CAPM模型则在单一风险资产的假设下，进一步推导出了最优的收益风险组合是切点组合，而这一组合与不同投资者的个人偏好无关。根据CAPM模型，无风险利率、市场收益率以及该资产与市场整体的相关性（所谓β），这三个因素就可以给出一个资产的“合理”定价。这一方面给予测度均衡价格一个可用的框架，另一方面也引入β这个风险的另一种衡量方式，加深了对于风险的理解。

Fisher Black和Robert Litterman在高盛（Goldman Sachs）任职期间提出B-L模型，该模型在数量化模型的基础上，增加了投资者对各类资产的主观观点。此后可用于实践的量化型大类资产配置策略才开始发展壮大。

风险平价模型属于一种将组合的长期收益着眼于风险控制上的投资策略。该模型的目的是使各类资产对总风险的贡献相等，即资产配置组合面对不同因子的风险敞口（或称为风险贡献度）暴露程度等同。风险平价以风险为立足点，避免了对回报进行预测的不确定性。追求组合风险敞口的理念起源于20世纪90年代桥水基金（Bridge Water）的”全天候“投资组合（All Weather Portfolio）：当中长期宏观环境处于通胀压力加强或减弱、经济增长相较于预期过高或过低四种状態且无法预判时，等量持有四种子投资组合可以保证无论出现哪种经济环境，至少有一个子组合表现优异。风险平价的投资理念在后金融危机时期受到广泛关注，因为研究发现，大多数机构投资者尽管进行了分散投资，但投资组合的风险仍然集中在少数具有高波动的资产上。即使是以分散化著称的市场投资组合，也被证实没有达到所期望的风险分散效果，从市场整体表现来看，风险平价型基金过去20年来的收益水平位于行业前列。

二、风险平价问题

大量基于马科维茨均值-方差框架的方法被提出，用来克服其缺点并保持其优点。风险平价的思想并不新颖，可以被视作一种特殊类型的分散化策略。其目标是构造一个各类资产风险贡献相同的投资组合，是两种著名分散化技术（最小方差优化方法和等权重组合方法）的折中。过去几年间，已经出现了相当数量的风险平价研究成果。

这里我们简单介绍一下最小方差模型，并在此基础上引出多头风险平价模型，然后进一步放松约束条件引出多空风险平价模型。

（一）最小方差模型

假设有n种风险资产。他们的协方差通过半正定协方差矩阵Σ来表示，通过最小化纯多头投资组合的方差来实现对投资组合的优化：

■ （1）

这里■代表各类资产在投资组合中的权重。根据最优化理论不难求解得到：

■ （2）

需要指出的是，■代表边际风险贡献，■为投资组合的波动率，用以衡量组合的整体风险。也就是说当投资组合中各类资产的边际风险贡献相等时，资产组合具有最小方差。

（二）风险平价模型

最小方差投资组合保证了投资组合的方差最小，即投资组合的风险最小。但是从收益-风险比的角度来看，该投资组合一般都不是最优的。因为边际风险贡献代表的是每增加一单位该资产会增加的风险，并没有反应该资产的增加对整个投资组合整体风险的影响。因此，我们需要利用风险贡献值来衡量每一个资产对整个投资组合风险的贡献。

风险贡献值■的定义为：

■ （3）

其含义是资产i对整个投资组合的风险贡献大小，其中ωi表示资产i在投资组合中的权重。为了分散投资風险，我们需要使投资组合中每类资产的风险贡献都相同，由此引出了风险平价模型。

基于风险平价模型构造的投资组合中，每类资产对于投资组合的风险贡献相等。本文中，运用波动率作为风险测度。因此，风险平价问题就是找出满足以下条件的投资组合：

■ （4）

由于公式（4）是条件约束优化问题，所以可能存在无解的情况。此时，需要通过公式的变体来寻找“接近风险平价的”解。

如果任何两种资产之间的相关系数是常数，即■，此时封闭形式解通过文献[15]的假设进行推演后得到如下解：

■ （5）

风险平价法构造组合仅仅是基于风险维度，而均值-方差模型所构造组合需要的输入变量有收益和风险两种，同时均值-方差模型是建立在微观经济学中的效用函数分析框架之下的，这也是均值-方差模型的重要理论基础。但是在一定的条件下，经由风险平价法构造的组合的权重向量和均值-方差法的结构能够保持一致。这些条件是：第一，所有资产的Sharpe Ratio是相同的。第二，资产之间具有低相关性。

另外，虽然风险平价不需要把资产收益率作为输入变量，但是风险的计算需要基于收益率的原始数据。DeMiguel、Garlappi和Uppal认为简单的等权策略凭借其在输入变量估计偏差的消除弥补了在多样化思想上的不足，导致了等权策略往往能够在现实市场环境中表现得比均值-方差策略好，同时他们认为，风险平价策略是一种介于等权策略和均值-方差策略之间的资产配置方法，在特定的环境下，具有重大意义。

（三）风险平价的不足

首先，风险平价策略将资产价格的波动率当作衡量风险的手段。如果资产价格的波动性呈正态分布、或者类似正态分布，那么波动性可以作为衡量风险的手段。比如，极端事件发生的概率应该符合波动性的正态分布。但是，从历史上看，这是不正确的。大多数金融资产的价格波动远远超过了正态分布的规律，因此价格的波动性不能够完全衡量一项资产的风险。

其次，风险平价策略并没有准确的反映投资者的心理。投资者对遭受损失的负面感受远远强于获利的正面感受，这是显而易见的。在风险平价策略中，资产价格上涨与价格下跌有均等的风险。但是，投资者不把价格上涨的风险与价格下跌的风险等同看待。风险平价策略并不能够反映投资者对其资产组合的真正看法。

因此，从根本上讲，风险平价策略歪曲了资产的真实风险，也不能反映投资者的真实想法。投资顾问们应该帮助客户找到一种方式准确的反映市场风险和投资机会。风险平价策略不能够实现这个目的。

三、基于VaR的风险平价模型

其实对于风险，理论上还没有统一的定义。风险都是源自未来事件的不确定性，从数学角度看，它表明的是各种结果发生的可能性。风险衡量所要解决的两个问题是损失概率和损失严重程度，其最终目的是为风险决策提供信息。

VaR（Value at Risk）按字面解释就是“在险价值”，其含义指：在市场正常波动下，某一金融资产或证券组合的最大可能损失。更为确切的是指，在一定概率水平（置信度）下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。用公式表示为：

■ （6）

其中，p表资产价值损失小于可能损失上限的概率，■代表某一金融资产在一定持有期■的价值损失额，VaR表示给定置信水平α下的在险价值，即可能的损失上限，α代表给定的置信水平。

此时，投资组合中各个资产的风险贡献值可以用ComponentVaRi来表示，其定义如下：

■ （7）

其含义为将VaR作为风险计量指标时，投资组合中每类资产的VaR对投资组合VaR的贡献，其中■表示资产i在投资组合中的权重。其中ComponentVaRi表示投资组合i的ComponentVaR，VaRp表示投资组合的VaR。

为了使每类资产对于投资组合的风险贡献相等，在所有资金都配置到了该投资组合中，并且投资组合不允许卖空的情况下，基于VaR的风险平价问题就是找出满足以下条件的投资组合。

■ （8）

四、实证分析

为了验证模型的有效性，利用流动性较好的资产进行实证分析十分必要。本节将选取最有代表性的股票、债券和大宗商品三大类资产在基于上文提到的模型基础上构建资产组合。

（一）数据选取

以万得全A、中证全债指数和南华商品指数来分别代表股票、债券、商品等三种大类资产，选取日期为2012年1月1日至2017年10月31日。此期间三类资产的价格走势如图1所示。

整个区间三类资产的收益率相关性如表1所示。从表1中可以看出三类资产之间具有较低的相关性，这为风险平价理论的成功应用奠定了基础。

（二）模型设定

利用最近1年的收益数据来计算资产在95%置信区间内的VaR值，每半年调仓一次。即第一次建仓日在2013年1月4日，其资产的配置权重利用2012年1月1日至2012年12月31日的历史数据，并按照基于VaR的风险平价模型计算得出。以此类推，后续的调仓日期分别在2013年7月1日、2014年1月2日、2014年7月1日、2015年1月5日、2015年7月1日、2016年1月4日、2016年7月1日、2017年1月3日和2017年7月3日。

在5%置信水平下，设三种资产的配置权重分别为ω1、ω2和ω3，通过历史模拟法计算出三种资产的VaR值分别为VaR1、VaR2和VaR3，三种资产之间的相关性分别为ρ12、ρ13和ρ23。此时投资组合p的组合VaR值为：

■（9）

利用式（8）和式（9）不难求得在各个调仓时点的大类资产配置比例如表2所示。

不难看出，基于VaR的风险平价模型配置的投资组合在风险较低的债券类资产上配置了绝大多数的资金，而在风险较大的权益类资产和大宗商品资产上配置的权重始终较低。这也从另一方面反映了该投资组合风险控制较好的原因。

（三）实证结果分析

图2给出了从2013年1月1日起，VaR风险平价组合、等权重组合与三大类基础资产的价格走势。

与传统的等权重资产组合相比，VaR风险平价组合在最大回撤、年化波动率、夏普比率和卡尔玛比率方面有明显优势，但是年化收益率不如等权重组合。

总的来看，VaR风险平价组合的风险水平介于权益类资产和固定收益类资产之间，其收益能力也介于这两类之间之间。但是夏普比率和卡尔玛比率都有一定的优势。对于追求夏普比率最大化或者卡尔玛最大化的投资者来说，VaR风险平价组合不失为一种优秀的投资建模方法。

五、总结与展望

本文提出了一个基于VaR的风险平价模型，改模型采用VaR作为度量投资风险的指标，在一定程度上克服了以波动率作为风险指标的弊端。并基于该模型为万得全A指数、中证全债指数和南华商品指数三种资产构造了一个投资组合。实证研究结果表明：基于改模型构造的投资组合虽然年化收益不及传统的等权重组合，但是其在风险控制方面却具备明显优势。

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作者简介：赵建林（1982-），男，河南焦作人，中央财经大学保险学院博士后研究员，主要从事资产配置和风险管理研究。