函数与方程思想在求数列通项中的应用分析

周宇衡

摘要：随着数学教学改革工作的不断推进，数学思想在数学问题解决中的作用渐渐凸显，这不仅能够提高数学问题解决效率，而且还能降低失误率。数列通项问题解决时，应用函数与方程思想，同样能够缩短问题解决时间，并且学生的数学思维也能得到拓展。本文简要介绍函数思想、方程思想定义的基础上，重点探究其在数列通项中的具体应用。

关键词：函数思想；方程思想；数列通项；应用分析

前言：

近年来，数学问题解决难度逐渐加大，这在一定程度上会加大学生在数学学习方面的压力，导致学生的数学成绩下降，基于此，渗透函数与方程思想是极为必要的，这能在开阔学生学习思路的前提下，降低数列通项的难度，最终节省问题解决时间。由此可见，本文探究这一论题具有一定教育意义，能够为数学教师以及学生提供参考。

1函数思想与方程思想

1.1函数思想

所谓函数思想，指的是分析数学数量关系时，坚持应用动态观点完成函数的构建，同时，借助函数图像进行问题分析，必要时通过问题转化来探索问题解决的最佳方法。换言之，函数思想即应用函数知识进行问题分析，在此期间，应用到的函数性质即周期性、图像变换、单调性、最值、奇偶性等[1]。

1.2方程思想

所谓方程思想，指的是探究数学计算中的等量关系，通过成立方程组、解答方程组等方式进行问题转化，最终获得问题解决的最佳途径。在了解方程本质的基础上，深入分析其中包含的等量关系，进而探索到问题解决的最佳途径。

函数思想与方程思想存在直接联系，并且二者间互相转化，进而能够降低问题解决难度，探索到最佳解决方法，最终达到化繁为简的解题目标，大大提高这两种思想在数学解题（数列通项）中的应用率。

2应用分析

数列通项问题中应用函数与方程思想，即对已知关系式进行消元处理，并将得到的等式再次变形、转化，进而能够对问题简化处理，降低问题解决难度。下文具体介绍了数学思想在差异化数列通项问题中的具体应用，通过案例分析探究函数与方程思想的应用意义[2]。

2.1应用类型一

在Hn=f（n）中，求数列通项——Mn的应用，其中，数列通项关系式为Mn=H1，n=1；Mn=H1-Hn-1，n≥2。借助这一关系得到Hn或Mn的等式，然后再次变形转化。

例题1：已知数列{Mn}的前n项和Hn=2n2+3n，求数列通项Mn。

例题2：已知已知数列{Mn}的前n项和Hn=2n2+3n+2，求数列通项Mn。

分析可知，例题1和例题2计算数列通项Mn（n≥2）时得到Mn=4n+1，由Hn=f（n）可知，两数列不相一致，这主要因数列中M1不同导致。

例题3：已知数列{Mn}的前n项和Hn=2×3n-2，求数列通项Mn。

例题4：已知数列{Mn}的前n项和Hn=2×3n+3，求数列通项Mn。

分析可知，例题3和例题4计算数列通项Mn（n≥2）时得到Mn=4×3n-1，据Hn=f（n）可知，两数列存在差异，这主要因数列中M1不同导致。所以，应用数列通项关系式Mn=H1，n=1；Mn=H1-Hn-1，n≥2时，应对M1进行检验分析，即检验M1（n≥2）是否满足，最后得到的结论有两种情况，第一种情况即条件满足时，应“合二为一”予以处理；第二种情况即条件不满足时，应“一分为二”处理，这时Mn=f（n）属于分段函数。

此外，针对例题对比分析，这能巩固学生对已学数列通项知识的理解，使学生灵活变通在数学学习中遇到的等差数列和等比数列前n项和。渗透函数与方程思想后，学生会掌握这样的解题思路，即消除Hn和Mn，分别剩余仅含Mn和Hn的关系式，数列通项问题解决时应检验M1。

2.2应用类型二

在mn+1=λmn+f（n）以及mn+2=Amn+1+Bmn，求mn的应用。数列通项练习时，常常遇到递推公式，如mn+1=λmn+f（n），一般来讲，需要形成新的等比数列来运算，在此期间，待定系数法具有应用必要性。

例题1：已知数列{Mn}满足mn+1=2mn+3，并且m1=6，求数列通项mn。

分析可知，假设mn+1+x=2（mn+x），将其对比于mn+1=2mn+3，求得x=3，即mn+1+3=2（mn+3）。从中能够看出，新的等比数列{mn+3}（首项9，公比2），进而再次求解。

例题2：首相为1的正项数列{Mn}，满足（n+1）m2n+1-nm2n+mn+1×mn=0，求数列通项mn。

分析可知，（n+1）m2n+1-nm2n+mn+1×mn=0，应用方程法进行求解，求解过程如下：

[（n+1）mn+1-nmn]（mn+1+mn）=0

mn+1=

×mn

之后再次求解，从例题2解题过程可知，遇到递推公式后，应构造新的数列，这能加快求解速度。

数列不同于一般函数，它需要借助通项公式来求解，实际解题的过程中，还应以函数思想或者方程思想来解决复杂问题，因此，数学教师解決数列通项问题时，应拓展学生的解题思路，深入挖掘内在数学思想，以此提高数列通项的解决速度和质量，这对学生对数学学习自信心增强有促进作用。

结论：

综上所述，本文探究“函数与方程思想在求数列通项中的应用分析”这一论题，不仅能够起到数学思维激发的作用，而且还能缓解教师的教学压力，同时，学生学习数列通项的压力也能逐渐减小，这对师生关系增进，数学教学效率提高有促进作用。因此，数学教师应巧妙渗透方程思想和函数思想，通过数学思想运用，大大提高解决速度，节省更多的解题时间。这不仅能够深化数学教学改革，而且还能强化师生的数学意识。

参考文献：

[1]刘祖萌.函数方程思想运用于高中数学解题的思路方法[J].农家参谋，2017（16）：58.

[2]崔声隆.函数与方程思想在求数列通项中的应用[J].福建教育学院学报，2014，15（02）：65-67.