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函数与方程思想在求数列通项中的应用分析

2018-04-25周宇衡

神州·上旬刊 2018年4期
关键词:方程思想函数思想应用分析

周宇衡

摘要:随着数学教学改革工作的不断推进,数学思想在数学问题解决中的作用渐渐凸显,这不仅能够提高数学问题解决效率,而且还能降低失误率。数列通项问题解决时,应用函数与方程思想,同样能够缩短问题解决时间,并且学生的数学思维也能得到拓展。本文简要介绍函数思想、方程思想定义的基础上,重点探究其在数列通项中的具体应用。

关键词:函数思想;方程思想;数列通项;应用分析

前言:

近年来,数学问题解决难度逐渐加大,这在一定程度上会加大学生在数学学习方面的压力,导致学生的数学成绩下降,基于此,渗透函数与方程思想是极为必要的,这能在开阔学生学习思路的前提下,降低数列通项的难度,最终节省问题解决时间。由此可见,本文探究这一论题具有一定教育意义,能够为数学教师以及学生提供参考。

1函数思想与方程思想

1.1函数思想

所谓函数思想,指的是分析数学数量关系时,坚持应用动态观点完成函数的构建,同时,借助函数图像进行问题分析,必要时通过问题转化来探索问题解决的最佳方法。换言之,函数思想即应用函数知识进行问题分析,在此期间,应用到的函数性质即周期性、图像变换、单调性、最值、奇偶性等[1]。

1.2方程思想

所谓方程思想,指的是探究数学计算中的等量关系,通过成立方程组、解答方程组等方式进行问题转化,最终获得问题解决的最佳途径。在了解方程本质的基础上,深入分析其中包含的等量关系,进而探索到问题解决的最佳途径。

函数思想与方程思想存在直接联系,并且二者间互相转化,进而能够降低问题解决难度,探索到最佳解决方法,最终达到化繁为简的解题目标,大大提高这两种思想在数学解题(数列通项)中的应用率。

2应用分析

数列通项问题中应用函数与方程思想,即对已知关系式进行消元处理,并将得到的等式再次变形、转化,进而能够对问题简化处理,降低问题解决难度。下文具体介绍了数学思想在差异化数列通项问题中的具体应用,通过案例分析探究函数与方程思想的应用意义[2]。

2.1应用类型一

在Hn=f(n)中,求数列通项——Mn的应用,其中,数列通项关系式为Mn=H1,n=1;Mn=H1-Hn-1,n≥2。借助这一关系得到Hn或Mn的等式,然后再次变形转化。

例题1:已知数列{Mn}的前n项和Hn=2n2+3n,求数列通项Mn。

例题2:已知已知数列{Mn}的前n项和Hn=2n2+3n+2,求数列通项Mn。

分析可知,例题1和例题2计算数列通项Mn(n≥2)时得到Mn=4n+1,由Hn=f(n)可知,两数列不相一致,这主要因数列中M1不同导致。

例题3:已知数列{Mn}的前n项和Hn=2×3n-2,求数列通项Mn。

例题4:已知数列{Mn}的前n项和Hn=2×3n+3,求数列通项Mn。

分析可知,例题3和例题4计算数列通项Mn(n≥2)时得到Mn=4×3n-1,据Hn=f(n)可知,两数列存在差异,这主要因数列中M1不同导致。所以,应用数列通项关系式Mn=H1,n=1;Mn=H1-Hn-1,n≥2时,应对M1进行检验分析,即检验M1(n≥2)是否满足,最后得到的结论有两种情况,第一种情况即条件满足时,应“合二为一”予以处理;第二种情况即条件不满足时,应“一分为二”处理,这时Mn=f(n)属于分段函数。

此外,针对例题对比分析,这能巩固学生对已学数列通项知识的理解,使学生灵活变通在数学学习中遇到的等差数列和等比数列前n项和。渗透函数与方程思想后,学生会掌握这样的解题思路,即消除Hn和Mn,分别剩余仅含Mn和Hn的关系式,数列通项问题解决时应检验M1。

2.2应用类型二

在mn+1=λmn+f(n)以及mn+2=Amn+1+Bmn,求mn的应用。数列通项练习时,常常遇到递推公式,如mn+1=λmn+f(n),一般来讲,需要形成新的等比数列来运算,在此期间,待定系数法具有应用必要性。

例题1:已知数列{Mn}满足mn+1=2mn+3,并且m1=6,求数列通项mn。

分析可知,假设mn+1+x=2(mn+x),将其对比于mn+1=2mn+3,求得x=3,即mn+1+3=2(mn+3)。从中能够看出,新的等比数列{mn+3}(首项9,公比2),进而再次求解。

例题2:首相为1的正项数列{Mn},满足(n+1)m2n+1-nm2n+mn+1×mn=0,求数列通项mn。

分析可知,(n+1)m2n+1-nm2n+mn+1×mn=0,应用方程法进行求解,求解过程如下:

[(n+1)mn+1-nmn](mn+1+mn)=0

mn+1=

×mn

之后再次求解,从例题2解题过程可知,遇到递推公式后,应构造新的数列,这能加快求解速度。

数列不同于一般函数,它需要借助通项公式来求解,实际解题的过程中,还应以函数思想或者方程思想来解决复杂问题,因此,数学教师解決数列通项问题时,应拓展学生的解题思路,深入挖掘内在数学思想,以此提高数列通项的解决速度和质量,这对学生对数学学习自信心增强有促进作用。

结论:

综上所述,本文探究“函数与方程思想在求数列通项中的应用分析”这一论题,不仅能够起到数学思维激发的作用,而且还能缓解教师的教学压力,同时,学生学习数列通项的压力也能逐渐减小,这对师生关系增进,数学教学效率提高有促进作用。因此,数学教师应巧妙渗透方程思想和函数思想,通过数学思想运用,大大提高解决速度,节省更多的解题时间。这不仅能够深化数学教学改革,而且还能强化师生的数学意识。

参考文献:

[1]刘祖萌.函数方程思想运用于高中数学解题的思路方法[J].农家参谋,2017(16):58.

[2]崔声隆.函数与方程思想在求数列通项中的应用[J].福建教育学院学报,2014,15(02):65-67.

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