浅谈二次函数中参数问题解决方法

刘茜

摘要：随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也开始日益变化，来达到素质教育的要求。高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。

关键词：数学思想；参数问题；高中数学；分类讨论

纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域（最值）相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。可谓参数问题在高中数学中无处不在。含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。

一般来讲，绝大数需要利用分类讨论的数学问题都是含参问题，由于参数所在的范围的不同导致相应的数学模型的变化，从而必须在各种不同的具体情境下求解问题，但同时还要注意认真审查题目的特点，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性和简单性。

在现今的素质教育中，培养学生的自主思考能力是其中一個重要方面。而含参数的函数问题是高中数学中的一类重要问题，渗透着化归转化、分类讨论等思想方法。加强对此类问题的研究与训练有利于培养思维的灵活性、创造性，对提升综合解题能力大有裨益。

二次函数中的含参问题大致分为与二次函数和一元二次方程定义交汇、与二次函数的单调性问题交汇、以及与图像和二次函数性质等问题交汇。下面笔者将从这几个方面给出常见问题解决的方法和几点建议。

一、与二次函数性质相结合

（1）二次函数奇偶性问题

（2012年温州测试）已知二次函数f（x）=x2-ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为______。答案：a=2 （解题过程省）

（2）二次函数的最值

关于这类含参二次函数求最值问题，是高考的热点。也是日后学习微分中参数恒成立问题的铺垫。

二次函数求最值问题，首先采用配方法化为y=a（x-m）2+n的形式，得顶点（m，n）和对称轴方程x=m结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：

①顶点固定，区间也固定；

②顶点中含有参数，顶点是动点，而区间固定区间，这时就需要讨论顶点横坐标与定区间之间的关系，配合单调性，求出范围；

③顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。

讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数单调性情况，从而确定函数的最值。

[例1]（轴动区间定）已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在x[0，1]时有最大值为2，求a的取值范围。

解：函数f（x）=-x2+2ax+1-a=-（x-a）2+a2-a+1对称轴方程为x=a

（ⅰ）当a<0时，f（x）max= f（x）=1-a所以1-a=2，所以a=-1

（ⅱ）当0 ≤ a ≤ 1时，f（x）max=a2-a+1所以a2-a+1=2

所以

（舍）

（ⅲ）当

综上可知 a=-1或a=2

在讨论过程中，要按照对称轴与区间之间的关系进行讨论。

[例2]（轴定区间动）函数f（x）= x2-2x+2在闭区间[t，t+1]（tR），记为g（t）。试写出g（t）的函数表达式。

解：因为f（x）= x2-2x+2=（x-1）2+1

当t+1<1，即t<0时，函数[t， t+1]上为减函数。g（t）= f（t+1） =t2+1

当t<1≤ t+1，即0≤ t <0时，g（t）= f（t）=1

当t ≥1，函数[t， t+1]上为增函数。

所以g（t）= f（t）=t2-2t+2所以

在做这类轴定区间动的题时，一定要找好“标杆”----就是对称轴。

（3）恒成立问题转化二次函数

确定恒成立中参数的取值范围需要灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间进行合理交汇。在函数思想的指引下，将其转化为与函数有关的问题。常用的方法有：分离参数，变更主元，借助函数图象等。

[例3]若x（1，2），不等式x2+mx+4<0恒成立，求m的取值

范围。

分析 由于本题目中x的取值范，可以判断不等号的方向，能够分离参数出来，可以用不等式m>f （x）恒成立m>[ f （x）]max；不等式m< f （x）恒成立m<[ f （x）]min，求出m范围。

解法 1：因为x（1，2），不等式x2+mx+4<0恒成立，

所以mx-x2-4即m<-（x+

）对x（1，2）恒成立， 令f（x）=-（x+

） （1

依据题意得m ≤ [ f （x）]min，当x（1，2）时可求得-5< f （x）<-4，

所以m ≤ -5。

解法 2：（函数思想）设f （x）= x2+mx+4

则由二次函数图象可得

得m ≤ -5，即m取值范围是{m|m ≤ -5}。

分离参数的方法学生容易理解和掌握，但是某些含参恒成立问题，在分离参数会遇到讨论麻烦或是即使能容易分离参数与变量，但函数的最值却难以求出时。这种方法就不适用了。

[例4]对任意的|m| ≤ 2，函数f （x）=mx2-2x+1-m的值恒小于零，求x的取值范围。

分析 明显看出类似这种问题，分离参数很困难，不过我们会发现含有的参数m为一次项，于是我们可以用变换主元变量的方法。

解：对任意的|m| ≤ 2， mx2-2x+1-m<0恒成立， 等价于（x2-1）m -2x+1<0恒成立。

设g（x）=（x2-1）m-2x+1，则g（m）是关于m的一次函数依据图象与性质，

当-2 ≤ m ≤ 2，g（m）<0恒成立等价于

即x的取值范围是（

）

本例题在解题时把变元与参数换个位置，再结合一次函数的知识，得到了出奇制胜的效果，将一道原本复杂的问题转化的非常简单。

参考文献：

[1]吴磊.如何求解含有参数的复数问题[J].中学生数理化（高二版），2011（03）

[2]孔令颐.突出重点 强化训练--2000年高考数学试题中与参数有关的内容[J].考试，2000（12）