整式乘法与因式分解的起承转合

◎颜廷亮

学习并回顾整式乘法与因式分解的过程，就像我们逐步认识、走近一位朋友的过程：相见之前的“起”——你是谁，初见的“承”——原来（果然）是你，加深认识后的“转”——究竟是怎样的你，回想时的“合”——是这样的你！

一、起——解题前要想

本单元首先学习了单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，题型是整式乘法的运算；紧接着学习了特殊的整式乘法——乘法公式，题型是乘法公式的考查；最后学习了对“单乘多”“多乘多”（包括乘法公式）的逆用——因式分解，题型应该是因式分解及应用.

二、承——找题时要全

例1 （2017·常州）先化简，再求值：（x+2）（x-2）-x（x-1），其中x=-2.

【考点】单项式乘多项式、乘法公式.

【解】当x=-2时，原式=x-4=-6.

变式1 （2015·内江）（1）填空：（a-b）（a+b）=_______；（a-b）（a2+ab+b2）=_______；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=________.

（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=________（其中n为正整数，且n≥2）.

（3）利用（2）猜想的结论计算：29-28+27-…+23-22+2.

【考点】单项式乘多项式、平方差公式、找规律.

【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；

（3）原式=［2-（-1）］［29+28×（-1）+27×（-1）2

例2 （2017·盘锦）下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（ ）.

A.x2+2x-1=（x-1）2

B.（a+b）（a-b）=a2-b2

C.x2+4x+4=（x+2）2

D.ax2-a=a（x2-1）

【考点】因式分解的意义.

【解】因式分解的要求是“和化积”，且要求分解完全，所以选C.

例3 （2017·苏州）分解因式：4a2-4a+1=________.

【考点】用公式法因式分解.

【解】（2a-1）2.

三、转——解题时要思

经历“相识”之后，我们加深了解，达到“相知”，数学学习也应该经历量变到质变的过程，透过现象看本质.首先乘法公式的图形解释，让我们知道在解决问题的时候，往往要“数形结合”；其次，学以致用，我们经历了从一般到特殊，再到因式分解的逆用，可以用所学知识来解决许多问题.

例4 （2017·宁夏）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出一个正确的等式是（ ）.

A.（a-b）2=a2-2ab+b2

B.a（a-b）=a2-ab

C.（a-b）2=a2-b2

D.a2-b2=（a+b）（a-b）

【考点】平方差公式的几何背景.

【解】第一个图形阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的面积是（a+b）（a-b）.则a2-b2=（a+b）（a-b）.故选D.

变式 （2013·常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）.

A.a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b

【考点】完全平方公式的几何背景.

【解】3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，

∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），正确答案为D.

例5 用简便方法计算20042-4008×2005+20052.

【考点】因式分解的应用.

【解】原式（2004-2005）2=1.

变式1 （2016·宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）.

A.我爱美 B.宜昌游

C.我爱宜昌 D.美我宜昌

【考点】因式分解的应用.

【解】原式=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）·（a+b）（a-b），所以选C.

变式2 （2017·河北）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数.

【考点】因式分解的应用.

【解】（n-2）2+（n-1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2=

5n2+10=5（n2+2），又n是整数，所以5个连续整数的平方和是5的倍数.

四、合——解题后要归

回顾我们和整式乘法与因式分解的“相识”“相知”，我们还要学会总结，一是对知识发展的过程多多回顾，二是对题型的归纳要完整，三是对能够锻炼我们思维的东西要足够重视，四是做好易错题的总结.