SVI隐含波动率模型的时间指数扩展

庄 颖， 吴小燕， 王美清

(福州大学数学与计算机科学学院， 福建 福州 350116)

0 引言

期权定价问题是近年来金融数学中的热点之一. 1973年提出的Black-Scholes(B-S)期权定价[1]模型使得期权研究有了新的突破. 该模型假设标的资产服从几何布朗运动， 其波动率为常数. 但是大量实证分析表明， 通过B-S公式反推得到的隐含波动率并不是常数， 而是关于执行价格和剩余期限的函数， 具有“波动率微笑”和“期限结构”等特征[2-5]. 该函数所表示的曲面称为隐含波动率曲面. 隐含波动率曲面包含了大量市场的信息， 能够指导金融市场的投资方向.

隐含波动率曲面的重构方法可根据其函数的参数形式分为参数模型、 半参数模型和非参数模型. 参数模型认为隐含波动率与标的资产价格、 期权合约的剩余期限和执行价格等因素之间存在确定性的函数关系， 如： Derman[6]提出的粘性行权价(sticky strike)关系， 粘性delta(sticky delta)关系, 以及Daglish等[7]提出的平稳时间平方根关系(stationary square root of time)等. 1998年Dumas等[8]基于粘性行权价关系， 采用S&P500指数期权的数据， 提出一组隐含波动率曲面的参数模型. 2004年Cassese等[9]沿用了文献[8]的思想， 用在值程度替换了原模型中的执行价格， 并证明了新的模型具有更好的拟合效果. 半参数隐含波动率模型描述的是隐含波动率曲面中某一维度的特性， 再延伸至整个隐含波动率曲面. 这方面的模型有随机半参数SABR模型[10]和半参数化模型(stochastic volatility inspired， SVI)[11]. 非参数模型利用非参方法对隐含波动率曲面进行主成分分析再对其进行建模. 由于非参数模型缺乏拓展能力， 并且对数据量有一定的要求， 因而在实际应用中存在一定的局限.

本研究主要针对SVI模型进行改进， 该模型提出的隐含波动率函数在对数执行价格方向上逼近市场数据. 根据平稳时间平方根规则， 用对数执行价格和剩余期限的特定组合替代原模型中的对数执行价格， 并引入了新的参数来调整二者之间的组合， 更灵活地表达了对数执行价格与剩余期限之间的关系， 从而获得更精确的拟合函数. 最后， 将改进模型延伸至参数模型来构建隐含波动率曲面. 本研究通过对AAPL苹果股票期权市场数据进行实证分析， 结果表明改进的模型更具灵活性与精确性， 能更好地拟合市场隐含波动率和期权价格.

1 隐含波动率与SVI模型

1.1 隐含波动率

Black-Scholes期权定价模型假设标的资产价格遵循几何布朗运动， 且波动率为常数. 在不支付红利与交易费用、 税费的情况下， 针对某一标的资产的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式分别如下：

(1)

其中:N(·)为标准正态分布变量的累积概率分布函数；T为到期日，t为时间，τ=T-t；St为t时刻标的资产的价格；r为年化无风险利率；σ为标的资产的波动率. 由公式(1)计算得到的期权价格统一记作VBS. 在该模型中， 标的市场价格、 剩余期限、 年化无风险利率均为市场给定， 只有波动率σ无法从市场直接获取. 因此在已知期权价格、 执行价格、 剩余期限以及无风险利率的情况下， 从Black-Scholes期权定价模型反推得到的波动率称为隐含波动率， 即隐含波动率σ由下列公式定义：

σ(V,St,K,τ,r)= argσ{VBS(σ,St,K,τ,r)=Vmarket}

(2)

其中：Vmarket为市场的期权价格.

1.2 SVI模型

为了便于判断隐含波动率未来走势， 需要根据市场数据获取隐含波动率、 执行价格和剩余期限三者之间的关系. 通过B-S公式直接反推求隐含波动率是个不适定的反问题[12]， 在算法实现上存在一定的困难. SVI半参数化模型[11]把问题限制在一维的情况， 在固定剩余期限的情况下考虑隐含波动率与对数执行价格之间的关系. 该模型固定的剩余期限τ， 当对数执行价格|k|→时， 隐含方差关于k是线性的， 并由此建立了总隐含方差 (total implied variance)ω与对数执行价格k的函数关系式.

总隐含方差定义为：

(3)

对数执行价格定义为：

(4)

其中:K为执行价格;St为t时刻标的资产的价格;r为年化无风险利率.

固定的剩余期限τ， SVI模型给出的总隐含方差与对数执行价格之间的函数关系式为：

(5)

2 模型改进

2.1 改进SVI模型——时间指数E-SVI模型

对SVI模型(即公式(5))进行变形可以得到公式(6)：

(6)

该公式描述了隐含波动率与对数执行价格和剩余期限的确定性函数关系式， 这样的关系式满足粘性delta规则， 即隐含波动率是关于对数执行价格和剩余期限的函数.

(7)

文献[7]用OTC市场S&P500期权的月度数据对粘性delta规则和平稳时间平方根规则进行了实证检验， 结果表明平稳时间平方根规则构建的模型参数更少， 并且比粘性delta规则的模型更能准确描述隐含波动率曲面.

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 无套利条件约束模型

不存在无风险套利机会是Black-Scholes期权定价公式中重要的假设之一. 套利机会可分为动态套利机会和静态套利机会， 在本研究中仅考虑避免静态套利机会， 即避免跨期套利和蝶式套利. 隐含波动率模型在建立时， 应考虑隐含波动率曲面的无套利条件[11, 13-14]. 隐含波动率曲面无套利条件归纳如下：

1) 对任意τ>0,ω(·,τ)是二阶可微的.

2) 对任意k∈,τ>0，ω(k,τ)>0成立.

3) 对任意k∈,τ>0， 满足

(12)

4) 对任意k∈,ω(k, ·)是增函数， ∂τω(k,τ)≥0.

5) 对任意k∈,ω(k, 0)=0成立.

为了表示方便， 本研究将剩余期限为τj的参数集合记为χτj={a，b，ρ，m，c，β}， 并将总隐含方差记为ωτ(k;χτj). 针对上节提出的E-SVI模型引入无套利约束条件， 则公式(11)改写为下述非线性约束问题：

(13)

条件①是为了保证隐含波动率恒大于0， 条件②是为了避免蝶式套利， 条件③是为了消除跨期套利. 当求解χτm时， 非线性约束问题(13)不考虑条件③. 在求解模型时， 往往选择从剩余期限最大(即j=m)的隐含波动率曲线的参数开始拟合.

本研究使用序列二次规划算法[15](sequential quadratic programming， SQP)求解非线性约束问题(13). 该算法将复杂的非线性约束最优化问题转化为比较简单的二次规划问题， 即目标函数为二次函数， 约束条件为线性函数的最优化问题.

将问题(13)的解作为模型参数带入模型(10)～(11)， 即可获得由模型拟合的隐含波动率和隐含方差. 将该隐含波动率带入B-S模型， 即可求出相应的期权价格.

3 隐含波动率曲面

在SVI半参数模型中， 对总隐含方差的拟合只考虑了一维变量， 即总隐含方差与执行价格K(或者对数执行价格k)的关系， 没有考虑二维变量， 虽然经过公式变化可以拟合隐含波动率曲面， 但无法加入跨期套利约束.

上节提出的时间指数E-SVI模型在固定剩余期限的情况下， 认为隐含波动率是对数执行价格的一维函数. 在剩余期限τ变化的情况下， 该一维函数就拓展为二维曲面：

(14)

(15)

4 实证分析

1) 相关性系数ρ， 用来比较模型结果与市场数据的相关性. 则相关性系数计算如下：

期权价格的观察指标如下：

4.1 隐含波动率曲线

本研究采用AAPL股票期权2016年3月共21个交易日的市场数据对E-SVI模型做实证分析. 图1给出了2016年3月1日市场数据的拟合情况， 其中图1(a)给出了到期日为2016年10月21日的隐含波动率拟合曲线， 以及与市场隐含波动率的对比情况. 可以看出， 该模型较好地拟合了市场数据. 图1(b)给出了到期日分别为2016年10月21日和2017年1月20日的总隐含方差拟合曲线. 可以看出两条曲线之间不存在交叉情况， 即无套利机会.

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图1 E-SVI模型拟合隐含波动率曲线Fig.1 The curve fitting of the E-SVI model

表1～2给出了2016年3月1日对于不同到期日的数据分析. 其中表1给出了E-SVI模型计算结果与市场数据的相关性系数并与SVI模型做比较. 表2分别比较了两个模型获得隐含波动率和期权价格与市场数据的近似程度.

通过表1～2可知， 对于一个交易日中不同的到期日， E-SVI模型在拟合效果上有一定的改善. 通过相关性比较， 原始SVI模型得到的隐含波动率估计值与市场数据已经普遍具有很高的相关性， 而E-SVI模型的相关性系数相比原始SVI模型有所提高. 观察表2中数据比较可知， 原始SVI对隐含波动率曲线的拟合已经足够接近市场真实数据， E-SVI模型在表2中的5个指标对于与原始SVI均有一定的改善.

表1 2016年3月1日隐含波动率曲线模型相关性比较

注： 加粗字体表示对应模型得到的数据与市场数据之间的相关性更强

表2 2016年3月1日隐含波动率曲线模型拟合误差分析

注： 表中η为期权价格正确率； ivR为隐含波动率的均方根误差； ivM为隐含波动率平均绝对误差； VR为期权价格均方根误； VM为期权价格平均绝对误差. 加粗字体表示对应模型得到结果更好， 表4和表6同

为了进一步观察E-SVI模型的改进效果， 本研究对于2016年3月的其余21个交易日分别进行SVI模型以及E-SVI模型的拟合实验， 将一个交易日中所有实验得出的实验数据与该交易日中的市场数据进行对比分析， 如表3～4所示. 其中表3给出了两个模型的计算结果与市场数据的相关性系数. 表4分别比较了两个模型获得的隐含波动率和期权价格与市场数据的近似程度.

观察表3～4可知， E-SVI模型与原始SVI相比， 在拟合效果上有一定的改善. E-SVI模型下的相关性系数相比原始SVI模型有所提高， 且E-SVI模型在表4中的5个指标对于与原始SVI均有一定的改善.

表3 隐含波动率曲面半参数模型相关性比较

注： 加粗字体表示对应模型得到的数据与市场数据之间的相关性更强

表4 隐含波动率曲面半参数模型拟合误差分析

4.2 隐含波动率曲面

对隐含波动率曲面的拟合， 选择AAPL股票期权2016年3月1日至2016年3月31日的市场数据在无套利条件约束下的E-SVI模型(14)进行拟合. 由于大规模约束问题会影响算法的稳定性， 本研究仅考虑避免跨期套利的条件约束， 并对无约束SVI模型和避免跨期套利约束E-SVI模型做了对比实验. 图2(a)为E-SVI模型在无跨期套利约束下对2016年3月1日11组不同到期日组成的隐含波动率曲面的结果图， 图2(b)为在SVI模型不加入无套利条件下的拟合曲面.

图2 E-SVI和SVI模型拟合隐含波动率曲面Fig.2 The surface fitting of the E-SVI and SVI model

表5～6给出了上述实验的数据分析. 其中表5给出了两个模型的计算结果与市场数据的相关性系数； 表6比较了两个模型获得的隐含波动率和期权价格与市场数据的近似程度.

表5 隐含波动率曲面模型相关性比较

注： 加粗字体表示对应模型得到的数据与市场数据之间的相关性更强

表6 隐含波动率曲面模型拟合误差分析

由以上分析可知， E-SVI模型在加入套利条件下， 其拟合效果比未加入套利条件的SVI模型好. 将E-SVI模型进行延伸， 对整个隐含波动率曲面进行建模， 得到的隐含波动率估计值与市场数据之间整体存在强相关性， 相对于SVI模型进行延伸对整个隐含波动率曲面进行拟合， 其准确度得到了很大的提高. 观察表6数据可知， 避免跨期套利约束E-SVI模型的5个指标相对无约束SVI模型有明显的改善. 但根据具体的市场数据， 实验过程中会发现避免跨期套利约束E-SVI模型仍存在一些的误差， 例如该模型对曲面整体拟合较好， 对于近期平价期权附近的隐含波动率存在一些小误差.

5 结语

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