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信不信,这个问题你一定会答错

2018-04-23陈与瞳

课堂内外(高中版) 2018年12期
关键词:罗素悖论理发师

陈与瞳

苏格拉底有一句名言:

“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”这句话特别耐人寻昧。如果苏格拉底什么都不知道,那么他“知道的这件事”本身就不成立;而如果苏格拉底只知道一件事,那么又和他后面所说的“什么都不知道”自相矛盾。这引出了数学上一个特别有意思的概念,叫“悖论”。

悖论是指表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论,而这两个结论都能自圆其说。简单来说就是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A。

举个例子,鳄鱼困境悖论里,一条鳄鱼偷了一个父亲的儿子,它保证如果这个父亲能猜出它要做什么,就会将儿子还给父亲。如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”,就会成为所谓的“悖论”:如果鳄鱼不还儿子,那么父亲就猜对了,鳄鱼就必须把孩子还给父亲,否则鳄鱼违背了诺言;而如果鳄鱼将儿子还给他,那么父亲就猜错了,鳄鱼又违背了诺言。逻辑自相矛盾,这就是障论。

换一个角度,如果父亲猜“鳄鱼会把儿子还给他”,这就构不成悖论。因为如果鳄鱼还儿子,父亲就猜对了,儿子也会回到父亲身边。而如果鳄鱼不还儿子,父亲还是猜儿子会还给他,父亲就猜错了,鳄鱼正好不会把儿子还回来。这个假设下,没有逻辑结构的不对称,结局顺利成章,这不是悖论。

历史上,许多数学家都唯恐陷入障论而退避三舍。

集合论中曾出现过—些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师障论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。

1903年,一则震惊数学界的消息传出:集合论有漏洞!这就是英国数学家罗素提出的著名理论——“罗素悖论”。“罗素障论”使集合论产生危机,由于“罗素障论”的假设与理发师相关,因此又称其为“理发师悖论”:在某个城市中有一位理发师,他的广告词:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热忱欢迎!”此话一出,来找他刮脸的人便络绎不绝,而来的这些自然都是不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸;而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。

古希臘数学家芝诺,也曾经提出过一些著名的f孛论,对以后的数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一个。

阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄。芝诺说:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。

一位科学家曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为s,速度分别为v1和v2。当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟。

但芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T1。对于任何T1,可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T1无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。

同样在生活中,老师们总喜欢说,这次考试都得考好了,不问大家过程怎么学,只求拿到一个好分数的结果。其实这就是个典型悖论:如果过程学好了,成绩自然不会太差。而考试成绩好,必然要求你日积归累地勤奋学习。说什么不求过程,只求结果的话,大概是“超神”一般的操作吧。毕竟正常人,并不能违反自然理论而存在啊!

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