对一道向量应用题的研究

李国斌

(山西省长治市第一中学 046000)

图1

因为∠ACD=θ,|AC|=1,所以DA=sinθ,DC=cosθ.

解析2 由条件AB=BC,想到利用模来转化之.

解法2AD⊥DC,|AC|=1，在Rt△ADC中，DA=sinθ,DC=cosθ.

解析3 注意到AD⊥DC,|AC|=1，∠ACD=θ，可以想到容易解决点的坐标，所以想到坐标法.

图2

解法3 以D为原点，DA所在直线为x轴，建立如图2所示平面直角坐标系.易得

D(0，0)A(sinθ，0)，C(0，cosθ),设B点坐标为(x,y),

又因为AB=BC,AB2=BC2,

即(x-sinθ)2+y2=x2+(y-cosθ)2.

解法4 易得DA=sinθ,DC=cosθ,∠BAC=∠BCA.

由图知：

①

②

分析5 同上.

①

②

解析6 由平面几何知识知，取AC中点O，连接BO，则

BO⊥AC,连DO，则∠DOA=2θ.直接利用∠DOA来求cos2θ，产生下列解法.

解法6 如图3，取AC中点O，连BO,DO,作DH垂直AC于H.因为AB=BC,所以BO⊥AC.又因为DO是直角三角形ADC斜边上的中线，所以DO=OC=0.5.所以∠DOA=2θ.

图3

参考文献：

[1]吴选录. 平面向量一道例题的拓展[J]. 中学数学研究,2017(7):16-18.

[2]王洪军. 一道向量习题的推广及应用[J]. 中学数学研究,2017(2):23-24.