浅议高中数学解题中“圆”的妙用

2018-04-22李泽杭

商品与质量 2018年42期

李泽杭

大连市第二十三中学辽宁大连 116000

圆作为平面几何中的重要图形之一，不仅能够反映出诸多的角关系，而且还能够建立起较多的线段间的关系[1]。在高中数学的解题过程中，一些问题看似与圆没有太大的关系，但根据题目中的相关条件，其可借助于辅助圆，利用圆丰富的性质进行解题，有效地提升了解题的质量与水平。

1 在距离问题解题中的运用

距离求解的问题在高中数学中占有很大的比重，有效地利用圆知识体系，能够准确地表达出空间位置距离[2]。

例1：设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m关于x的方程2x2-22x+m-1＝0有实数根，试确定点P与⊙O的位置。

解：∵关于x的方程2x2-22x+m-1=0有实数根，

∴△=（22）2-4×2×（m-1）≥ 0，解得 m≤ 2

即OP≤2

∵⊙O的半径为2

∴点P在⊙O上或⊙O内

故答案为点P在⊙O上或⊙O内。

2 在不等式问题解题中的运用

不等式是高中数学中的关键内容，在不等式的解题过程中，很多同学都感到十分地头疼。但是不等式问题是高中考试中的重要考察点，也是锻炼我们思维能力的关键所在。而学生对于圆知识内容的应用能够有效地解答不等式。

例 2：设 P（x，y）为圆 x2+（y-1）2=1上任一点，要使不等式x+y+m≥0恒成立，则m的取值范围是？

由圆的方程 x2+（y-1）2=1得，圆心（0，1），半径 r=1

令圆x2+（y-1）2=1与直线x+y+m=0相切，

则圆心到直线的距离d=r，即|1+m|1+1=1，化简得1+m=±2，

即 m=2-1=1，m=-2-1（舍去），

结合图像可知，当m≥2-1时，圆上的任一点都能使不等式x+y+m≥0恒成立.

故答案为：[1，+∞）

解析：利用圆的图像，能够有效地看出圆心与直线之间的位置关系，还能够看出圆心的距离，最终求得取值范围[3]。如果采用传统的不等式求解方式，我们所面临的困难则相对较大，而利用圆知识，从平面几何的角度来思考问题，则能够为解不等式提供另一种思路，其所产生的效果更好。

例3：已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),不等式x+y+m恒成立，实数m的取值范围是？

解：x+y+m≥0m≥-（x+y）恒成立，所以m要≥x+y的最小值

m≥0m取值范围[0，+∞）。

3 方程问题中对圆知识的运用

方程与函数问题都是高中数学中的重要知识点，在方程问题中还包含了圆的知识内容。

例4：已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上,且经过点A(5,2),B(3,2)，求圆C的标准方程？

解：已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上

可设圆心C(x',2x'-3)

C到A,B的距离就是半径r

r2=(x’-5)2+(2x’-3-2)2=(x’-3)2+(2x’-3-2)2

即(x'-5)2=(x’-3)2

解得x'=4

则圆心C(4,5)

半径r2=(4-5)2+(5-2)2=10

故圆C的标准方程(x-4)2+(y-5)2=10

例5：已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第二象限，半径为2。

（1）求圆C的方程；

（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。

解：（1）将圆 C化成标准方程，得（x+D2）2+（y+E2）2=14（D2+E2-12）

∴圆C的圆心坐标为（-D2，-E2），半径r=12D2+E2-12

∵圆C关于直线x+y-1=0对称，半径为2。

∴-D2-E2-1=0且 12D2+E2-12=2，

解之得D=2E=-4或D=-4E=2

结合圆心C在第二象限，得C的坐标为（-1，2），（舍去C（1，-2））

∴圆C的方程是（x+1）2+（y-2）2=2

（2）当直线l过原点时，设为y=kx，可得|-k-2|1+k2=2，解之得k=2±6，得直线l方程为y=（2±6）x，当直线l不过原点时，设l：x+y-m=0，可得|-1+2-m|2=2，解之得 m=-1或3，此时直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0，综上所述，与圆C相切且在x轴、y轴上的截距相等的直线l方程为y=（2±6）x或x+y+1=0或x+y-3=0。