浅析极坐标思想在求解抛物线问题中的应用

2018-04-21张小峰吴仕栋

考试周刊 2018年38期

张小峰吴仕栋

摘要：本文主要是从极坐标的角度来考虑焦点弦问题，尤其是当其中一个焦半径与另一个焦半径之间呈倍数关系时，在求解直线的方程时，运用极坐标思想可以极大地简化运算过程，缩减运算量。

关键词：极坐标；焦点弦；抛物线

一、极坐标的概念

在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。對于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。

二、问题的提出

抛物线问题的求解过程中，经常会涉及求解“定长”问题，但是在很多解析几何问题中题设条件是呈直角坐标形式，求解过程比较冗杂，不利于问题的求解。如果转变思路，将这一类问题转化为极坐标问题，以通俗易懂的思想替代繁杂的求解过程，将能收到良好的效果。建立极坐标系，是解决这类问题的关键。

三、问题的求解及证明

假设抛物线方程为y2=2px（p>0），F为抛物线的焦点，直线l经过点F并与抛物线相交于A，B两点，试证明：1|AF|+1|BF|=2p。

在这个题目中我们常用的方法是假设出直线l的方程为y=kx-p2，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由焦半径公式可以得|AF|=x1+p2，|BF|=x1+p2，可以算出1|AF|+1|BF|，再由x1与x2的关系就可以得证，但是这样计算量比较大，我们可以用极坐标的思想来证明，证明如下：

令|AF|=ρ，|BF|=ρ′，∠AFH=∠BFG=θ，由抛物线的定义得ρ=|AF|=|AC|，ρ=p+ρcosθ，同理可得ρ′=p|ρ′cosθ。

ρ=p1-cosθ，ρ′=p1+cosθ

1|AF|+1|BF|=1-cosθp+1+cosθp=2p

四、结论

1|AF|+1|BF|=2p得证，巧妙运用极坐标思想，一个复杂的圆锥曲线问题就轻松转化为简单的几何问题，不仅简化了运算步骤，更是使得学生在学习过程中提高了学习效率，达到了事半功倍的效果。这种思想也适应于这样的问题：

在前文相同题设下，当|AF|=a|BF（a>1）|，求解直线l的方程：

由于|AF|=a|BF，所以ρ=aρ′

ρ1-cosθ=aρ1+cosθ

ρ+ρcosθ=aρ-aρcosθ

cosθ=a-1a+1

K=tanθ=2a1+a

这样我们就可得直线l的方程：y=2a1+ax-p2。