圆锥曲线综合题中“三角形面积问题”的破解策略

曾庆国��

摘 要：解析几何是初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于数形结合、形象思维，而它的解题过程则是代数的，综合性很强，解题的能力要求高，因此历来是高考的重要内容。分析近年来的高考数学试题，发现解析几何在高考试题中往往有一道解答题，而解析几何这道解答题一般是考查直线、圆与圆锥曲线的综合题以及与其他知识之间的综合。

关键词：圆锥曲线综合题；破解；综合

每个题一般设置了两个问，第一问一般考查曲线方程的求法，第二问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、面积问题等，这类问题综合性大，需灵活运用解析几何、平面几何、函数、三角知识等。而反观学生解答情况来看，相当多的毛病出现在运算上，究其原因，往往由于方法选择不当或运算不合理（策略意识差），造成中途搁浅或结果出错。因此，研究如何增强圆锥曲线综合题的解题策略意识，提高运算的速度和准确度，就显得很有必要和非常迫切。而圆锥曲线综合题在解答过程中涉及多个知识点或多个学科知识，并且解题思维方法具有多向性和灵活性，其目的重在测试思维能力和运用知识的能力。由于综合题的内容较为复杂，涉及面广，因此掌握基本问题的求解方法是解此类综合题的先决条件。本文将结合具体的案例谈谈圆锥曲线综合题中的基本问题“三角形面积问题”的破解策略，不当之处，敬请指正。

1. 运用面积公式：S=12ah（a为底，h为高）

这个三角形面积公式最常用，其中底边a通常用弦长公式求解，高h通常用顶点到底边所在直线的距离（点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2）来求解。

（14新课标1理）已知点A（0，-2），椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点。

（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程。

解析：（Ⅰ）（解答过程略）故E的方程为x24+y2=1。

（Ⅱ）当l⊥x轴时不合题意，故设l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.将y=kx-2代入x24+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0。

当△=16（4k2-3）>0，即k2>34时，x1，2=8k±24k2-34k2+1。

从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1。

又点O到直线PQ的距离d=2k2+1。

所以△OPQ的面积S△OPQ=12d·|PQ|=44k2-34k2+1。

设4k2-3=t，则t>0，S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.因为t+4t≥4，当且仅当t=2，即k=±72时等号成立，且满足Δ>0。

所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y=72x-2或y=-72x-2

2. 分割图形，化斜为直

在处理几何图形时，我们可以对任意几何图形进行分割计算，以此达到简化计算的目的。因此，在求三角形面积时，就可以分割求解。

原题展示：（2014年高考福建卷理19）已知双曲线E∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐近线分别l1∶y=2x，l2∶y=-2x。

（1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由。

解析：（1）略（2）由ba=2，双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1。

设直线l与x轴相交于点C。

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，又因为△OAB的面积为8，所以12|OC|

|AB|=8，∴12a·4a=8，∴a=2。

此时双曲线E的方程为x24-y216=1。

若存在滿足条件的双曲线E，则E的方程只能为x24-y216=1。

以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E∶x24-y216=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k>2或k<-2。则C-mk，0，记A（x1，y1），B（x2，y2）。

由y=2x

y=kx+m，得y1=2m2-k，同理得y2=2m2+k。

由S△OAB=S△OAC+S△OBC=12|OC||y1|+12|OC||y2|=12|OC||y1-y2|得，12-mk·2m2-k-2m2+k=8，即m2=4|4-k2|=4（k2-4）。

由y=kx+m

x24-y216=1得，（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0。因为4-k2<0，

所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）=-16（4k2-m2-16），又因为m2=4（k2-4）。

所以Δ=0，即l与双曲线E有且只有一个公共点。

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24-y216=1。

点评：上述三角形面积运算注意了化斜为直求面积，通过三角形的割补划分来求解，故使得运算大大简化，快速完成解题。若用点到直线的距离求高，并求弦长|AB|，再求面积，运算将非常繁琐。

太棒了！这是学生由衷的感叹，性质与证明是他们在不断的探索中获得的，老师只是适时地引导，学生也在由浅入深中掌握了三角形面积的计算，唤起了学生的学习兴趣。

反思：由特殊到一般，由直观猜想到推理论证，增强了学生解题的目标意识，避免了思维的盲目性，使得问题获得迅速、正确、合理的解决。学生也更加熟练地掌握了三角形的计算，收到了较好的教学效果。

3. 运用解三角形中的面积公式：S=12absinC

求解三角形的面积，可用三角形的两个边，以及这两个边的夹角进行计算。比如2014年高考福建卷理19，第（2）问运用此公式可得解法二如下：

解析：（2）解法二：当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）。依题意得k>2或k<-2。

由y=kx+m

4x2-y2=0得（4-k2）x2-2kmx-m2=0，因为4-k2<0，Δ>0，所以x1x2=-m24-k2，又因为△OAB的面积为8，所以S△OAB=12|OA||OB|sin∠AOB=8，又易知sin∠AOB=45，所以25x12+y12x22+y22=8，化简得x1x2=4所以-m24-k2=4，即m2=4（k2-4）。又双曲线E的方程可设为x2a2-y24a2=1，由y=kx+m

x2a2-y24a2=1，得（4-k2）x2-2kmx-m2-4a2=0。

因为4-k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4a2）=0，即（k2-4）（a2-4）=0，所以a2=4，所以双曲线E的方程为x24-y216=1。

当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x=2，又易知l：x=2与双曲线E：x24-y216=1有且只有一个公共点。综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24-y216=1。

点评：运用解三角形的面积公式也能有效地处理三角形面积问题，但应注意夹角正弦的求解。

总之，圆锥曲线综合题中三角形面积的求值常用的方法为以上三种。除此之外，三角形面积公式还有海伦公式以及向量形式、坐标形式的面积公式。这里就不再一一举例说明。同学们只要在平时的练习中多实践、多总结，则肯定能以简驭繁、事半功倍，实现优质高效的解题。

作者简介：曾庆国，福建省晋江市，晋江市毓英中学。