有“迹”可循有“法”可依

摘要：笔者从“运动轨迹是线段”“运动轨迹是圆弧”两大类型展开对“轨迹类”问题的探究，再依据其特点和性质进行细化，归纳出“轨迹类”问题的一些特点和常用解法；同时提出了几点对教学的思考，与同行共勉。

关键词：轨迹；圆弧；教学思考

“轨迹类”探究题一直是中考的一类热点问题，同时也是难点问题。笔者所在的淮安市，在停歇数年后，今年的填空压轴题又出现了这种“轨迹类”问题。笔者所在学校是市直属重点学校，仍有大部分学生对这类题型感觉无从下手，可想而知，本题得分率是相当低的。那么，如此看来，初中阶段对“轨迹类”问题的研究就非常必要且迫切，笔者经和同事们研究、探索，归纳出以下几类“轨迹类”问题，归纳出了较为简单易掌握的解题方法，与同行共勉，供学生参考。

一、 “线段类”轨迹

（2016·海模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE∶

ED=1∶3。动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止。过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为。

解：法一：如图1所示：过点M作GH⊥AD。

∵AD∥CB，GH⊥AD，则GH⊥BC。

在△EGM和△FHM中，∠MGE=∠MHF=90°∠GME=∠FMHEM=MF

∴△EGM≌△FHM。∴MG=MH。

∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段。

当点P与A重合时，BF1=AE=2，

当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1=90°，∠BEF1+∠EBF1=90°，

∴∠F2=∠EBF1。∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2。

∴BF1EF1=EF1F1F2，即：26=6F1F2，

∴F1F2=18，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2=12F1F2=9。

法二：建立如图2所示平面直角坐标系。

过点F作FG⊥AD于点G，设AP=x，∵∠PEF=90°，

∴△APE∽△GEF，∴AEFG=APEG，即26=xEG。

∴EG=3x，则E（2，6），F（2+3x，0）。

∵M是EF中点，可得M（2+32x，3）。

∵M点纵坐标是常数3，

∴M点运动轨迹是平行于BC的线段。

∵0≤x≤6，则起点M1（2，3），终点M2（11，3）∴M点运动轨迹长为9。

【评析】本题主要考查的是点的轨迹问题，方法一主要从几何的角度入手，涉及了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，探究出动点经过的路径是解题的关键。方法二主要是从代数角度入手，建立平面直角坐标系，通过相似，探索出动点的坐标表示，从而发现动点的运动轨迹，再从变量的取值范围得到轨迹长。

二、 “圆弧类”轨迹

（2016·淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是。

解：如上右图，为了探究点P到边AB的距离最小值，首先要找到点P的运动轨迹，由题意知在翻折过程中，点P到点F的距离始终等于2，所以，动点P的运动轨迹是以点F为圆心，2为半径的圆弧，从而当FP⊥AB时，点P到AB的距離最小，利用△AFM∽△ABC，得到AFAB=FMBC，所以FE=165，而PF=2，故有PE=65。

【评析】此题表面上看起来是翻折问题，动点问题，其实解决问题的关键是得到顶点P的运动轨迹，再结合相似可解决问题。根据很多同学的错误想法，值得注意的是，虽然始终有∠FEP=90°，即点P也始终在以FE为直径的圆上，但是E点是动点，FE始终在变，所以这样考虑无法解决问题。

三、 对教学的几点思考

（一） 善于归纳总结，提升思维高度

教师跳入题海，学生才能跳出题海。教师跳入题海的目的是什么呢，就是能把同类型的题目归纳总结，提炼出通法，同时还要会举一反三，融会贯通。

（二） 重视学生“四基”，提高课堂品质

2011年版《数学课程标准》提出了学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。较之之前的课程要求，新增了基本思想和基本活动经验。为了体现数学的本质，这就要求课堂教学中要善于引导学生归纳并体会数学中常用的思想方法。

（三） 培养学生“四能”，倡导合作创新

2011年版《数学课程标准》提出“体会数学知识之间……增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”这就要求教学设计环节中要有学生发现和提出问题的平台；教学探索环节中教师要退居二线，不可包办、代办，要突出学生的主体地位，引导学生要有自主思考，合作探究的数学活动意识。

作者简介：

韩先丽，江苏省淮安市，江苏省淮阴中学新城校区。