基于奇异值分解的Unscented粒子滤波及其应用研究

庞　策,　赵　岩

(空军工程大学防空反导学院，西安　710051)

0　引言

非线性滤波[1-3]是针对非线性系统，解决非线性问题的一种滤波方法，不需要将非线性问题进行线性化。常用的非线性滤波方法有：扩展卡尔曼滤波(EKF)[4]、中心差分卡尔曼滤波(CDKF)[5]、Unscented卡尔曼滤波(UKF)[6]、高斯-厄米特滤波(GHF)[7]和粒子滤波(PF)[8]等。Unscented粒子滤波(UPF)算法[9]吸收了UKF[4]和PF[1]算法的优点，被广泛用于非线性、非高斯动力学系统的参数估计和状态滤波问题。UPF算法

不仅克服了UKF算法不适用于非高斯噪声系统的局限性，而且克服了PF算法重要性密度函数难以选取的缺陷。但是，UPF算法仍易受到异常扰动的影响，且在计算迭代中可能出现协方差阵失去半正定性的问题。

针对UPF算法存在的问题，本文在UPF算法的基础上，提出基于奇异值分解的Unscented粒子滤波(SVD-UPF)算法。SVDUPF算法采用自适应因子调节动力学模型误差，通过奇异值分解抑制系统状态协方差矩阵的负定性，并以改进的UKF算法产生重要性密度函数，弥补粒子滤波重要性密度函数难以选取的缺陷。

1　奇异值分解原理

奇异值分解(SVD)是一种重要的矩阵分解方法，是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广[10-11]。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似，然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是存在明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

(1)

2　基于奇异值分解的Unscented粒子滤波算法

假设非线性系统

xk=f(xk-1)+wk-1

(2)

zk-1=h(xk-1)+vk-1

(3)

式中：xk为k时刻系统的n维状态向量；zk为m维量测向量；f(·)和h(·)分别为非线性状态转移函数和量测函数；wk为n维零均值过程噪声向量；vk为m维零均值量测噪声。

按照式(2)和式(3)所描述的非线性系统模型，设计基于奇异值分解的Unscented粒子滤波算法步骤如下所述。

1) 初始化。

从先验密度分布函数中抽取2n+1个样本点x0～p(x0)，使

(4)

经扩维得

(5)

式中：Q0为状态转移方差；R0为观测噪声方差。权值为

(6)

2) 构造自适应因子。

自适应因子函数选用两段函数自适应因子模型

(7)

式中，αk表示自适应因子，c为经验常数，通常1

3) 奇异值分解，计算Sigma点集[12-13]。

分别计算特征点协方差矩阵和2n+1个Sigma点向量，即

(8)

(9)

4) 时间更新。

χi,k|k-1=f(χi,k-1)+wki=0,1,…,2n

(10)

(11)

(12)

式中，svd{·}为SVD分解算子。

(13)

式中，自适应因子αk由式(7)确定，并用αk修正σi,k|k-1。

χi,k|k-1=

(14)

(15)

zi,k|k-1=h(χi,k|k-1)+vki=0,1,…,2n

(16)

(17)

式中，Q为系统噪声方差。

5) 量测更新。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

式中,R为量测噪声方差。选择重要性函数为

(23)

6) 从建议分布函数中抽取粒子，并进行权值更新与归一化

(24)

(25)

得到归一化权值

除了采用了一些常用的统计方法外,还进行了动力学诊断。这里计算了大气视热源 和视水汽汇

(26)

7) 计算估计值和方差。

(27)

(28)

3　算法收敛性分析

引理1假设动力学模型为

(29)

存在非线性函数f(·)，使得先验分布和状态值的后验分布满足

(30)

证明设先验分布和状态值的后验分布分别为

ppr=p(X)

(31)

ppo=p(X|Z)。

(32)

根据贝叶斯递推预测理论

(33)

那么由函数内积可知，对于任意函数f(·)，有

(34)

(35)

那么必有

(36)

证明根据引理1

(37)

对式(37)进行如下运算

(38)

由于ppr(k|k-1)和f(·)均为概率密度函数，则

‖ppr(k|k-1)f‖≤‖f‖

(39)

那么

(40)

引理3存在函数f(·)和h(·)，使得先验分布和状态量的后验分布满足

(41)

证明根据贝叶斯递推更新理论

(42)

将非线性函数f(·)和ppo(k|k)做内积运算，由式(42)得到

(43)

定理1在k>0的情况下，必然存在独立于已知数N的常数c1，使得对于非线性函数f满足

(44)

证明根据引理1，2和3可知

(45)

(46)

采用Minkowski不等式，得到

(47)

(48)

由此说明该算法收敛。

4　仿真分析

将设计的算法应用到单变量非静态状态增长模型进行仿真。仿真的过程模型和观测模型为[14]

x(t)=0.5x(t-1)+2.5x(t-1)/1+[x(t-1)]2+
8cos[1.2(t-1)]+w(t)

(49)

Z(t)=x(t)2/20+v(t)

(50)

其中，w(t)和v(t)均为零均值高斯噪声，且方差分别为Q和R。

由于该系统具有高度非线性特征，似然函数呈现双峰分布，这种双峰性使得传统滤波方法难以处理。因此，采用提出的基于奇异值分解的Unscented粒子滤波(SVDUPF)与现有的EKF，UPF算法进行比较。仿真粒子数选为100，初始值取x(0)=0.1，P(0)=2，过程噪声Q和量测噪声R的方差选取两组数值，分别为Q=10,R=1和Q=20,R=1。仿真结果及数据比较如图1、表1所示。

图1　SVDUPF与现有算法对比Fig.1　Contrast between SVDUPF and current algorithms

从图1可知，SVDUPF算法的状态估值精度优于其他两种滤波算法得到的状态估值精度。说明SVDUPF算法在这些滤波算法中具有较高的滤波精度，UPF算法次之，EKF滤波精度最低。另外，当Q=10,R=1时(图1a)与Q=20,R=1时(图1b)相比较，设计滤波的状态估值随着过程噪声的增加而降低，说明滤波精度下降，但SVDUPF滤波精度下降较小，说明该算法能够抑制过程噪声。从仿真时间可以看出，SVDUPF算法其复杂度高于EKF和UPF算法，算法精度的提高是以复杂度的提高为代价的。

表1　仿真结果数据比较

5　结论

本文提出一种改进UPF算法，即基于奇异值分解的Unscented粒子滤波算法。首先介绍了奇异值分解原理，并在此基础上，设计并提出了SVDUPF算法。将提出的算法应用于单变量非静态状态增长模型进行仿真验证，结果表明，提出算法的滤波性能明显优于EKF和UPF算法，能抑制模型误差，提高滤波解算的精度。

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