京沪高铁跨线列车合理发到时间域确定方法

吴达

(西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都　611756)

在高速铁路列车运行图的编制过程中，列车的始发终到时间范围是衡量运行图质量的重要因素之一，其设置的合理性一方面影响旅客出行的舒适度，利于提升列车上座率；另一方面降低列车驶入天窗区间内的可能，提升线路养护的安全性。京沪高铁综合维修天窗是矩形天窗，设置时刻为0:00—4:00[1]，同时，从方便旅客的角度出发，约定列车始发时刻为7:00—24:00，终到时刻为7:00—23:00[2-3]。以此为依据，可利用图解法、代数法[3]确定各次列车的合理发到时间域。图解法在计算过程中更为直观，但过程较为繁复；代数法主要利用同余理论，通过对列车运行过程加以不同约束,计算列车的合理发到时间域[4-8]。本文在前人研究的基础上，结合京沪高速铁路自身的线路特点，给出其合理发到时间域的确定方法。

1　图解法确定列车合理发到时间域

图解法是求解列车的合理发到时间域最直观、有效的方法，求解前，对列车始发、终到时刻进行约束[2-3]：始发时刻tfq∈[7:00,24:00]，终到时刻teq∈[7:00,23:00]。同时假定列车在高速线运行时，遭遇天窗之后可以下既有线继续运行。

取两列车于A、B两站之间运行，已知第一列车的全程运行时间为29 h，第二列车的全程运行时间为13 h，依据图解法求解其合理发到时间域步骤如下：针对第一列车，其全程运行时间为29 h，在作图时等同于5 h。作图如图1a)所示。求解得到区域I即为tfq∈[7:00,18:00]。对第二列车，其全程运行时间为13 h，可直接作图如图1b)所示。求解得到区域I、II即为tfq∈[7:00,10:00]∪[18:00,24:00]。

图解法求解过程比较繁琐，且仅适合于求解约束条件较少、全程运行时间为整数的列车合理发到时间域；相对而言，利用同余理论进行代数求解在求解过程以及灵活性上更胜一筹。

2　跨线列车合理发到时间域的确定

在高速铁路运输组织模式中， 跨线列车运行方式主要分为列车由其他运行线上高速铁路运行(以下

a)第1列列车

b)第2列列车图1　合理发到时间域求解示意图

图2　跨单条高速铁路的跨线列车开行径路示意图

简称上线运行)、列车由高速铁路下至其他运行线运行(以下简称下线运行)以及列车先由其他运行线上高速铁路运行后再下至另一条运行线运行(以下简称先上线后下线运行)[9-14]。针对不同的跨线方式，须采取不同的合理发到时间域确定方法。图2为高速铁路列车的具体跨线方式，其中包括：1)列车上线：列车由Sf1站始发，经Scu站上运行线K1，并终到Se1站。2)列车下线：列车由Sf2站始发，经Scd站下运行线K1，并终到Se2站。3)列车先上线后下线：列车由Sf1站始发，经Scu站上运行线K1，再由Scd站下线，并终到Se2站。

取一跨线列车运行线，令其始发时刻为tf1，由始发站Sf开行至终到站Se所需总运行时间为T，在其他运行线上Li的运行时间为Ti(Ti>0)，在高速铁路K1上的运行时间为Tk。

其中，若跨线列车运行速度较慢，则可能存在T=∑Ti+Tk>24 h情形，即跨线列车总运行时间超过24 h，故在此引入同余理论。

定义对于两个整数a和b，若存在一个固定的正整数m，使得m|(a-b)(意m即能够整除(a-b))，则称a、b对模m同余，记作a≡b(modm)[15-16]。

令

T≡a≡-b(mod24)，

式中：0

由于tf1≡tf1(mod24)，因此

tf1+T≡tf1+a≡tf1-b(mod24)，

(1)

式(1)的物理意义为：tf1+T可以用tf1+a代替，同时也可以用tf1-b代替。当tf1≤b时使用tf1+a，反之当tf1>b时使用tf1-b。

结合列车的始发、终到时刻约束，可以给出最基本情形下的跨线列车合理发到时间域：

(2)

(3)

基于以上条件，针对上线、下线、先上线后下线3种跨线运行方式分别讨论考虑跨线衔接站约束时，跨线列车合理发到时间域的确定方法。

2.1　上线运行方式

由图2，跨线列车TR1始发时刻为tf1，终到时刻为te1，在运行线L1上运行时间为T1，经跨线衔接站Scu的时刻为tcu1，在高速铁路K1上的运行时间为Tk。其中，跨线列车上线应遵循以下条件：1)tf1∈[7:00,24:00]；2)te1∈[7:00,23:00]；3)在高速铁路上运行的任意时刻均不落入天窗内。记天窗开始时刻为tsf，结束时刻为tse，列车在高速铁路上行驶的任一时刻为tr，则有tr∉[tsf,tse]。

在条件3)中，根据一般高速铁路的天窗设置情形，令tsf=0:00,tse=4:00；此外，引入参数λ表示列车在高速铁路上已运行的时间与其在高速铁路上的总运行时间的比，即

(4)

根据定义易知0≤λ≤1。

根据条件3)，确定tr的约束条件为：

(5)

解式(5)得：

4≤tr≤24-Tk，

当tr=tcu1时，有4≤tcu1≤24-Tk。

再根据tcu1=tf1+T1以及同余的定义，令

tf1+T1≡tf1+c≡tf1-d(mod 24)，

其中：0

结合式(2)(3)，给出跨线列车上线运行方式下，考虑跨线衔接站约束后的合理发车域为：

2.2　下线运行方式

由图2，跨线列车TR2始发时刻为tf2，终到时刻为te2，在高速铁路K1上的运行时间为Tk，经跨线衔接站Scu的时刻为tcu2，在运行线L2上运行时间为T2。

对于此类跨线列车，其仍需遵循上述基本条件，联合式(2)，则有：

(6)

(7)

已知Tk>0，继而化简不等式组(6)(7)得：

2.3　先下线后上线方式

由图2，跨线列车TR3始发时刻为tf3，终到时刻为te3，在运行线L1上运行时间为T1，经跨线衔接站Scu的时刻为tcu3，在高速铁路K1上的运行时间为Tk，经跨线衔接站Scd的时刻为tcd3，在运行线L2上运行时间为T2。

对于此类跨线列车，仍需满足上述基本条件，尤其在高速铁路上开行时间应避开天窗[16-17]，联合式(2)(3)，令T1≡c≡-d(mod24)，获得列车发车时刻的约束：

(8)

(9)

(10)

(11)

算例：一跨线列车自Sf1站开往Se2站(见图2)，其全程运行时间T=31 h，其中Tk=12 h，T1=14 h，T2=5 h。求解得：T=31≡7≡-17，T1=14≡14≡-10，代入式(8)～(11)得：

(12)

(13)

(14)

(15)

经计算得：不等式组(12)(14)(15)无解，由不等式组(13)得跨线列车合理发到时间域tf3∈[14:00,16:00]。

2.4　考虑跨线列车上、下线停站时间的列车合理跨线时间域的确定

基于列车先上线后下线的前提，问题假设与2.3节相同，为叙述简便，令tf4+T1+Tk+T2≤24，则可得列车上、下线时刻tcu4、tcd4的表达式为：

(16)

结合列车在跨线区段内的运行时间Tk，设跨线列车在上、下线衔接口处停站时刻分别为tts，ttx则

(17)

式中：Ttfs、Ttfx分别为列车在上、下线衔接站停站时的停车附加时间；Tys,Tyx分别为列车在上、下线衔接站停站时的营业停站时间；Tqfs,Tqfx分别为列车在上、下线衔接站停站时的起车附加时间。

易知Tts，Ttx≥0,设跨线列车总运行时间为T，则有：

T=T1+Tts+Tk+Ttx+T2

，

(18)

由式(12)～(15)跨线列车合理始发范围tf4的约束，取不等式(12)为例，解得：

7≤tf4≤24-T

。

(19)

故对于列车合理上线时间范围，有如下约束：

(20)

同理，列车的合理下线时间范围为：

(21)

即

(22)

结合式(17)，则可最终确定跨线列车的合理上下线时间范围为：

(23)

3　京沪高铁跨线列车合理发到时间域的确定

京沪高铁不同于一般的高速铁路，其线路建设标准高，跨线列车运行线存在以下特点[18-20]：1)京沪高铁全线运营动车组基本均为速度300 km/h动车组，跨线区段运行时间不超过6 h；2)京沪高铁线全线运营时间为7:00—24:00，故可将其到站约束适当放宽至24 h；3)京沪高铁同其他高速铁路一样，采用0:00—4:00的矩形天窗；4)与京沪高铁相邻接的均为高速线，故跨线列车运行全程应尽量避开天窗；5)京沪高铁全线开行的跨线列车中运行时间最长的一列全程共需15 h 3 min；

基于此，建立如下情形：对于一列跨线列车，已知其始发终到站以及在京沪高铁线上的上、下线衔接站。令该跨线列车的始发站始发时刻为tf5，终到站到达时刻为te5，全程运行时间为T，其在全程任一时刻tr。列车从起始站至上线接口(站)的旅行时间为T1，从下线接口站至终点站的旅行时间为T2。同时，假设其在京沪高铁上的跨线区段内旅行时间为Tg。根据同余理论，令T≡a≡-b。

由跨线列车运行特点1)，可得0

(24)

由x+T≡x+a≡x-b，结合跨线列车运行特点2)～4)，由式(4)知0≤λ≤1，则有

(25)

(26)

由跨线列车运行特点5)，可得0

7≤tf5≤24-T。

(27)

则根据式(16)～(23)可得京沪高铁跨线列车的合理跨线时间域：

(28)

对于跨线列车在京沪高铁上的旅行时间Tg，可根据其区间纯运行时间与其停站方案联合确定。列车在京沪高铁跨线区段内每停站一次就会增加一次营业停站时间与起停附加时间。将京沪高铁沿线23个站依下行站顺赋值i，引入0-1变量xi∈{0,1}，当列车在跨线区段内第i站停站时xi=1，否则xi=0(此处若第i站为列车在京沪高铁上、下线处的衔接点)。由此得出列车在京沪高铁上的运行时间

(29)

Tt,i=Ttf,i+Ty,i+Tqf,i,

(30)

式中：Tp为列车在跨线区段内的纯运行时间；Tt,i为列车在第i站的总停站时间，其中Ttf,i,Ty,i,Tqf,i分别为列车在第i站的停站附加时间、营业停站时间以及起车附加时间。

给出京沪高铁沿线相邻站间区间纯运行时间如表1所示。

表1　京沪高铁相邻站间区间纯运行时间

算例：已知一列车G1676，自厦门北站始发，经蚌埠南站上线至京沪高铁，终到徐州东站。由厦门北站开至蚌埠南站所需运行时间T1=7.5 h，经蚌埠南站上线时总停站时间Tts=2 min，在京沪高铁线上无停站直达徐州东站。

则根据条件，可得该列车在京沪高铁上的运行时间

由于列车终点站即在京沪高铁线上，则有T2=0，继而根据式(28)～(30)可以得出该列车上线、下线的合理时间域

则可得到：tcu5∈[14:30:00,23:26:24],tcd5∈[15:03:36,24:00:00]。

若要进一步得到跨线列车的合理发到时间域，依据

tf5=tcu5-T1,te5=tcd5+T2,

得到该车的合理发到时间域：tcu5∈[7:00:00,15:56:24],te5∈[15:03:36,24:00:00]。

4　结论

在编制旅客列车运行方案时，确定跨线列车的合理发到时间域十分重要。本文首先分析图解法解决列车发到时间域的特点及其局限性，同时利用同余理论总结一般情况下高速铁路跨线列车合理发到时间域的求解方式。在此基础上，针对京沪高速铁路邻接线均为高速线、夜间布置矩形天窗等线路特点，建立模型对其合理发到时间域的确定方法进行研究，并通过算例具体演示其求解过程，对京沪高速铁路旅客列车运行方案的编制具有一定的参考价值。

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