“三角形的中位线”教学设计

2018-04-19

中国数学教育（初中版） 2018年4期

关键词：位线定理习题

（四川省成都市石室联合中学）

一、教学内容和内容分析

（一）教学内容

本节课是北师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）第六章“平行四边形”第三节的内容，主要研究三角形中位线定理及其应用.

（二）教学内容分析

本节课是在学生学习了平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称的基础上进行的.三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段.三角形中位线定理为判定两直线平行和论证线段倍分关系提供了新的方法和依据，也为后续学习相似三角形奠定了基础.在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了转化思想，这种重要的思想方法无论在今后的学习，还是科学研究中，都有着非常重要的作用.此外，在探索三角形中位线定理的过程中，需要学生观察、猜想、验证，在体会研究问题的一般步骤与方法的同时，有助于培养学生的创新思维和探索精神.

因此，本节课无论是知识的传承，还是能力的发展、思维的训练，都属于空间与图形领域中图形的认识部分的重要内容，有着承上启下的重要作用.

二、教学目标和目标解析

（一）教学目标

1.经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力.

2.证明三角形中位线定理，体会转化思想，发展演绎推理能力.

3.运用三角形中位线定理解决相关数学问题和实际问题.

（二）教学目标解析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在课程设计思路中明确指出，在数学课程中应注重发展学生的几何直观和推理能力.依据《标准》，遵循八年级学生的年龄特征和认知规律，结合教材确定了本节课的教学目标.

三、教学问题诊断分析及教学重、难点

（一）教学问题诊断分析

学生通过对全等三角形判定、平行四边形性质的学习，积累了一定的数学探究学习经验，对转化思想也有了初步了解，这为本节课的学习奠定了基础.但是对新的数学问题的探究，尤其是怎么把新问题转化为已知问题来解决，仍是八年级学生学习的难点.

笔者所在班级的学生从七年级入学开始实行小组合作学习，有很多讲演的机会，能够较好地表达自己的观点，学生能力较强，思维活跃，渴望应用所学知识解决新问题，但是逻辑推理能力还有待进一步提高，对数学思想方法的掌握还很薄弱.

而本节课对逻辑推理和转化思想的要求较高，因此在本课的学习中，预计学生能猜想到三角形中位线定理的内容，但是在定理证明时，部分学生可能存在一定的困难.例如，不知道应该如何正确添加辅助线，将三角形转化为平行四边形来解决问题.另外，学生还可能陷入循环论证的思维误区.因此，为了实现良好的学习效果，除了运用现代信息技术辅助教学外，在困难环节可采用小组讨论和全班展示的方式来突破难点.

（二）教学重、难点

教学重点：明确三角形中位线的定义，体验三角形中位线定理的探究过程，理解定理内容.

教学难点：三角形中位线定理的证明.

四、教学支持条件分析

（一）知识储备

八年级学生在七年级下学期已经学习了三角形的基础知识，能运用三角形全等证明线段及角相等.在本章学习了平行四边形的性质和判定，能够将三角形与平行四边形联系起来解决问题.

（二）教学方法

一方面，采用探究式教学法.通过学生自主思考和互动研讨，充分经历探究三角形中位线定理的全过程，突出教学重点.

另一方面，在定理的推导过程中，鼓励学生用尽可能多的方法进行验证，注意将学生的证法提炼成以前学过的常见辅助线添法——截长补短，并强化转化思想，发展思维的深刻性，从而突破教学难点.

（三）学习方法

突出探究发现，实践体验，合作学习.

（四）教学媒体

教具：教材（学案）、多媒体课件、平板电脑、三角板等.

教学环境：在智慧教室的环境下，利用平板电脑的拖动功能，有助于学生对定理进行动态探索；通过平板电脑的交互功能，实现师生之间、生生之间的互助交流，成果共享.

五、教学过程设计

（一）教学流程示意图

结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分配如图1所示.

图1

（二）教学过程

1.情境导入

教学内容与教师活动：借用前不久全班同学共同为班级中的一位同学过生日，每4人一小组分享生日蛋糕这一事件引入，投影展示其中具有代表性（平均分成四份）的几种分法（如图2），并让这几个小组的代表谈谈当时分蛋糕的想法和依据，从而引出本节课的课题——三角形的中位线.

图2

学生活动：小组代表上台说明分蛋糕的想法和依据.

学生可能谈到图2（1）、图2（2）表示的两种分法是利用三角形中线的性质，而图2（3）表示的分法感觉是平均分配的，但是说不清楚原因.

【设计意图】从一个前不久学生刚刚经历过的生活场景入手，引起学生的兴趣与共鸣，充分调动其好奇心和求知欲，为本节课后续的深入学习埋下伏笔.

2.明确定义

教学内容与教师活动.

（1）三角形的中位线的定义：如图3，连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.

（2）辨析概念.

图3

判断题：

①如图4，已知点D为线段BC的中点，则线段AD为△ABC的中位线.（）

②三角形有且只有一条中位线.（）

图4

学生活动：理解定义，明确定义的文字语言，思考、反馈，完成判断题，并给出判断理由.

【设计意图】通过图2（3）表示的蛋糕的切法，自然而然地引出三角形中位线的概念，借助图形感知定义；通过辨析概念，内化定义.

3.观察、猜想

教学内容与教师活动：

（1）已知线段DE为△ABC的中位线，观察图5，你能猜想到哪些结论？大家发挥想象力，在合理的前提下进行大胆猜想.

图5

（2）随意调取几位同学上传的学案照片，将学生猜想的结论整合后书写在黑板上.

预设学生会猜想到线段DE与BC的位置关系和数量关系，以及△ADE与△ABC的周长及面积的关系.

学生活动：观察图形，就三角形中位线可能的性质从多角度进行大胆猜想，将猜想的结果书写在学案的相应位置，并用平板电脑拍照上传.

【设计意图】让学生进行自主探索与发现，初步感知三角形中位线的性质，培养学生的探索精神和实践能力.

4.验证猜想

（1）检验.

教学内容与教师活动：从关键处入手，引导学生充分借助平板电脑的度量功能，检验关于线段的两条结论：DE∥BC，

学生活动：用图形计算器软件在平板电脑上画出任意一个三角形及一条中位线，测量线段DE和BC的长度，以及∠ADE和∠ABC的度数，并拖动三角形的顶点，任意改变三角形的形状，看猜想的结论是否仍然成立，从而感知猜想的合理性.

【设计意图】通过多个三角形边长和角度的度量，进一步检验猜想的合理性，发展学生的合情推理能力.

（2）证明.

教学内容与教师活动.

①让学生利用平板电脑，尝试添加辅助线，从逻辑上严格证明以上两条结论的正确性，在学生个体独立思考的基础上进行小组讨论.

教师巡视，对确实有困难的小组可予以适当的引导和启发.

②组织小组代表汇报探究成果，鼓励学生说出不同的证明方法.借助智慧教室的分享学生屏功能，将学生的平板与教师电脑互动，便于向全班同学展示多样化的证明方法.

预设学生有可能出现的第1种证明方法如图6所示，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F（或倍长DE至点F，连接CF），先证△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形.

图6

图7

预设学生有可能出现的第2种证明方法如图7所示，过点A，B，C分别作直线DE的垂线，先证明△ADF≌△BDG和△AEF≌△CEH，再证四边形BGHC是平行四边形.

此外，部分学生还可能出现如图8所示的辅助线作法，即过点E作直线AB的平行线交BC于点F（或取BC的中点F，连接EF），试图通过证明△ADE≌△EFC来完成证明.虽然这个思路很自然，但是证明△ADE≌△EFC的条件不足，学生可能陷入“循环论证”的思维误区.

图8

（3）借助智慧教室的点评功能，将各小组代表用于证明的图形上传到教师电脑，进行方法梳理、总结和数学思想方法的提炼.

①研究线段间倍分关系的基本思路之一是截长补短；

②通过添加适当的辅助线，将三角形问题转化为平行四边形问题，体现了一种重要的数学思想——转化.

（4）让全班学生从所有方法中任选一种，在学案相应位置书写完整的证明方法.书写完成后用平板电脑拍照上传，从中选取1～2名学生的证明过程稍作点评.

学生活动：①在平板电脑上画出图形（可添加辅助线），独立思考证明方法，整理思路，并与小组成员交流.

②小组代表进行展示、分享自己的证明思路，其他学生认真倾听，并及时补充，寻找不同的解决问题的方法.

③选择自认为最简便的一种证明方法，规范书写证明过程，并用平板电脑拍照上传.

【设计意图】通过对证明方法的探究，体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展，感受合情推理与演绎推理之间相互依存和相互补充的辩证关系.用不同的方法，通过严密的几何推理，将三角形中位线定理进行证明，以此进一步锻炼学生分析和解决问题的能力，体会转化思想，发展演绎推理能力，自然地完成本节课难点的突破.通过选择最简便的证明方法完善证明过程，加强对学生几何推理和书写习惯的培养.

5.得出定理

教学内容与教师活动：

师生共同总结出三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

并强调定理两方面的含义：位置关系——平行，数量关系——倍分.

学生活动：从位置关系和数量关系两方面来理解三角形中位线定理，并书写定理的符号语言——若DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，且

【设计意图】让学生明确三角形中位线定理，理解定理两方面的含义，掌握定理的符号语言，突出教学重点.

6.解决问题

（1）其他猜想.

教学内容与教师活动：在得到三角形中位线定理后，引导学生回到前面的猜想.在证明关于三角形面积的猜想的同时，也解决了引入中的“分蛋糕问题”（如图9）.

图9

学生活动：学生运用三角形中位线定理判断出其他几个猜想是否正确，并加以证明.

【设计意图】学生通过对其他猜想正确性的判断，在体会了三角形中位线定理的应用的同时，也完美地解决了分蛋糕问题，起到了前后呼应的作用.

（2）习题巩固.

教学内容与教师活动：给出三道由浅入深的习题，对于习题1、习题2，借助智慧教室的统计功能，查看学生完成情况统计图，根据统计结果，针对问题相对集中的地方做点评.习题3可让“小老师”上台讲解.

习题1：已知三角形的各边长分别为8，10和12，则以各边中点为顶点的三角形的周长是（）.

（A）8 （B）12

（C）15 （D）30

习题2：如图10，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）.

图10

（A）50° （B）60°

（C）70° （D）80°

习题3：如图11，在△ABC中，A1，B1，C1分别是边BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，A3，B3，C3分别是B2C2，A2C2，A2B2的中点，依此类推.若△ABC的周长为a，面积为S，则△AnBnCn的周长为______，面积为_______.

图11

学生活动：学生独立完成习题并用平板电脑提交答案.

【设计意图】通过有层次的3道习题，强化学生对三角形中位线定理的掌握.习题1、习题2直接巩固学生对三角形中位线定理的数量关系和位置关系的理解，教师可以及时了解全班学生对基础知识的掌握情况，便于根据学生的掌握情况调整教学，突出学生的主体地位.习题3有一定难度，注重对知识、方法的灵活应用，通过“小老师”的讲解，激发学生的参与欲望，增强学生学习的成就感.

（3）实际应用.

教学内容与教师活动：生活中，常遇到一些不能直接测量的距离问题.例如，要测量如图12所示的沙堆的宽度，你有什么办法？独立思考后与同伴进行交流.

图12

学生活动：联系到本节课的知识，思考怎样运用三角形中位线定理来解决沙堆问题.

同伴交流互学，一位学生上台讲解测量方法.

【设计意图】测量沙堆宽度问题意在让学生体会到三角形中位线定理在实际生活中的应用价值，同时培养学生的数学建模意识.

7.小结升华

学生分享这节课的收获，师生共同完成对本节课知识、方法及数学思想的总结和提炼.

【设计意图】通过回顾本节课学习的知识，以及应用到的数学思想和数学方法，使知识和方法系统化，从感性认识上升到理性认识.

六、教学目标检测设计

课后检测是对课堂的检测、巩固与提升.根据学情，在作业设计上，保留了教材中的基础题型，对教材的“议一议”、随堂练习和习题6.6进行了整合.

必做题：

练习1：如图13，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了点A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了点A，B间的距离.你能说说其中的道理吗？

图13

图14

练习2：如图14，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？证明你的结论，并与同伴交流.

练习3：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.

选做题：在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，试探究线段EF与AD，BC的关系.

【设计意图】三道必做题，层层递进，练习1直接巩固定理；练习2注重对定理的灵活应用；练习3则强化转化思想，将问题转化为平行四边形来解决.其中练习2是教材“议一议”的内容，本堂课为了突出对定理证明的探究，将其调整为课后练习，让学生有一定思考后在下一堂课中继续研究.通过练习题，巩固对学生三角形中位线定理的掌握，进一步优化学生思维，提高学生能力.

选做题是课堂活动的延展，既面向全体学生，又满足学生个性发展的需要，是人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展的较好体现.这道选做题意在巩固三角形中位线定理的同时，让学生进一步体会转化思想.

七、教学反思

从总体而言，本节课的设计实施思路是在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采用自主探究的教学方式，教师为学生的探索和讨论提供条件，使学生在自主探索和合作交流的基础上发现结论、验证结论，让学生经历数学探究问题时“观察—猜想—验证”的完整过程.

整堂课中，学生对笔者创设的问题很感兴趣，探究非常主动，回答问题非常踊跃，分组讨论、展示活动表现积极.师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了笔者的预期.在教师评价时，笔者关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基础知识的掌握情况和解决实际问题的意识与能力；在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教学评价的价值.同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会相互欣赏、学习和借鉴.总体说来有如下几点反思.