对“角的平分线的性质”一课的设计与反思

（北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校）

角的平分线的性质，即“角的平分线上的点到角两边的距离相等”和“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，是初中平面几何教学中比较特殊的两个定理，之所以这样说，源自于学生的两个疑惑：（1）学习这两个定理似乎是为了避开全等三角形的证明；（2）如果一个真猜想是性质定理，那么这个猜想的逆定理在一般情形下应该是判定定理.但是这两个定理为什么都称为性质定理呢？这两个疑惑也引起了我们的思考，以下是笔者对于“角的平分线的性质”一课的教学设计.

一、指导思想和理论依据

著名数学家波利亚认为，学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中也指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.本课是一节图形性质的探究课，知识的综合性较强，思维含量较大，结合波利亚和《标准》的理念，教师发挥主导作用，设置一系列问题串，引发学生的数学思考，启发学生的思维.

维果茨基的“最近发展区”理论认为，教学必须考虑到儿童已达到的水平并走在儿童发展的前面.教学可以说是“创造”着学生的发展，决定着学生发展的水平、速度和内容.在本节课的探究过程中，笔者始终围绕学生的最近发展区设置问题，以思考和相互交流的形式分析并解决问题，学生通过动手操作、观察、实验、探究来解决问题，从而完成对知识的自我建构.

二、教学背景分析

教学内容：本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“全等三角形”第3课时的内容，是对全等三角形知识的运用和延续.

“角的平分线的性质”一课是一节性质探究课，是初中阶段几何学习的重要内容，为以后研究图形的性质提供了重要的思路和方法，学生可以类比角的平分线的性质的研究方法，探究线段的垂直平分线的性质.学生能够从本节课的探究过程中，逐步感受一个图形与所有满足特征条件的点之间的关系，从不同的角度认识角平分线，体会其中的集合思想.学生初次探究这类问题，缺少认知基础和活动经验，笔者通过创设实际情境，使学生逐步掌握探究方法，在探究的过程中逐步体会这种集合思想，以及条件的充分性和必要性.

猜想证明是初中几何的重要组成部分，是培养学生思维严谨的重要载体.文字语言、图形语言、符号语言三种表述方式之间的转化是猜想证明过程中的重要环节，在本节课中，笔者设计了一系列学生活动，帮助学生突破这一难点.

学生情况：为了因材施教和有的放矢，笔者在课前进行了学习情况调研.数据显示，七、八年级的学生欠缺探究一个图形性质的方法和经验；九年级学生虽然学习过这部分内容，但是对证明几何猜想的完整规范的表述仍有一定不足.

教学方式：探究式教学.

三、教学目标及教学重、难点

教学目标：（1）从航线的具体情境中，抽象出几何模型，初步感悟具有某条件的点的特征.

（2）类比平行线，探索并证明角的平分线的性质.

（3）在探索活动中，体会合情推理的作用，理解模型思想、集合思想.

（4）通过对定理证明的一般步骤的梳理，体会数学的严谨性，发展逻辑推理能力.

教学重点：理解角的平分线的性质.

教学难点：发现并证明角的平分线的性质.

四、教学流程

借助情境，发现问题—问题变式，类比探究—证明猜想，归纳小结—拓展探究，提高能力—课后反思，提升认识.

五、教学过程

1.借助情境，发现问题

情境1：端午节是我们国家的传统节日，人们吃粽子，划龙舟来庆祝.在龙舟比赛中，为了明确船航行的方向，通常在河面上放置一些浮标（如图1）.

图1

若河的两岸互相平行，最中间一排浮标的位置是如何确定的（如图2）？

图2

师生活动：学生观看视频后，从实际情境中抽象出数学问题，画出图形，并确定浮标的位置.教师适当追问，引导学生分析“中间的线”与到两平行线距离相等的点之间的关系，明确应从两个角度去探究问题.

问题1：最中间的直线满足什么条件？问题2：到两平行线的距离相等的点有什么规律？问题3：你能提出关于两平行线间的“中间的线”的哪些猜想？

猜想1：两平行线间“中间的线”上的点到两平行线的距离相等.

猜想2：到两平行线距离相等的点在两平行线间“中间的线”上.

活动：在图3中画出两平行线间的“中间的线”，并简要记录画图步骤.

图3

【设计意图】通过中国传统文化赛龙舟，设计浮标这一实际情境引入，激发了学生的学习兴趣.借助情境，让学生经历了将实际问题抽象为数学问题的过程，从更易于理解的平行线间“中间的线”开始探究，逐步分析出两个猜想，既要探究直线上所有的点都满足一定条件，还要探究满足特定条件的所有的点都在直线上，既为下一个环节探究角的平分线的性质做了铺垫，又让学生获得了一定的研究经验.

2.问题变式，类比探究

情境2：如果河的两岸不平行，则抽象成一个角（如图4），这时你还能找到中间的线么？

图4

问题1：当两直线不平行时，“中间的线”还存在吗？它有名字吗？

问题2：角的平分线有与“中间的线”相类似的性质吗？

活动：提出关于角的平分线的猜想.

类比两平行线间“中间的线”的猜想，提出关于角的平分线的两个猜想.

猜想1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；

猜想2：角的内部到角的两边距离相等点在角的平分线上.

【设计意图】情境由两条平行的直线变为一个角，学生能够在这种特殊到一般的变化中，主动运用类比的方法，较为顺利地提出有关角的平分线的性质的两条猜想.

3.证明猜想，归纳小结

活动1：将猜想1改写成符号语言.

分析猜想1的条件和结论，明确猜想1的研究对象是线上的点.借助量角器，画出角的平分线，再将猜想的条件、结论分别用符号语言表述出来.教师展示学生的作图，并让一位学生简要描述自己的作图步骤，师生共同辨析得出大家都认可的一种恰当的表述.

【设计意图】使学生经历“猜想—画图—改写—证明”这一系列的探究过程，初步获得研究几何问题的方法和步骤.

在将猜想的文字表述转化成符号语言的过程中，学生可能会出现不同的理解.

预设1：已知，如图5，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证：PD=PE.

预设2：已知，如图5，∠AOC=∠BOC，点P在OC上.求证：PD=PE.

图5

预设3：已知，如图5，射线OC平分∠AOB，点P在射线OC上.求证：点P到OA，OB的距离相等.

学生在将文字改写成符号语言时，对于如何描述距离会出现不同的理解，教师引导学生分析几位同学的改写，确定预设1是最为恰当的表述.

活动2：完成猜想1的证明过程.

学生独立完成猜想1的证明过程，在黑板上板演证明的完整过程.

活动3：师生共同归纳证明一个几何猜想的一般步骤：阅读猜想—分析条件和结论—画出图形—写成符号语言—完成证明.

【设计意图】学生通过辨析猜想的条件和结论，先独立完成猜想的改写，再与教师共同辨析，得到最为恰当的表述.在这一过程中，一方面，可以增强学生对角的平分线的性质的猜想条件和结论的理解；另一方面，可以归纳证明一个几何猜想的一般步骤，感受数学的严谨性.

活动4：独立完成猜想2的证明.

在完成猜想1的证明过程的基础上，学生独立改写猜想2的已知部分，但是在求证的表述上可能会存在不同的想法.

预设1：已知，如图5，点P在射线OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=PE.求证：∠AOC=∠BOC.

预设2：已知，如图6，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.

图6

师生互动：师生共同分析，辨析猜想的条件和结论，不断调整对于已知和求证的书写.

【设计意图】学生在不断调整已知、求证的书写的过程中，提升对猜想的理解，强化几何猜想证明的一般步骤，体会数学的严谨性，突破本节课的教学难点.

4.拓展探究，提高能力

活动1：探究角平分线的画法.

预设1：依据角的平分线的定义，利用量角器进行度量，画出角平分线.

预设2：如图7，第1步：在射线OB上任取一点M，过点M作射线OB的垂线.在这条垂线上，且在角的内部任取一点H，过点H作射线OB的平行线l1；

第2步：在射线OA上任取一点N，过点N作射线OA的垂线.在这条垂线上截取NG=HM，且点G在角的内部，过点G作射线OA的平行线l2，交直线l1于点P；

第3步：点P即为所求.

图7

图8

预设3：如图8，第1步：以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点M，N；

第2步：分别过点M和点N，作射线OA，OB的垂线，两垂线交于点P.

第3步：点P即为所求.

活动2：拓展作业.能否用尺规作一个角的平分线？

【设计意图】多种画图方法，体现了学生思维的多样性和灵活性，提高了学生解决问题的能力，也进一步加深了学生对角平分线性质的理解.在此基础上，将“能否用尺规作一个角的平分线”布置为课后探究作业，使学生的思维层层深入，学习的过程形成体系.

5.课后反思，提升认识

通过对本节课的学习，你有哪些收获和体会？

【设计意图】通过小结环节，不仅使学生能够在知识上有所收获，更重要的，是能够从探究过程和思想方法的角度来提升对本节课的认识.

六、教学特点及教学反思

本节课的教学重点是角平分线的性质定理的探究及证明，角平分线可以看作是到角两边距离相等的点组成的集合，这个集合可以看作是动点的轨迹，这是角平分线的轨迹定义.我们知道，点的轨迹具有以下两个基本属性：（1）图形上的每个点都符合某条件；（2）符合某条件的所有点都在图形上.本节课所讲的两个定理正是从轨迹的角度刻画角的平分线，是学生第一次接触到轨迹的两个属性，后续的线段的垂直平分线和圆的定义也是典型的例子.如何在没有界定运动、点集、轨迹这些名词的情况下，让学生体会到轨迹思想，是这节课最大的挑战.

笔者在授课前，对初中三个年级的学生进行了充分的调研和学情分析，发现原有的探究活动过于生硬，学生只是在完成规定的操作，而缺少对发现问题的思考.同时，学习过此部分知识的学生对定理证明的掌握情况也不是太好.因此，笔者设计了充分的教学活动，力争有所突破.

笔者首先选择了赛龙舟这一中国传统活动进行引入，既弘扬了中华传统文化，又激发了学生的兴趣，更重要的是从中抽象出的平行线相关的数学模型是易于学生理解的.学生不难发现到两平行线距离相等的所有点组成在两条平行线“中间”且与两直线平行的直线，接着提出互为逆猜想的两个猜想，再画图说明.这样就使学生获得了一些继续探究的经验.

进而将平行线改为相交线，通过类比“中间的线”的研究思路，学生很容易想到去探究点到角的两边的距离，并对角平分线的性质提出猜想.这种设计思路非常新颖，学生的思维活动顺畅自然，成为发现问题、提出问题的主导者，也就使得角平分线的性质的探究活动不再生硬.

接下来笔者引导学生多角度探究画图方法，充分展示了学生思维的多样性，在发展学生画图技能的同时，也培养了学生的分析推理能力，两条定理的证明也就水到渠成了.在经历了阅读、翻译、画图，写出已知、求证、证明这一完整的过程后，学生对定理证明的一般过程也有了更清晰的理解.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］傅种孙.几何基础研究［M］.北京：北京师范大学出版社，2001.