“角”（第1课时）教学设计

汪 健，李庾南，袁亚良

（1.江苏省南通市启秀中学；2.江苏省南通市教育科学研究院）

一、内容和内容解析

1.内容

角的概念、角的表示、角的大小比较、角的和差、角平分线.

2.内容解析

角的概念、角的表示、角的大小比较、角的和差，以及角平分线是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础.

对于角的概念，学生在小学的时候已经有了粗浅的认识.初中阶段开始对角进行严格的定义，规范角的表示，准确度量角的大小和比较角的大小.高中阶段还要将角推广到任意角，进而学习孤度制和三角函数，学生对于角的认识层次在不断地螺旋式上升.因此，“角”这一节课的知识内容起到了承上启下的作用.

角的大小比较方法有两种——度量法和叠合法.其中，叠合法是重要的方法.叠合时使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合一边的同旁，保证了可比性；在度量法中，量角器起到了一个移角的作用，其实质是将两个角移动后叠合在一起.比较两角的大小是本节知识产生、发展的起点.无论是图形，还是数量，除了角的大小外，自然会产生角的和差问题，将角的和差特殊化，即产生等分（角平分线）问题.

与线段的比较、线段的和与差、线段的中点一样，对于角的比较、角的和差、角平分线，也是从数和形两方面来进行研究的.研究方法有两个方面：一是数形结合，即把几何意义与度数的数量关系结合起来；二是类比学习.按知识内容：线段的比较、线段的和与差、线段的中点，与角的比较、角的和与差、角平分线是类比性知识；按叙述方式：都采用图形语言、文字语言和符号语言综合描述所研究的对象；按学习过程：都注意从具体到抽象，同时也重视反向的训练.

基于以上分析可以看出，对角的概念的核心阐述将是这节课的重点.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解角的定义、角的表示法；会比较角的大小，理解角的和与差，以及角平分线的意义；会用文字语言、图形语言、符号语言对其进行描述.

（2）类比线段学习的相关经验，研究角的定义、角的表示方法、角的度量、角的大小比较、角的和差，以及角平分线，体会类比的思想.

2.目标解析

（1）能从角的静态和动态定义理解角，根据实际情况，会用一个大写字母、三个大写字母、数字、希腊字母表示角.

（2）会用度量法和叠合法比较角的大小；能从几何图形和数量关系两个方面认识角的和与差，以及角平分线；知道两个角的和或差仍然是一个角；能结合角的大小、角的和与差、角平分线的直观图形，用文字语言、符号语言对其进行描述.反过来，能将用文字语言或符号语言所描述的图形及关系，用直观图形表示出来.

（3）在学习过程中，能在回顾线段的定义、表示方法、大小、和与差、中点内容的同时，想象本课所要学习的内容，从而将线段学习过程中的研究方法和基本套路迁移到角的相关问题的研究中，形成良好的认知结构.

三、教学问题诊断分析

类比线段的学习研究方法，生成角的相关内容与学习方法，学生在对学习方法和学习内容的理解上不会有太大的困难.学生的学习困难主要存在于以下两个方面：一是角的动态定义，由原来两条射线的静态，到一条射线的动态，理解上有障碍；二是相关学习内容的文字语言、图形语言、符号语言的相互转换，学生在理解与转换上有困难.

对于角的旋转定义，要使学生明确不能只是将角看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与有公共端点的两条射线的重要区别.因此，宜抓住角的概念的核心为：（1）组成角的要素，即顶点和两条射线；（2）两条射线间的相对位置关系.

七年级的学生初次使用数学符号语言对角的相关知识进行表示，其需要一个感知、体会、辨析和运用的过程，对于几何中的文字语言、图形语言、符号语言，学生需要经历从直观到抽象的往复过程.要让学生从数与形的联系上去理解，从读图与画图的实践中去感悟，从具体、直观，到抽象的双向训练中去提高认识.

本节课的教学难点为角的动态定义，以及用三种不同语言描述角的大小、角的和差和角平分线.

四、教学支持条件分析

借助ppt动态演示角的形成过程，帮助学生理解角的动态定义.借助多媒体课件、学生动手操作学具等直观展示，让学生在观察、操作、想象、互助交流等活动中认识图形.

五、教学过程设计

1.创设情境

问题1：大家回忆一下，对线段这样一个图形，我们研究了哪些方面的内容？

在学生充分表达自己对线段的认识的基础上，师生共同概括出线段学习的基本结构.

【设计意图】温故知新，复习线段的相关知识，为研究角的相关知识提供思路和方法.

2.类比迁移，研究角的定义、表示法、度量、大小比较、和与差

问题2：今天这节课，我们研究另外一种基本的几何图形——角（揭示课题）.它和线段一样，也是可度量、有大小的，根据前面的学习经验，你觉得应该从哪些方面研究角？

可以研究角的定义、表示法、度量、大小比较、和与差……

【设计意图】引导学生自主迁移线段的研究方法，构建角的知识框架.

追问：在这些知识里，你觉得首先应该研究什么？

角的定义.

归纳：研究一个几何图形，首先应该研究它的定义.

问题3：你知道角是由哪些要素组成的吗？

静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边.

角的构成要素：顶点、边.

【设计意图】引导学生回顾小学里学过的角的静态定义，并进一步的调整，使之完善.

问题4：你身边有哪些文具给我们以角的形象？

圆规等.

追问1：闭合的圆规可以抽象为什么图形？

射线.

追问2：从圆规形成角的过程想一想，一条射线可以如何运动形成角？

动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所形成的图形叫做角.

如图1，其中，射线的端点叫做角的顶点.射线原来的位置OA叫做始边，旋转后的位置OB叫做终边，角的始边和终边统称为角的边.从始边旋转到终边所扫过的区域叫做角的内部，没有扫过的区域叫做角的外部.

图1

【设计意图】以圆规为例，在动态演示角的形成的过程中，引导学生抽象出角的动态定义.

问题5：（动画演示一条射线绕着端点旋转形成角的过程）在动画中，形成了哪些特殊的角？

平角、周角.

追问1：平角的两边有怎样的位置关系？周角呢？

追问2：形成平角和周角时，射线绕着端点分别旋转了几周？平角和周角哪个旋转量大？周角和平角哪个角大？

周角的旋转量大；周角比平角大.

追问3：角的大小由什么决定？

旋转量的大小决定角的大小.

【设计意图】研究动态形成的特殊角，引导学生分析角的大小的决定因素，为后面研究角的大小比较做好准备.

问题6：接下来要研究的有关角的内容，哪些是在小学已经学习过的？先独立思考，再小组交流.

此时课堂完全开放，由学生自主研究相关知识.

（1）角的表示法.

追问1：小学已经学过哪些角的表示方法？还有哪些新的表示方法？

①如图2（1），角通常用三个大写字母及符号“∠”表示为∠AOB，或∠BOA.

②如图2（1），用顶点字母表示为∠O.

③如图2（2）、2（3），用一个数字或希腊字母表示为∠1，∠α，……

图2

追问2：如图3，能将∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎么表示呢？

（2）角的度量.

追问1：角是怎么度量的？角的度量工具是什么？

追问2：角的度量单位有哪些？1°的角有多大呢？有没有比度更小的单位？

图3

（3）大小的比较.

追问1：关于研究角的大小比较的方法，你联想到前面学过什么知识？

线段的大小比较.

追问2：你能类比线段大小比较的方法，找到比较如图4所示的两个角大小的方法吗？

图4

比较的方法：①度量法：用量角器来比较（对中、重合、读数）.

②叠合法：重合（两角的顶点及一边重合），同旁（另一边落在第一条边的同旁）.

比较的结果：两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？

表示方式如图5所示.

图5

（4）角的和与差、角平分线的意义及数量关系.

追问1：如图6，图中共有几个角？它们如何表示？它们之间有什么等量关系？

追问2：你能类比线段的和与差，用符号表示这些角之间的关系吗？

追问3：线段中有中点的概念，类似的，角中具有相似概念吗？

角平分线定义：以一个角的顶点为端点的射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.

进一步分析角平分线定义具备的性质与判定的双重作用.

【设计意图】引导学生充分挖掘对角的已有认识，结合线段的研究方式，自主完善角的相关知识，建构完整的知识结构和研究方法体系.

图6

3.小结

回顾本堂课的学习，我们研究了有关角的哪些知识？我们是怎样研究这些知识的呢？你还有什么疑问吗？

【设计意图】回顾反思，整体建构角的知识结构，总结研究方法，加深对类比这一数学思想方法的体会，归纳出研究几何图形的一般方法.

4.课外作业

完成课后练习题.

六、教学反思

“角”是湘教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章第三节第1课时的内容，原标题是“角与角的大小比较”.学生在小学阶段已经学习过角的相关知识，初中阶段是学生第三次研究角这个图形.

从教材体系看，线段和角既是平面几何图形中并列的两个基本元素，但是它们又是相关联的.角与线段具有内容的同构性，作为一个平面几何的基本元素，线段包含如图7所示的内容.

图7

这与另一个基本元素——角，完全类同.因此，学生已有的线段认知是获得对角的认知结构的基础，我们以对线段的认知结构的回顾，自觉进行迁移，探究新知角的知识体系.

根据学生的认知基础，我们确定了研究重点：角的定义（动态、静态定义）、角的表示方法、角的度量、角的大小比较、角的和差、角平分线.在这些知识中，有些是学生在小学阶段已有基础，但是需要进一步规范和补充完善的.例如，对于角的定义，小学阶段已经给出过角的静态定义，但是不够严谨，初中阶段给出了角的严格的静态定义，同时为了与高中衔接，又引入了角的动态定义，这是对小学已有知识的补充.对于一些知识，虽然小学已经研究得比较全面，但是要加深学生思维的深度，提高学生的学力，为此教师就有必要引导学生对问题的本质进行思考.例如，在角的度量中，学生已经熟练掌握了用量角器度量、比较角的大小.因此，这部分知识不是本节课的重点.但是在探究用度量法、叠合法比较角的大小后，我们应该引导学生对原有认知进行更深入的反思：为什么度量的度数越大，角就越大？通过分析度量法与叠合法的本质联系，使学生理解度量法比较大小的实质是用量角器这个工具实现角之间间接的叠合，当角的度数越大时，形成这个角所需要旋转的量也就越大，从中体会到数与形的统一.这是学生思维的一次升华，即从研究“是什么”上升到研究“为什么”.

数学的核心是思维，失去思维，数学知识本身也会变得没有灵魂.在这节课中，学生不仅学习了角的相关知识，更重要的是在研究角的过程中，逐步掌握了研究几何图形的一般方法：先从图形形状特征出发抽象出图形定义，再研究图形表示法、性质、判定等相关知识.这揭示了原有的知识与方法和新学的知识与方法之间的联系或逻辑关系，使学生既获得了结构性的知识和方法，也提高了学习几何图形的兴趣和自信.

角这个图形源自射线，它是由具有特殊位置关系的两条射线组成的图形，由图形特征抽象出定义，由两条射线的相对位置或由始边旋转量的大小推出角的大小概念.因此，要度量角的大小，必须有度量工具和度量单位，这样便生成了量角器（构造原理）和刻画量的大小的单位.因此，周角的大小为360°，随之平角180°，平角之半为直角.进而两个角也就有了大小的比较，需要研究两个角大小的比较方法、比较结果和数学表示方法.在此基础上进行拓展，研究角的和与差，互余、互补，以及角平分线等概念，这样便逐渐形成了关于角的知识体系.当把角的这一体系作为一个整体知识后，它又成为了构成几何图形的一个基本元素.例如，角是构成三角形的元素之一，而三角形又是一个知识体系，这样由角、三角形，以及其他一些相关知识，便形成了较大的数学知识体系.我们在教学时，要让学生学习到结构性的数学知识，这个结构可以是大的章节结构，也可以是小的单元结构.只有这样，学生对于知识的理解才能够更加深入和完整，才能有利于学生数学素养的提高.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

［4］李庾南.数学自学·议论·引导教学法［M］.北京：人民教育出版社，2004.

［5］李荣娟，王兴武，董彦生.初中数学教材整合的原则与方法［J］.山东教育，2009（32）:37-38.