带位势项的半线性波动方程解的生命跨度的上界估计*

韩 伟，任登云

（中北大学理学院，太原 030051）

0 引言

偏微分方程理论有着悠久的历史，而波动方程作为最早得到研究的3种基本数学物理方程之一，在其理论的应用方面取得重大突破。它有着广泛的物理背景，如弹性体运动方程，弹性力学中的弹性弦方程等。对于非线性波动方程的研究，由于非线性项会使波在传播过程中变得陡峭直到破裂。早在20世纪60年代，Fujita等人就开始对非线性偏微分方程的整体解及破裂问题进行了研究。之后许多数学工作者对非线性波动方程的解的生命跨度的上界估计以及非线性项和空间维数的关系进行了大量的研究，而半线性波动方程作为一种特殊性的非线性波动方程，也吸引了不少数学工作者的研究。

本文考虑如下半线性波动方程小初值Cauchy问题：

本文主要结果如下：

使得

其中A为一个不依赖于ε的正常数。

为了证明定理1.1，需要列出以下3个重要引理：

其中，k，δ，R 为正常数，则 F（t）将在有限时间内破裂，且 F（t）的上界估计 T（δ）：

其中，c是依赖于k，R但不依赖于δ的正常数。

引理1.1的证明详见参考文献［6-7］。

其中，C0，C1为正常数，其中当 V=0 时，有

引理1.2的证明详见参考文献［1］。

证明与参考文献［7］中引理2.4相同，此处略。

1 定理1.1的证明

为了证明定理1.1，现引入如下函数

引理 2.1 令（f，g）满足式（2），假设柯西问题（1）有解使得

则对所有的t≥0，

其中，c0为正常数。

此证明方法可参考文献［2］引理2.1，此处省略。

那么证明a，q，F（0t）满足引理1.1中的微分不等式。首先将式（1）中方程两边同时乘以（0x），再在Rn上积分可得

结合引理1.2中式（5）可得

那么式（9）可变为

由Ho··lder不等式可得

由式（7）、式（9）和式（10）可得

由引理1.2中式（5）可得

因此，可得不等式

所以F0满足引理1.1中式（b）不等式，为了得到F0满足引理1.1中式（a），可以建立与F1（t）之间的关系，在式（1）两边同时乘以ψ（x，t）并在Rn上进行积分，再利用Ho··lder不等式得

所以上式变为

结合引理1.2，则上式变为

下面对分子、分母进行估计，由引理2.1可得

由引理1.3可得

其中，C为正常数。

结合式（14）和式（15）可得

故F0满足引理1.1中式（a）不等式。

结合式（11）和式（17）及引理 1.1，可得参数

则当p＞1时有

其中，A是不依赖于ε的正常数。定理1.1证毕。

参考文献：

［1］JOHN F.Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions ［J］.Manuscripta Mathematica，1979，76（4）：1559-60.

［2］YORDANOV B，ZHANG Q S.Finite-time blowup for wave equations with a potential［J］.Siam Journal on Mathematical Analysis，2005，36（5）：1426-1433.

［3］HAN W.Finite time blow-up for semilinear wave equations with variable coefficients［J］.Forum Mathematicum，2013，27（4）：2217-2230.

［4］ZHOU Y，HAN W.Blow-up of solutions to semilinear wave equations with variable coefficients and boundary［J］.Journal of Mathematical Analysis&Applications，2011，374（2）：585-601.

［5］梅春亮，徐根海，章敏.带位势项的非线性波动方程解的破裂［J］.丽水学院学报，2015，37（5）：10-14.

［6］SIDERIS T C.Nonexistence of global solutions to semilinear wave equations in high dimensions［J］.J.Differential Equations，1984，52（3）：378-406.

［7］ZHOU Y，HAN W.Blow-up of solutions to semilinear wave equations with variable coefficients and boundary［J］.Journal of Mathematical Analysis&Applications，2011 （374）：585-601.

［8］ZHOU Y.Blow up of solutions to semilinear wave equations with critical exponent in high dimensions ［J］.Chin.Ann.Math，2007，28B（2）：205-212.