在“数学变式”教学中演绎精彩

袁一丹

摘 要：依据数学“变式”的特点，从合理设置出发，增强“变式教学”的趣味性、突出“变式教学”的主体性、挖掘“变式教学”的正迁移、体现“变式教学”的综合性四个方面阐述了课堂教学中具体操作变式教学的方法，以题带面尝试在“数学变式教学”中拓展思维和深入探究两条路径，以达成优化学生数学思维的目的。

关键词：数学变式；教学尝试；思维突破

在数学教学中进行变式教学能让学生从“题海”中解放出来，使之从被动思维转化为积极主动的思维。在使用变式教学时要紧扣数学问题的关键特征，从学生的现有实际接受能力出发，根据平时数学教学的需要，以提升学生能力为目的进行变式。本文从数学变式教学的价值出发，谈谈如何从合理设置增强“变式教学”的趣味性、主体性、正迁移及综合性出发，以题带面尝试在变式教学中的具体操作。

一、“数学变式”教学的价值

“数学变式”教学是促进学生科学地掌握数学概念的一种数学教学方式。本文认定的“数学变式”教学是：在数学课程教学过程中，可以在数学问题原有的状態下改变它的呈现形式，如将条件或结论适当变化等，使数学问题的内容和形式在表面上发生了变化，但解决此数学问题所用的知识与方法不变的教学方式。所谓的“数学变式”就是保持数学问题的原有性质，不断地改变它的展示状态。即教师通过不断改变数学问题原有性质的非本质特征，如在原有的状态下改变数学问题的条件或结论，从表面的形式上改变数学问题的内容和形式，但仍然保存了原来数学问题的本质属性。

“数学变式”教学能提高学生对问题进行迁移和创新的能力，是培养学生创新能力的重要方法。在教学中具体来说如对典型的数学问题进行有针对性的、不同角度、多种层次的演变，比如改变数学命题的条件和结论，变换数字、呈现形式，或组合状态等。变式的过程就是思维迁移和深化的过程。通过变式数学问题情境的创设，可以使学生多角度、多层次地去审视与思考数学问题，这会让学生形成不受限于固定的思维模式，对于培养学生思维的广阔性与创造性是富有成效的。

二、“数学变式”教学的尝试

中学生的数学思维是灵活和多方向的，数学教师应该提供给学生的教育是：充分调动起学生的学习兴趣和学习积极性，全方位地拓展学生的思维空间，最大限度地开发学生数学学习的潜能。而实现这一目标的有效途径之一就是“数学变式”教学的灵活应用。通过改变数学问题情境的创设，让学生对满足同类但不同条件的情况做出准确的分析与判断；或者通过学生解题后的反思提炼出同一类问题的解决操作过程与方法；通过改变结论（扩展使用范围）等方式培养学生合情推理、深入探索的思维能力，有效地突破原有的思维定势，从而使学生的数学思维更具有灵活性和创造性。

具体操作时可从以下两个层面展开，一是充分利用“变式”自身的特点和属性，多角度地从以下“四性”开展：合理设置，增强 “变式”趣味性；师生互动，突出“变式”主体性；深入挖掘，实现“变式”正迁移；以题带面，体现“变式”综合性。二是从提升学生数学思维的品质出发，让学生在“变式”中进行探究和拓展，促进学生具有较高的数学思维品质和优秀的数学解题与数学问题的迁移能力。

（一）多角度体现“数学变式”教学的特点

1.合理设置，增强“数学变式”教学的趣味性

在数学学习过程中，学生主动学习数学的源动力是兴趣。有兴趣的同学会积极主动地参与到课堂教学与互动中来，这有利于优化学生的数学思维，提高数学学习的效率。然而这种兴趣不是与生俱来的，要通过教师在课堂教学中采用积极有效的教学手段逐步培养出来。合理利用“数学变式”教学是激发学生学习数学兴趣的有效手段。

【案例1】7个人排队，求以下各种情况的不同排法：

（1）按任意的顺序排成一排；（2）排成两排，前排3人，后排4人。

以上两题的实质都是7个不同元素的全排列问题，是没有任何条件限制的。

变式1：（1）甲排在队伍的正中间；（2）甲在正中间，甲与乙相邻；（3）甲、乙在队伍的两端。

变式意图：变式1属于某些元素位置有特殊要求的类型，这样就由上题的全排列变化到特殊元素优先考虑的类型。这样的过渡比较自然，有利于学生自主探索和学习。

变式2：（1）甲与乙相邻；（2）甲、乙、丙三人相邻；（3）甲、乙、丙三人相邻且甲在中间。

变式意图：变式2在变式1的基础上条件变化为两个特殊元素以及三个特殊元素的相邻问题，这样可以启发和引导学生得出用捆绑法解决这类问题。

变式3：（1）甲与乙不相邻；（2）甲、乙、丙三人均不相邻。

变式意图：变式3在变式2的基础上将条件变化为指定元素不相邻的问题，这样促使学生积极思考，并能够主动找出和上面题目的区别，从而得到插空法的基本类型。

通过以上题目的变式教学能使学生对排列问题中的几种常规题型有一个总体的把握，能够对题目对症下药。只有在课堂上充分调动起学生的数学学习兴趣，才能达到良好的数学教学效果。

2.师生互动，突出“数学变式”教学的主体性

数学老师的教学氛围要大气是指教师要关注数学知识的本质，凸显主干知识，在概念和原理的发现和生成处着力，加强基本技能的训练。教学氛围的灵动是指教师的教学实际不拘于教学设计，根据教学氛围因时、因势而动，顺势而为。所以教师要在课堂上充分利用好各种教学资源，展示自己的数学教学魅力，尊重与激励学生，有意识地为学生的数学学习搭建平台，更多地为学生进一步探究数学创设各种机会，更多地为学生体验数学提供时空，真正创造出能让学生认识数学本质、发展数学思维、提升数学智慧的民主、大气、灵动的教学氛围。

在授课过程中，教师要充分关注师生互动，在互动中注意正确引导，要鼓励学生在课堂上提出自己的观点，对于学生独特、奇异的提问与回答，要将适度激励与客观引导相结合，让学生体会到自己的主体性。对学生自己解决有困难的题目，可以进行师生、生生的共同分析探究来解决。

【案例2】已知双曲线x2-■=1，求被点（3，2）平分的弦PQ所在的直线方程。

本题通过点差法或利用韦达定理很容易解决。但是在解决了这个问题的基础上我们可以做如下变式：双曲线方程不变，是否存在被点（1，1）平分的弦？同样的题目只是变化了一个点的坐标，利用如上的方法，我们会发现，这样的弦不存在，这样就会激发学生的求知欲和探索欲，为什么对于有的点存在被这个点平分的弦而有的点不存在呢？进而根据这两个点与双曲线的位置关系可以联想到以下结论是否正确：

（1）点在双曲线的两侧就一定存在被这个点平分的弦；

（2）点在双曲线的中间不一定存在被这个点平分的弦；

（3）点在双曲线上不存在被这个点平分的弦。

此时把问题推广到了一个一般情况，激发学生的探索欲望。从而由一个具体的题目得到了一个很有用的一般性结论，在潜移默化中使学生形成了对题目进行挖掘和总结的思维习惯。

3.深入挖掘，实现“数学变式”教学的正迁移

迁移可理解为学生头脑中已有的知识结构对新知识学习的影响，先学的知识与后学的知识如果存在共同的因素，总有迁移的现象发生，所含的影响如果是积极的则称为正迁移，否则称为负迁移。数学教学的目标就是有效地实现正迁移。也就是通过某些途径或方法将新知识或新问题纳入到学生已有的认知结构中，使知识在新的问题情境中产生正迁移。正向知识变迁是逆向化归的基础。在推导某些重要的结论时可以通过对熟悉题目的变式得出结论。

【案例3】在数列{an}中a1=1，an+1=an+1（n∈N*），求数列{an}的通项公式。

这是等差数列的递推关系式，学生很容易求解。通过此题可以复习等差数列通项公式的推导方法，进而对题目进行变式。

变式1：将题中的递推关系改为an+1=an+n，根据等差数列通项公式的推导方法“累加法”操作就可以。

变式2：把原题中递推关系改为，an+1=an+2n-1学生按照上面的解法同样可以得出答案。这时适时启发学生：对于什么形式的递推关系可以利用“累加法”求解？

到此可以得出如下结论：形如an+1=an+f（n）的递推关系可以利用累加的思想方法，化归为等差数列或等比数列求和问题解决。

对于上题可以继续变式为系数不相等的情况：

变式3：把原题中递推关系变化为an+1=2an+1，又可以得到待定系数法求一般形式为an+1=can+d（c≠0，c≠1，d≠0）的数列的通项公式。

这样的教学设计有利于学生从整体上把握和区分，由特殊数列的通项公式的推导方法得出一个类型的问题的解决通法，也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。通过这种“数学变式”教学使新旧知识有机地融合起来，可以促进学生对新知识的接受。

4.以题带面，体现“数学变式”教学的综合性

教师上课时要让学生领悟和思考解题过程中用到的知识点有无纵横联系，如有是如何联系的，使数学知识逐步系统化、网络化、结构化。对那些有较大灵活性的典型问题要深入地实施“借题发挥”，达到以题带面的效果。精心設计有层次、有坡度、要求明确、题型多变的问题，使学生跳出“题海”，以不变应万变。“数学变式”教学力求变中求“活”、变中求“新”、变中求“异”、变中求“广”。

【案例4】已知，f（x）=3x2-9x+6，f（x）≥m恒成立，求m最大值。（达成率较好）

随后反馈题：已知不等式■<0对于一切x都成立，求m的取值范围。（部分同学不能分离出分子恒大于0的干扰信息，达成率降低）

由于这题做了效果不怎么好，所以在经过全班讲评后我在随后的反馈题中设置了这么一个练习：已知函数f（x）=■对于一切x∈R，均有f（x）<0成立，求m的取值范围。（达成率近半）

此外，我在一段时间的提高题中，设置了如下一些知识点的综合题：

（1）已知集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，若B？哿A，求实数a取值范围。（此题与集合结合，很多同学会遗漏掉“空集是任何集合的子集”的知识点）

（2）已知f（x）=■的定义域为[1，2]，求a+b的值。（考查韦达定理和不等式解集的关系）

（3）若函数y=2a与y=ax-1（a>0且a≠1）的图象有两个公共点，求实数a的取值范围。（要求学生用函数图象解决参数范围问题，当时测试反馈正确率一半）

通过此题，学生往往会有这样的感悟：原来我们还可以这样利用图象来解决函数中参数问题及零点问题。这样的训练扩充了学生原有的知识体系，促使学生对图象的理解又更深了一步。

（4）已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当时a+b≠0，总有■>0，判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性。（这题非常规的单调性证明，要求学生有较高的奇函数和单调性知识综合使用能力）

对于这样的操练能让学生体会到数学学习的乐趣，很多同学在课后会有这样的感叹：要学会自主选择，选择向目标靠近的途径，使我的每一步有目的地进行操作，有利于提高自己的思维深度。

（二）多方面突破“数学变式”教学的思维

1.在“数学变式”中拓展思维

数学教学就其本质而言是数学思维的教学，学生解决数学问题的过程是学生进行数学思维的过程，是学生将本问题与原有认知及各种问题解决策略结合起来进行探索、分析、探究的过程，是学生“用自己的大脑亲自获得知识的再发现过程”。数学课堂教学要坚持将优化学生的数学思维作为首要任务，在数学教学中恰当地使用“数学变式”，让学生从不同角度对不同问题进行探究，能起到促进学生对所学的数学问题做到触类旁通、举一反三，从而更好地优化学生的数学思维，培养学生的创新精神，提高学生的综合素养的作用。

【案例5】对于一切x∈R，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范围。

本题利用一元二次函数与一元二次不等式的关系很容易解决，只需满足Δ≤0即可求出a的取值范围。

变式1：对于一切x∈R，若不等式ax2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范围。

变式意图：此时可以让学生思考片刻后回答，如果回答得不全面可以再请其他同学补充，这样让学生积极主动思考、对比两题的异同点，从而得到正确的解答方法。

变式2：对于一切x≥-1，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的取值范围。

变式意图：这是不等式在某一区间上恒成立的问题，在上一题目的基础上提升难度，有多种解决方法。如果利用上面的思考方法既要考虑对判别式的分类讨论，又要考虑相应的一元二次方程根的分布问题。这个背景变化了的题目可以启发学生转换思考角度，探索新的方法，即利用变量分离的方法来解决。

变式3：对于一切x∈R，若不等式sin2α-2asinα+2-a≥0恒成立，求a的取值范围。

变式意图：变式3与三角函数相结合使难度进一步加大，与上题既有联系又有区别，学生在解决上一题目的基础上对于此题的解答有一定的认识，在学生思维的最近发展区内考查问题。此时可以激发起学生征服这个题目的欲望。此时也可适时地启发学生将变式与其他基本函数相结合，学生掌握了这种思维方法，对于同一类型的题目都会迎刃而解。

变式4：对于一切a≥-1，若不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求x的取值范围。

变式意图：此题在不等式不变的情况下给出字母a的取值范围，求相应的x的取值范围。又要变化思考问题的角度，相似的题目不同的解决方法和思维方法，可以调动学生的参与意识和创新意识。

2.在“数学变式”中深入探究

数学教材中的例题和习题的结论，反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着丰富的数学思维方法和思想精髓，教师应充分利用好书本素材，在课堂上适当地对原习题进行如弱化条件或拓展结论等深层次的探究，挖掘出更为深刻的结论。让教师对教材的“再创造”贯穿于数学课堂的全过程，使数学课堂因一连串的变式促进各种不同思维的碰撞与产生，不同方法的融会贯通。一个问题的解决，能让学生发现许多有意义的问题并得出许多有意义的答案，对进一步探索数学问题的奥秘是很有启发的。纷繁的背后其实是简单的原理。

【案例6】人教A版《数学》必修1第45页复习参考题B组第5题，证明：

（1）若f（x）=ax+b，则f（■）=■；

（2）若f（x）=x2+ax+b，则f（■）≤■。

教学过程中，对本习题结论证明之后，笔者给学生设计了如下问题：

请适当改变（2）中的条件，探求相应的结论，你能否将该命题进行适当推广？

课堂上放手让学生自己变更条件，探求其相应的结论或将命题推广，安排小组学习的形式进行讨论（给予足够的时间），然后请小组代表展示探究结果。

组A代表1：

若f（x）=2x2+ax+b，则f（■）≤■ （1）

若f（x）=-x2+ax+b，则f（■）≥■ （2）

组B代表2：

若f（x）=x2+ax+b，则f（■）≤■ （3）

组C代表3：

若f（x）=logax，则f（■）≥■ （4）

组D代表4：

若f（x）=ax，a>1，则f（■）≤■ （5）

若f（x）=ax，0

组E代表5：

若f（x）=ax2+bx+c，a>0，则f（■）≤■ （7）

若f（x）=ax2+bx+c，a<0，则f（■）≥■ （8）

组F代表6：

若f（x）=x2+ax+b，则f（■）≤■

（9）

教师：很好！组A代表改变二次项系数；组B同学将结论由n=2推广到n=3；组C同学变换函数，将二次函数变为对数函数；组D同学将二次函数变为指数函数；组E同学将二次函数一般化；组F同学将结论进行推广……下面请判断这些结论是否正确。

通过讨论，学生对自己探索所得的结论进行推证，去伪存真，达成共识：其中⑴⑵⑶⑺⑻⑼是正确的，⑷⑸⑹是错误的。

上述以教材中的一道习题作为学生设计问题并提供探索依据，启发学生变换题目的条件，经过归纳、假设等再发现的数学思维活动，探索相应的结论，培养了学生的探究精神，促进创新能力的提升。

“数学变式”教学使学生在错综复杂的变化中感悟数学知识的发生、发展过程，从而形成完整的认知过程，充分体验了分析问题、解决问题的思维过程，从而提高学生探究、探索数学问题的综合能力。“数学变式”教学把枯燥的知识层层解剖，拨开迷雾，看清“庐山真面目”，使学生能举一反三，融会贯通，从而减轻了题海战术所带来的疲惫；使学生体验“柳暗花明又一村”的豁然开朗，经历从百思不得其解到得来全不费工夫的酣畅淋漓；使学生领略数学学科的趣味性，感受数学课堂的獨特魅力，使数学课充满生机，焕发活力，大放异彩。

参考文献：

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[4]喻平.走进高中新课改[M].南京：南京师范大学出版社，2005.

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