拖拉机行星齿轮箱故障响应特性动力学仿真及验证

史丽晨，李 坤，王海涛，刘 洋



拖拉机行星齿轮箱故障响应特性动力学仿真及验证

史丽晨，李 坤，王海涛，刘 洋

（西安建筑科技大学机电工程学院，西安 710055）

针对目前农业机械设备少有从振动机理方面研究行星减速轮系的故障特性，且缺乏对不同故障程度下系统故障特性的研究等问题，该文以拖拉机传动系统中的行星齿轮减速箱为研究对象，建立了行星轮系动力学模型，考虑了其在运行时振动传递路径时变效应对振动信号的影响；推导了行星轮故障下的啮合刚度变化表达式，并引入故障因子，得到了不同故障程度下的啮合刚度；采用变步长的Runge-Kutta方法求解行星轮系动力学模型，分析得到了行星轮分别出现裂纹及断齿故障时系统响应的频谱特性。模型分析结果表明，由于振动传递路径时变效应对响应信号的调制作用，行星轮系频谱中的啮合频率及其倍频附近出现了以行星架转频为调制频率的边频带；当行星轮出现裂纹或断齿故障时，啮合频率及其倍频附近不仅出现了以行星架转频为调制频率的边频带，同时还会出现以行星轮故障频率为调制频率的边频，且断齿故障状态下的边带幅值较裂纹故障下更加明显。最后将试验信号与模型信号进行对比分析，分析发现，试验与模型响应信号对应频率的最大相对误差分别为4.65%和2.32%，决定系数R分别为0.999 6和0.999 8，所得试验结果与模型结果基本一致，验证了所建立模型的准确性。该文可为农机设备中行星轮系的故障机理及系统健康监测研究提供参考。

拖拉机；齿轮；振动；故障特性；动力学模型；啮合刚度

0 引 言

行星齿轮传动作为一种新型、高效的传动形式，具有体积小、重量轻、传动比大、传动效率高、承载能力强等诸多优点，因此被越来越广泛地应用于诸多农业机械中，如插秧机、大型联合收割机、播种机、拖拉机等[1]。农业机械的使用有较强的季节性和紧迫性，工作的气候条件和环境复杂、恶劣，大多数是经常工作在露天和不同的田野环境，且在不同性质的质地上行进工作[2-3]。所以行星齿轮箱在运行过程中时常出现齿轮裂纹、断齿等故障，导致设备运行不平稳而达不到耕作要求，甚至导致整个设备的停机，对农忙季节的生产作业造成巨大损失[4]。因此，建立基于故障的行星齿轮系统动力学模型，并研究系统的振动响应特性，对研究农机设备行星轮系故障机理及系统健康监测至关重要。

国内外现有基于行星齿轮系统的动力学模型，大部分都是对正常状态下的行星轮系建模，且建立在很多假设之上，缺乏故障行星轮系建模分析[5-9]；在对行星轮系故障振动特性分析时，少有从振动机理方面进行研究[10-14]；即使建立了行星轮系故障仿真模型，也只是针对某一种故障进行研究，且未考虑其在运行时振动传递路径时变效应对振动信号的影响[15-18]。本文针对目前模型及研究的不足，以拖拉机传动系统中的行星齿轮减速箱为研究对象，建立考虑齿轮副啮合综合误差[19]、齿侧间隙[20]和时变啮合刚度的行星轮系动力学模型，且考虑振动传递路径时变效应对振动信号的影响；利用傅里叶级数表示齿轮副时变啮合刚度，推导行星轮故障状态下的啮合刚度变化表达式，并引入故障因子，得到不同故障程度下的啮合刚度；通过求解模型进行系统的响应特性分析；最后通过搭建行星齿轮箱试验台进行试验，验证所建立行星轮系动力学模型的准确性，为农机设备行星传动系统的健康监测及故障诊断提供理论依据。

1 拖拉机行星减速轮系动力学模型

拖拉机的传动系统有机械式、液力式和电力式，常见的拖拉机普遍采用机械式传动系统，即有级传动[21]。有级传动系一般由离合器、变速箱、中央传动、差速器（或转向机构）和最终传动组成。最终传动用以进一步降低发动机传来的转速，使传动比满足总传动比的要求。由于行星齿轮传动结构紧凑、传动比大，因此常用作最终传动[22-23]。图1所示为轮式拖拉机传动系统简图，最终传动即为行星轮传动。

图2为拖拉机中行星齿轮传动的机构运动简图及所建立的动力学模型，系统由太阳轮、3个行星轮、行星架和内齿圈构成，其中太阳轮为输入端，行星架为输出端。

本文以拖拉机行星齿轮箱为研究对象，建立其动力学模型并进行故障响应特性分析[24-25]。

1. 离合器 2. 变速箱 3. 停车制动器 4. 中央传动和差速器 5. 行驶制动器 6. 最终传动 7. 双速的动力输出轴

注：、分别为行星架、太阳轮的旋转角度，；为第个行星轮的自转角度（），；、分别为太阳轮、内齿圈与第个行星轮的啮合刚度，；、分别为太阳轮、内齿圈与第个行星轮的啮合阻尼系数，；、分别为太阳轮、内齿圈与第个行星轮的啮合齿轮副侧隙，；、分别为输入、负载转矩，。

根据拉格朗日方程，可推导出图2所示行星轮系的动力学微分方程为[26]：

微分方程组（1）中含有位移间的耦合项，造成方程组难以求解。因此为了消除耦合的影响，需要对方程组(1)引入相对位移坐标：

对微分方程进行归一化处理，得系统无量纲运动微分方程组：

当测量行星齿轮箱的振动时，传感器一般安装在与固定内齿圈相连的箱体上。由于行星轮的公转，啮合点与传感器之间的传递路径周期性变化。在实际测试中，行星架转动造成的振动传递路径时变效应不可忽视[27]。上述动力学模型求得的动态响应并未考虑振动传递路径时变效应对响应信号的调制作用。而固定传感器采集到的是经过时变传递路径调制后的振动响应信号，为了模拟实际测试情况，需要对求得的动力学响应作进一步变换。

行星架旋转对传感器测试到的振动信号产生调幅效应，这种调幅效应可以通过以行星架旋转频率为基频的Hanning函数来表示[28]。

2 齿轮时变啮合刚度表示

在齿轮啮合过程中，单对齿和多对齿啮合交替周期进行，因此啮合刚度呈现周期性变化，而任何周期函数均可表示为正弦函数和余弦函数的无穷级数，因此本文采用傅里叶级数来描述齿轮的时变刚度[29]。首先推导单对啮合齿轮系统轮齿发生故障时啮合刚度的傅里叶级数表达式；然后推广到行星齿轮系统，分析得到行星轮轮齿故障时啮合刚度的傅里叶级数表达式。

2.1 单对啮合齿轮系统故障齿轮啮合刚度

设每个齿的啮合刚度变化相同，图3a所示为正常状态下齿轮的啮合刚度曲线。

由图3a可得正常状态下齿轮啮合刚度的傅里叶表达式为

图3 单对啮合齿轮系统正常状态及单齿断齿故障时的啮合刚度

Fig.3 Meshing stiffness of single-pair meshing gear system under healthy condition and tooth broken condition

将图3a和图3b做差，结果如图3c所示，即为断齿时啮合刚度变化前后的幅值差图。

所以，具有断齿故障的齿轮啮合刚度表达式即图3b的傅里叶表达式为

（9）

2.2 行星轮系行星齿轮故障啮合刚度

以单对啮合齿轮系统故障齿轮啮合刚度表示为基础，推导行星轮系中行星齿轮故障时的时变啮合刚度表达式。

设各行星轮具有相同的物理和几何参数、均匀承载，且正常状态下各齿轮副啮合刚度表达式均为式(7)所示。

注：、分别表示断齿啮合刚度、变化前后的幅值差，；为行星轮齿数；为行星轮自转周期，。

则

3 动力学模型响应特性分析

行星轮系动力学模型主要参数如表1所示。将行星齿轮箱参数与求得的齿轮时变啮合刚度代入动力学模型中，采用变步长的Runge-Kutta方法求解行星轮系动力学模型，得到系统动力学响应信号，将其代入传递路径表达式得到最终的振动响应信号，并对该信号作进一步分析，得到行星轮系的响应特性。

表1 行星齿轮箱参数

3.1 正常状态下动力学模型响应特性分析

图5 正常情况和未考虑振动传递路径时变效应时的模型响应频谱图

3.2 行星轮单齿齿根裂纹故障时动力学模型响应特性分析

如图6a为行星轮裂纹故障下响应信号的频谱图，6b为啮合频率附近的局部放大频谱图。

图6 行星轮齿根裂纹故障时的模型响应频谱图

3.3 行星轮单齿断齿故障时动力学模型响应特性分析

4 试验验证

为了验证所建立的行星齿轮箱系统动力学模型的准确性，使用图8a所示的行星齿轮箱故障诊断试验台对动力学模型进行验证。图8b、8c为进行试验所用的故障齿轮的实物照片。其中图8b为行星轮齿根裂纹，裂纹长度约20 mm，裂纹深度约0.9 mm。图8c为行星轮断齿，故障形式为1个齿从齿根部折断。行星齿轮箱的参数与前文一致。

图7 行星轮断齿故障时的模型振动响应频谱图

图8 行星齿轮箱故障诊断试验台及故障齿轮

试验中采集了正常齿轮、行星轮断齿及行星轮裂纹不同状态下的行星齿轮箱系统振动信号，将模型分析结果与试验结果进行对比分析。

4.1 正常状态下试验响应特性分析

图9 正常状态时的试验振动响应信号频谱图

表2 正常状态下模型频谱与实测信号频谱对比结果

4.2 行星轮单齿断齿故障时试验响应特性分析

图10 行星轮断齿故障时的试验振动响应信号频谱图

表3 行星轮断齿故障时模型频谱与实测信号频谱对比结果

因行星轮裂纹故障的试验分析结果与断齿故障基本一致，故在此不再赘述。

5 结 论

1）建立了考虑齿轮副啮合综合误差、齿侧间隙和时变啮合刚度的拖拉机行星齿轮传动系统动力学模型，考虑了振动传递路径时变效应对振动信号的调制作用。

2）利用傅里叶级数表示齿轮副时变啮合刚度，推导了故障状态下的啮合刚度变化表达式，并引入故障因子，得到了行星轮不同故障程度下的啮合刚度。

4）通过行星齿轮箱故障诊断试验台进行试验，将试验信号频谱与模型响应频谱进行了对比分析，分析发现，试验振动响应信号与模型响应信号对应频率的最大相对误差分别为4.65%和2.32%，R均大于0.99，验证了所建立行星轮系动力学模型的准确性，对拖拉机等农业机械行星轮减速箱故障诊断具有一定的理论指导意义。

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Fault response characteristics of tractor planetary gearbox based on dynamical simulation and its validation

Shi Lichen, Li Kun, Wang Haitao, Liu Yang

(710055,)

tractor; gears; vibrations; dynamic models; fault characteristics; meshing stiffness

史丽晨，李 坤，王海涛，刘 洋. 拖拉机行星齿轮箱故障响应特性动力学仿真及验证[J]. 农业工程学报，2018，34(7)：66－74. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.07.009 http://www.tcsae.org

Shi Lichen, Li Kun, Wang Haitao, Liu Yang. Fault response characteristics of tractor planetary gearbox based on dynamical simulation and its validation[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(7): 66－74. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.07.009 http://www.tcsae.org

2017-07-06

2018-03-04

国家自然科学基金项目（51375361）；国家自然科学基金青年基金项目（51105292）

史丽晨，女，陕西西安人，教授，博士，博士生导师，主要从事机电设备动力学分析及其动态设计研究。Email：lichenshi_xauat@163.com

10.11975/j.issn.1002-6819.2018.07.009

TH132.425；TH17

A

1002-6819(2018)-07-0066-09