厘清功能概念巧用规律解题

焦健生

[摘要]“机械能守恒定律”一章概念多、规律多，怎样复习好呢？利用思维导图将零散的知识结构化和系统化是一种可行的方法，这种方法便于学生理解、记忆和应用。

[关键词]思维导图；问题串；思维提升

[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05003704

“机械能守恒定律”一章中的功能观点是解决物理力学问题的三大“法宝”之一，也是历年高考中重点考查的规律之一。高考中，涉及功能概念或规律的试题，既可在选择题中出现，又会在综合性的计算题中出现，题目设置为多过程的恒力作用、变力作用、临界分析等运动情景问题，综合性比较强。

这部分内容主要有功、功率、动能、势能、机械能、内能等基本概念，以及功能关系，特别是动能定理、能量守恒（包括机械能守恒）定律，物理模型包含直线运动和曲线运动，运动形式有斜面、圆形轨道、传送带等，连接方式有弹簧、绳、杆等。

为了将这部分知识串联起来，形成知识网络，同时将思维的过程可视化，笔者结合思维导图复习这部分内容。如“思维导图一”所示为这部分的三大块重点内容：基本概念、功能关系和能量守恒。

一、功能概念

这部分内容涉及的概念主要有：功、功率、动能、势能、机械能，其知识串如“思维导图二”所示，复习时可采用“先总、后分、再总”的方法建构知识网络。同时可设置递进式问题，让学生厘清基本概念。

1.关于功

掌握有关功两个方面的知识：一是会判断常见的力，如弹力、摩擦力，作用力、反作用力等做功的正负；二是会计算物体所受某个力、合力的功，这些力可能是恒力，也可能是变力。

问题串：功的定义、公式是什么？正功、负功的含义是什么？列举弹力和摩擦力做正功和负功的情况；弄清作用力与反作用力做功的大小和正负。

【随堂例题1】如图1所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，用水平恒力F拉着小球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的位置，求此过程中，各力对小球做的功及总功。

思维提升

（1）在求力做功时，要明确是求某个力的功，还是求合力的功；是求恒力的功，还是求变力的功。

（2）恒力做功与物体运动的路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积。

（3）变力做功，要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解。

解析：小球在F方向的位移大小为Lsinθ，方向与F同向，则WF=FLsinθ；

小球在重力方向的位移大小为L·（1-cosθ），方向与重力反向，则WG=-mgL（1-cosθ）；

绳的拉力FT时刻与运动方向垂直，则WFT=0；

故W总=WF+WG+WFT=FLsinθ-mgL（1-cosθ）。

【注意点】本题中小球所受的合力为变力，不能直接用功的公式求合力的功，而应转化为求各个力做功之和。

2.关于功率

相关重点知识：两个公式的区别和应用，即P=W/t是求平均功率，而公式P=Fvcosα，既能求瞬时功率，也能计算平均功率。若v是瞬时值，则求出的功率是瞬时值，若v是平均值，则求出的功率是平均值。

问题串：功率的定义、物理意义及相关公式分别是什么？两个公式有何不同？若F和v的方向不在一条直线上，如何求这个力的瞬时功率？对机车以额定功率启动和以匀加速启动两种情况，应分别分析机车的受力情况和运动情况。

【随堂例题2】如图2所示，物体受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2所示。取g=10m/s2，则（）。

A.第1s内推力做功为1J

B.第2s内物体克服摩擦力做的功为W=2.0J

C.第1.5s时推力F的功率为2W

D.第2s内推力F做功的平均功率P=1.5W

解析：第1s内物体保持静止状态，在推力方向上无位移，故做功为零，A错；由图像知第3s内物体做匀速运动，F=2N，故F=Ff=2N，由v-t图像知第2s内物体的位移x=12×1×2m=1m，第2s内物体克服摩擦力做的功W=Ff·x=2.0J，B对；第1.5s时物体的速度为1m/s，故推力的功率为3W，C错；第2s内推力F=3N，推力做的功为WF=F·x=3.0J，故第2s内推力F做功的平均功率P=WF/t=3W，故D错。正确答案为B。

思維提升

本题要从F-t图像推出质点的运动情况及F的做功情况。区分平均功率和瞬时功率，以及明确瞬时功率的求法，这些是解决本题的关键。

对机车启动问题，应注意弄清机车的启动方式，是以恒定功率启动，还是以恒定加速度启动。要解决好这类问题要抓住下面三个重要关系式。

（1）机车的速度达到最大时，牵引力Fmin最小，其值等于阻力Ff，即vm=P/Ff。

（2）机车以恒定加速度启动时，要注意匀加速阶段速度的最大值，此时机车的功率达到额定功率。

（3）机车以额定功率启动时，常用动能定理：Pt-Ff·x=ΔEk来求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小或时间。

【随堂例题3】水平面上静止放置一质量为m=0.2kg的物块，固定在同一水平面上的小型电动机通过水平细线牵引物块，使物块由静止开始做匀加速直线运动，2秒末达到额定功率，其v-t图线如图3所示，物块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1，g=10m/s2，电动机与物块间的距离足够远。求：

（1）物块做匀加速直线运动时受到的牵引力大小；

（2）电动机的额定功率；

（3）物块在电动机牵引下，最终能达到的最大速度。

解析：（1）由题图知物块在匀加速阶段加速度大小a=Δv/Δt=0.4m/s2。

物块受到的摩擦力大小Ff=μmg，设牵引力大小为F，则有：F-Ff=ma，得F=0.28N。

（2）当v=0.8m/s时，电动机达到额定功率，则P=Fv=0.224W。

（3）物块达到最大速度vm时，物块所受的牵引力大小等于摩擦力大小，有F1=μmg，

P=F1vm，解得vm=1.12m/s。

【注意点】本题需要将物块的实际运动情况与其运动的v-t图像一一对应起来，即数形结合，特别要进行受力分析、状态分析、过程分析和临界分析。

思维提升

（1）机车启动的方式不同，则其运动的规律就不同，涉及的物理量（如功率、速度、加速度、牵引力）就不同。

（2）机车在额定功率下的运动是变加速直线运动，机车牵引力做的功用W=Pt计算，因为F是变力，所以不能用W=Fl计算。

（3）机车以恒力加速运动的过程中，其功率不断增加，但因F是恒力，所以可用W=Fl计算牵引力的功，因为功率P是变化的，也就不能用W=Pt计算。

3.关于能

理解动能、重力势能、弹性势能、机械能、内能的物理意义及公式，其中不要求用弹性势能公式进行计算。

问题串：试区分动能、重力势能、弹性势能、机械能、内能；它们各自的大小由什么决定？表达式是什么？

【随堂例题4】如图4所示，轻弹簧竖立在地面上，正上方有一钢球，从A处自由下落，落到B处时开始与弹簧接触，此时向下压缩弹簧。小球运动到C处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡。小球运动到D处时，到达最低点。不计空气阻力，以下描述正确的有（）。

A.小球由A向B运动的过程中，小球的机械能减少

B.小球运动到C时，小球的动能最大

C.小球由B向C运动的过程中，小球的重力势能减小，弹簧的弹性势能增加

D.小球由C向D运动的过程中，小球的重力势能减少

解析：小球由A向B运动的过程中，做自由落体运动，加速度等于竖直向下的重力加速度g，处于完全失重状态，此过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，A错误；小球由B向C运动的过程中，重力大于弹簧的弹力，加速度向下，小球处于失重状态，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增加，小球的重力势能减少，由于小球向下加速运动，小球的动能还是增大的，B正确，C错误；小球由C向D运动的过程中，弹簧的弹力大于小球的重力，加速度方向向上，处于超重状态，弹簧继续被压缩，弹性势能继续增大，小球的重力势能继续减小，D正确。故答案为B、D。

【注意点】弄清小球的受力情况和运动情况是解决本题的前提，明确各种能量的影响因素是最终解决问题的关键。如，本题中小球在C点时重力和弹力平衡，此时加速度a=0，速度达到最大值。

二、功能关系

功是能量转化的量度，具体的功能关系可见“思维导图三”，其中最常用的就是动能定理。

问题串：在利用功能关系解题时，应注意引导学生有序思考问题。研究对象是什么？其受力情况和各力做功情况是怎样的？能量改变对应的是哪些力做的功？

【随堂例题5】如图5所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g 。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物体块的（）。

A.物体的重力势能增加了mgH

B.物体的动能减少了FH

C.物体的机械能增加了FH

D.物体势能增加量小于动能的减少量

解析：运动过程中有摩擦力做功，考虑动能定理和功能关系。物块以大小为g加速度沿斜面向上做匀减速运动，运动过程中F合=mg，由受力分析知摩擦力Ff=12mg，当上升高度为H时，小物块的位移x=2H，由动能定理得ΔEk=-2mgH；由功能关系知ΔE=Wf=-12mgx=-mgH，选项A、C正确。

【注意点】本题考查了“功是能量转化的量度”的具体含义，尤其是机械能的变化，应立即联想到除重力外其他力做的功。

思维提升

求解一个问题往往有两个途径，一是直接求，二是间接求，显然本题间接求更快捷，如题中要求机械能的变化，只要看除重力以外的其他力做功的多少。

动能定理是解决力学问题常用的规律，思考过程为：确定研究对象，明确研究对象的运动过程，分析物体的受力，特别是有变力参与的情况，分析各力的做功情况，及初末态的速度，最后用动能定理列式求解。

【随堂例题6】如图6所示，传送带A、B之间的距离为L=3.2m，与水平面间夹角θ=37°，传送带沿顺时针方向转动，速度恒为v=2m/s，在上端A点无初速度放置一个质量为m=1kg、大小可视为质点的金属块，它与传送带的动摩擦因数为μ=0.5，金属块滑离传送带后，经过弯道，沿半径R=0.4m的光滑圆轨道做圆周运动，刚好能通过最高点E，已知B、D两点的竖直高度差为h=0.5m（取g=10m/s2）。求：

（1）金属块经过D点时的速度大小；

（2）金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功。

解析：（1）对金属块在E点有mg=mvE2/R，解得vE=2m/s；

在从D到E的过程中，由动能定理得：

-mg·2R=12mv2E-12mv2D，

解得vD=25m/s。

（2）金屬块在传送带上运行时有，mgsinθ+μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2。

设经位移x1金属块与传送带达到共同速度，则v2=2ax1，解得x1=0.2m<3.2m。

继续加速过程中mgsinθ-μmgcosθ=ma2，解得a2=2m/s2；

由v2B-v2=2a2x2，x2=L-x1=3m，

解得vB=4m/s；

在从B到D的过程中，由动能定理得：

mgh-Wf=12mv2D-12mv2B，解得Wf=3J。

【注意点】解决本题的关键是判断金属块在传送带上所受摩擦力与其运动状态的关系，另外金属块在弯道上所受摩擦力是变力，变力的功要用动能定理来求解。

思维提升

解决多过程问题应优先考虑应用动能定理，从而使问题得到简化。

（1）只涉及F、l、m、v、W、Ek而不涉及时间t的多过程问题。

（2）有多个过程，但不需要考虑全过程中的中间态的问题。

（3）求变力做的功。

三、能量守恒

能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。其表达式有两种：（1）E初=E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。（2）ΔE增=ΔE减，增加的那些能量等于减少的那些能量。机械能守恒是能量守恒中的一种守恒形式，正是只有系统中机械能不变，所以不应有其他形式的能“参与”进去，因此，机械能守恒是有条件的。复习时可参照“思维导图四”来建构知识。

问题串：用能量守恒解决问题时，应明白研究对象是单个物体，还是由多个物体组成的系统。能量守恒需要条件吗？机械能守恒呢？若需要条件，条件是什么？机械能守恒的表达式是什么？

【随堂例题7】如图7所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上。一长为L=9cm的轻

质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m=1kg的小球，将细绳拉至水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x=5cm（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）。求：

（1）细绳受到的拉力的最大值；

（2）D点到水平线AB的高度h；

（3）弹簧所获得的最大弹性势能Ep。

解析：（1）小球由C到D，由机械能守恒定律得：

mgL=12mv21，解得v1=2gL①

在D点，由牛顿第二定律得F-mg=mv21L②

由①②解得F=30N。

由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30N。

（2）由D到A，小球做平抛运动v2y=2gh③tan53°=vyv1④

联立③④解得h=16cm。

（3）小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统的机械能守恒，即Ep=mg（L+h+xsin53°），代入数据得：Ep=2.9J。

【注意点】本题关键要弄清三个问题：（1）小球运动到什么位置时，对细绳拉力最大？（2）小球恰好沿斜面方向压缩弹簧，说明小球的速度沿什么方向？（3）弹性势能最大时，小球速度为多少？

思维提升

本题的物理过程较为复杂，小球参与了圆周运动、平抛运动、变速直线运动，另外还有弹簧参与，是一道综合性较强的题目。题中不涉及摩擦阻力和空气阻力做功，只有重力和弹簧弹力做功，可选择能量守恒（包括机械守恒）定律求解。

四、综合应用

“机械能”一章还涉及滑动摩擦力做功产生热量的多个动力学问题和能量问题的综合。在有滑动摩擦力相互作用的系统内，一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分机械能转化为内能，摩擦产生的热量的计算公式：Q=Ff·s相对。其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移，若两物体同向相对运动，则相对位移是两物体的位移差值，反之，若两物体反向相对运动，则相对位移是两物体的位移大小之和。

这类问题往往是传送带传动模型或滑块在木板上滑行的模型，其思维过程如“思维导图五”。

【随堂例题8】如图8所示，质量为m=1kg的滑块，在水平力作用下静止在倾角为θ=30°的光滑斜面上，斜面的末端B与水平传送带相接（滑块经过此位置滑上传送带时无能量损失），传送带的运行速度为v0=3m/s，长为l=1.4m；今将水平力撤去，当滑块滑到传送带右端C时，恰好与传送带速度相同。滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，g取10m/s2。求：

（1）水平作用力F的大小；

（2）滑块下滑的高度；

（3）若滑块滑上传送带时速度大于3m/s，滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量。

解析：（1）滑块受到水平力F、重力mg和支持力FN作用处于平衡状态，水平力F=mgtanθ，F=1033N。

（2）设滑块从高为h处下滑，到达斜面底端速度为v，下滑过程中机械能守恒mgh=12mv2，得v=

2gh

。若滑块冲上传送带时的速度小于传送带速度，则滑块在传送带上由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动；根据动能定理有μmgL=12mv20-12mv2，则h=v202g-μL，代入数据解得h=0.1m。

若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度，则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动；根据动能定理：-μmgL=12mv20-12mv2，则h=v202g+μL，代入数据解得h=0.8m。

（3）设滑块在传送带上运动的时间为t，则t时间内传送带的位移x=v0t，mgh=12mv2，v0=v-at，μmg=ma，滑块相对传送带滑动的位移Δx=L-x，相对滑动生成的热量Q=μmg·Δx，代入数据解得Q=0.5J。

【注意点】解答本题的突破口一是判断滑块滑上皮带后做什么运动，二是滑塊和皮带间的相对位移怎么计算。

思维提升

本题综合应用了牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒、能量转化与守恒，要特别注重对物体进行运动过程分析和受力分析，同时还要注意对临界状态进行分析，再根据已知条件，巧妙选用规律列方程解决问题。

（责任编辑易志毅）