圆锥曲线和过焦点的直线相交问题的解法探究
2018-04-08韦江玲
韦江玲
[摘要]圆锥曲线与过焦点的直线结合是一种常见的高考出题方式.圆锥曲线定义的特殊性决定着这类问题解法的多样化,常见的解法有常规法、弦长公式法、数形结合法、参数方程法等.探究圆锥曲线和过焦点的直线相交问题的解法具体有实际意义.
[关键词]圆锥曲线;直线;焦点;相交
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2018)05002801
本文通过两个典型例题说明几种常见解法.
一、求过焦点弦长问题
【例1】一条倾斜角为π4的直线过椭圆x29+y25=1的右焦点F2,与椭圆交于A,B两点,求弦长|AB|.
解法一:(常规法)椭圆右焦点的坐标为F2(2,0),所以直线AB的方程为y=(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程组
y=x-2x29+y25=1
,消去y得14x2-36x-9=0.
解出x1=18+15214
,x2=18-15214
,代入得y1=152-1014
,y2=-152-1014.
从而A(18+15214,152-1014),B(18-15214,-152-1014).
根据两点间距离公式|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2得|AB|=307.
解法二:(用弦长公式)根据解法一,由韦达定理可得x1+x2=187,
x1x2=-914,
由弦長公式得|AB|=1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
得|AB|=307.
解法三:(用弦长公式)由解法二的x1+x2=187,x1x2=-914代入椭圆方程可得y1+y2=-107
,y1y2=-2914.
由弦长公式|AB|=
1+1k2
(y1+y2)2-4y1y2
得|AB|=307.
解法四:(用椭圆的焦半径公式)由椭圆的第二定义得出椭圆焦半径
|AF2|=a-ex1,|BF2|=a-ex2,
而|AB|=|AF2|+|BF2|=2a-e(x1+x2),由椭圆方程易知a=3,b=5,c=2,e=23.
∴|AB|=6-23×187=307
.
解法五:(参数方程法)直线AB的参数方程为
x=2+tcosπ4=2+22t
y=tsinπ4=22t
(t为参数)代入椭圆方程
x29+y25=1
中整理得7t2+102t-25=0
.
由韦达定理得t1+t2=-1027,
t1t2=-257.
所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2
=-10272-
4×-257
=307
.
二、求焦点弦所在直线方程问题
【例2】若过焦点的直线与抛物线x2=y交于A,B两点,且AB中点的横坐标为4,求此直线方程.
分析:由直线与抛物线相交,联立方程用韦达定理求出斜率.另,由于直线斜率与弦中点坐标有关,故也可以用点差法.
解法一:(联立方程用韦达定理)抛物线焦点坐标为F0,14,由题意可知所求直线斜率存在,故可设直线方程为:
y=kx+14
,设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程
y=kx+14
x2=y
化简得x2-kx-14=0,
由韦达定理得x1+x2=k,
A,B中点的横坐标为
x1+x22=k2=4
,解得k=8,故所求直线方程为y=8x+14.
解法二:(点差法)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x21=y1,x22=y2,
两式作差得(x1+x2)(x1-x2)=(y1-y2),即
y1-y2x1-x2=x1+x2
,
因为x1+x22=4,所以x1+x2=8,所以k=8,故所求直线方程为:y=8x+14.
一般的,在圆锥曲线中,中点弦问题的求解关键在于充分利用中点这个条件,灵活运用韦达定理.但最优方法还是点差法,因为点差法简单,结构特征明显.教师在平时解题中要多尝试,并引导学生寻找最优的方法,为学生顺利解决高考中有关解析几何压轴题奠定基础.
(责任编辑黄桂坚)