弹性阶段波形钢腹板简支曲线组合梁弯扭变形的解析解

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(1.石家庄铁道大学 土木工程学院，河北 石家庄　050043; 2. 河南四方建设管理有限公司，河南 郑州　450000)

0　引言

波形钢腹板预应力混凝土(PC)组合箱梁是一种经济、施工简便的新型结构形式，其显著特点是用波形钢腹板取代了混凝土腹板和普通钢腹板，对减轻结构自重、提高结构强度和稳定性等起到了有利的作用[1-2]。自波形钢腹板组合箱梁出现以来，国内外陆续对这种新型桥梁进行了各方面的研究，包括抗弯[3-6]、抗扭[7-9]等。由于波形钢腹板具有良好的三维挠曲特性，适合于曲线桥，但关于波形钢腹板曲线组合梁的研究还相对较少。Hu Zhaotong et al[10]采用ANSYS数值模型分析了波形钢腹板曲线组合梁剪力滞效应；宫思维[11]根据薄壁杆件结构力学及曲线桥梁的分析方法，推导了波形钢腹板PC组合曲梁的弯曲正应力公式；仝波[12]考虑竖向挠曲、腹板剪切和扭转，推导了波形钢腹板PC曲线梁桥的弯扭耦合效应表达式。

以上文献通过数值分析和理论推导对波形钢腹板PC组合曲梁进行了研究。其中仝波[12]在弯扭效应推导中没有考虑剪力滞效应，且在推导过程中假设畸变翘曲函数与截面扭转角相等，相当于只考虑了自由扭转。因此本文在以上文献研究的基础上，全面考虑曲率、剪力滞效应、剪切变形和刚性扭转的影响，采用能量变分法对波形钢腹板简支曲线组合梁在弯扭复合作用下的挠度及扭转角效应进行推导。

1　弹性阶段波形钢腹板简支曲线组合梁弯扭效应的控制微分方程

由于波形钢腹板存在“褶皱”效应，其轴向刚度可忽略不计，因此可假设弯矩只由混凝土顶、底板承担，剪力只由波形钢腹板承担[7]。考虑沿截面横向上、下混凝土翼板的剪力滞效应，以及剪切变形对挠度的影响，计算截面的竖向挠曲应变能、腹板剪切应变能、约束扭转应变能，采用能量变分法得到波形钢腹板曲线组合梁在上述荷载下的弹性控制微分方程，并求解得到挠度、扭转角和畸变角等各种弯扭荷载效应。

1.1　弯曲应变能

本文所用坐标轴如图1。

图1　本文所用坐标轴

假设梁的竖向挠度为w(x)，翼缘板的纵向位移函数为u(x,y)，则

u(x,y)=-ziw′(x)+f(y)ξ(x)

(1)

(2)

式中，ξ(x)为翼缘板剪切转角的最大差值；zi为截面形心到顶、底板的距离；zu为截面形心到顶板形心的距离；zb为截面形心到底板形心的距离；f(y)为剪力滞翘曲形函数，其中，m可以取2、3、4。在本文中取m=3。b、ab分别为箱室净宽的一半和翼缘的长度。

(3)

(4)

由于波形钢腹板的弯曲应变能可忽略不计，可得弯曲总应变能

(5)

1.2　约束扭转翘曲应变能

假设翘曲广义位移为β′(x)，则曲线箱梁截面翘曲位移为

(6)

对于刚性扭转，假定截面周边不变形，按照平面应力问题的应力与应变关系，求得约束扭转正应力

(7)

式(7)成立的前提是需符合材料力学中材料单一匀质的假定，故需将组合截面中的钢材换算为等效混凝土，因此弹性模量Ec为换算截面的混凝土弹性模量。

根据薄壁杆件相关理论，若扭转极点取截面扭转中心，曲线坐标积分起点取广义扇性坐标零点时，广义惯性静矩则为零，此时有

(8)

则由翘曲正应力产生的刚性扭转翘曲应变能为

(9)

1.3　剪切应变能

剪切应变能包括三部分：第一部分为剪滞翘曲剪应变产生的翼板剪切应变能；第二部分为波形钢腹板的剪切应变能；第三部分为约束扭转剪切应变能。

1.3.1剪力滞翘曲剪切应变能

根据式(1)，可得翼板剪滞翘曲剪应变为

(10)

则上、下翼缘的剪滞翘曲剪切应变能为

(11)

1.3.2钢腹板剪切应变能

假定腹板剪切变形引起的剪切角为η，则由剪切变形η所产生的应变势能为

(12)

式中，Ge为波形钢腹板的有效剪切模量，即

(13)

式中，As为钢腹板剪切面积，As=2twh；α为只考虑剪切变形时平截面假定的修正系数，取α=1.2。

1.3.3约束扭转剪切应变能

扭矩作用下，箱梁截面上各点沿箱梁周边切线方向的位移可表示为

(14)

根据式(10)和式(14)，可得约束扭转总剪应力为

(15)

则横截面上总扭矩为

(16)

所得的式(16)中，第一项为自由扭转扭矩，而第二项则为约束扭转扭矩。

则约束扭转剪切应变能为

(17)

1.4　外力势能

竖向荷载下曲线梁的外力势能可由其内力(弯矩、剪力、扭矩)表示为

(18)

(19)

(20)

1.5　波形钢腹板曲线组合梁弯扭控制微分方程

1.5.1总势能方程

由以上的应变能和外荷载势能可得到波形钢腹板曲线组合箱梁在弯扭作用下的总势能为

V=Vw+Vq+Vn+Vh=

(21)

1.5.2弯扭控制微分方程

根据最小势能原理，对式(21)进行变分，使δV=0，可得

(22)

本研究通过回顾77例食管癌骨转移患者放疗后的生存时间，建立了1个简单的预测生存时间的评分模型。利用这个模型，我们可以在放疗开始前对患者从KPS评分、是否存在骨相关事件、是否伴有肝肺脑转移或恶性浆膜腔积液3个方面进行评估，估算预期生存时间，以指导放疗方案及后续治疗的选择。对于预期生存时间长的低危组患者，给予长程放疗；而对于预期生存期仅3个月左右的高危组患者，给予低分割短程照射，甚至单次大剂量照射以缩短起效时间及疗程；至于中危组患者，可根据患者经济条件、医师偏好来选择长程或短程放疗方案。

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

且得到边界条件为

(28)

2　波形钢腹板曲线组合梁弯扭控制微分方程的求解

建立的曲线箱梁控制微分方程可用各种数值方法求解，对于简支曲线箱梁，可采用伽辽金法进行求解。伽辽金法是一种数值分析方法，遵循虚功原理，这种方法主要通过简化计算，即将微分方程简化成线性方程组来求解。其计算具体方法是通过选取有限多项试函数(或称基函数、形函数)，将它们叠加，使结果在求解域内及边界上均满足原方程，以此得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件自动满足。伽辽金法可广泛用于各种数学物理工程问题，为解决各种力学等问题提供了简便计算。

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

式中，q0,p0,m0为作用在梁上的均布荷载、集中力以及均布扭矩。

另外，根据文献[5]对剪切变形的相关推导，由剪切变形引起的挠度为

(34)

总的挠度为

w=w10+w20

(35)

3　算例

采用推导的结果对文献[15]中的算例进行计算：某波形钢腹板简支曲线组合梁曲率半径为60 m，圆心角为20.37°，桥长21.32 m，计算跨径为20.45 m。截面尺寸具体如图2所示。顶板宽度7 m，厚度0.25 m，底板宽度4.5 m，厚度0.25 m，净宽4 m，波形钢腹板厚度10 mm，截面总高度为1.5 m，采用1600型波形钢腹板。为简化计算，荷载只考虑梁体自重，将自重换算为均布荷载76.4 kN/m，未加载扭矩。

图2　波形钢腹板算例尺寸(单位：cm)

在计算截面特性前，需要将两种材料转换为一种材料，符合材料力学和本文中的假设，本文将钢转换为混凝土来计算截面特性。计算的截面特性如下：

在本文中，若不考虑剪力滞效应时，得到跨中挠度值为7.7 mm。文献[15]针对该算例建立了ANSYS有限元模型，其挠度的数值计算结果为7.235 mm，理论推导结果为7.737 mm，可见本文若不考虑剪力滞效应时，计算结果与文献[15]理论推导结果相近；考虑剪力滞效应时，计算结果与有限元数值计算结果更接近。扭转角根据截面特性求得0.012 396°。经过计算结果和有限元结果对比，可以认为本文推导出的公式正确。

4　结论

本文针对波形钢腹板简支曲线组合梁，全面考虑曲率、剪力滞效应、剪切变形和刚性扭转的影响，采用能量变分法对其弯扭效应进行了理论推导，并采用伽辽金法，得到了挠度和扭转角的解析结果，经文献中的数值算例验证，结果正确。

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