BCK-代数的广义 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想*

彭家寅

内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641199

1　引言

人工智能的一个重要任务就是使计算机模拟人脑去处理确定的与不确定的信息。逻辑的形式化推理在演绎证明中突显强劲的优势。逻辑规则在计算机科学和数学中既是应用的工具，又是奠定理论基础的技术手段。特别地，非经典逻辑已成为计算机科学处理模糊信息与不确定信息的有力工具。BCK-代数类是一种重要的模糊逻辑代数类[1]，它被Imai和Iseki[2-3]提出，随后得到了许多学者的深入研究[4-6]。其中Iseki和Tanaka引入了BCK-代数的理想的概念，并讨论了它的性质[4]；Meng[6]引入了BCK-代数的蕴涵理想的概念，并研究了它与正蕴涵理想、交换理想之间的关系。

1965年，Zadeh[7]提出了模糊集的概念，成为描述现实世界中不确定问题的一种方法。至今，模糊集理论被广泛地应用于许多数学分支中，如群、函数论、概率论、拓扑学等。1991年，Xi[8]将模糊集用于BCK-代数中。此后Meng和Guo[9]引入了BCK/BCI-代数的模糊理想的概念。Jun和Roh等人[10-11]提出了BCK-代数的模糊交换理想和模糊正蕴涵理想的概念并研究了它们的性质。Peng[12]和Meng等人[13]分别研究了BCK-代数的不分明化蕴涵理想和模糊蕴涵理想。自Pu和Liu[14]于1980年引入了模糊点与模糊集的属于与重于关系后，Zhang等人[15]将Pu与Liu的思想应用于BCK/BCI-代数结构的讨论中，提出了BCK/BCI-代数的(∈,∈∨q)模糊理想的概念。Liu和Xin[16]引入BCK-代数的 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想。Liu[17]讨论BCK-代数的(∈,∈∨q)-模糊理想的一般形式，提出了 (∈,∈∨qδ)-模糊理想的概念。此外，他还将软集用于BCK/BCI-代数中，引入了 (∈,∈∨q)-模糊软理想的概念并研究其性质[18]。本文在文献[17]的基础上，将文献[16]中BCK-代数的 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想进行推广，引入BCK-代数的 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想的概念，并讨论其性质，研究它与(∈,∈∨qk)-模糊理想间的关系，探究(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想的等价刻画，研究基于蕴涵的BCK-代数之模糊蕴涵理想。

2　预备知识

一个(2,0)型代数(X;∗,0)叫作BCK-代数，如果它满足对任意x,y,z∈X，有：

在BCK-代数中定义自然序“≤”：x≤y当且仅当x∗y=0。这样(X;≤)便是一个以0为最小元的偏序集，且对任一BCK-代数X及任意x,y,z∈X，下列结论成立：

BCK-代数X的一个非空子集I叫作X的一个理想，如果满足（i）0∈I，（ii）x∗y∈I且y∈I蕴涵x∈I。BCK-代数X的非空子集I称为X的一个蕴涵理想，如果它满足（i）和（iii）x∈I当 (x∗(y∗x))∗z∈I且z∈I；称它为交换理想，如果它满（i）和（iv）x∗(y∗(y∗x))∈I当(x∗y)∗z∈I且z∈I；称它为正蕴涵理想，如果它满足（i）和（v）x∗z∈I仅当(x∗y)∗z∈I且y∗z∈I。

定义1X的模糊子集μ是指映射μ:X→[0,1]，并称U(μ;t)={x∈X|μ(x)≥t}为模糊集μ的t-水平集。

定义2BCK-代数X的模糊子集μ叫作X的一个模糊理想，如果它满足x,y∈X，有：

定义3BCK-代数X的一个模糊子集μ叫作X的一个模糊蕴涵理想，如果它满足（F1）且x,y,z∈X，有：

定义4模糊集μ：

叫作以x为支点、值为t的模糊点，并记为xt。

对于模糊点xt与模糊集μ，Pu和Liu[14]引入符号xtα μ，其中α∈{∈,q,∈∨q,∈∧q}。说模糊点xt属于（重于）模糊集μ，记为xt∈μ(xtqμ)，如果μ(x)≥t(μ(x)+t>1)。如果xt∈μ或xtqμ，则记为xt∈∨qμ，而符号意味着∈∨q不成立。

定义5[17]BCK-代数X的模糊子集μ叫作X的(∈,∈∨qk)-的模糊理想，如果它满足：

（I-1）对任意x∈X和t∈(0,1]，xt∈μ蕴涵0t∈∨qkμ。

（I-2）对任意x,y∈X和t,r∈ (0,1]，(x∗y)t∈μ与yr∈μ蕴涵xmin{t,r}∈∨qkμ。

3　BCK-代数的广义 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想

定义6设除特殊声明外，文中X总是表示一个BCK-代数，而且k表示[0,1]任意一个实数。符号xtqkμ是指μ(x)+t+k>1；xt∈∨qkμ意味着xt∈μ或xtqkμ。对于意味着xtα μ不成立。

定义7BCK-代数X的模糊子集μ叫作X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，如果它满足：

（I1）对任意x∈X和t∈(0,1]，xt∈μ蕴涵 0t∈∨qkμ。

（I2）对任意x,y,z∈X和t,r∈(0,1]，zr∈μ与 ((x∗(y∗x))∗z)t∈μ蕴涵xmin{t,r}∈∨qkμ。

当k=0时，X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想就是X的(∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想。

例1设X={0,1,2,3,4}为一个BCK-代数，其中Cayley表如表1。

Table 1　“∗”operator table inX表1　X中的“∗”运算表

定义X上的模糊子集μ为μ(0)=0.5，μ(1)=μ(2)=0.35且μ(3)=μ(4)=0.7。容易验证，μ是X的一个(∈,∈∨q0.4)-模糊蕴涵理想。但它既不是X的模糊蕴涵理想，也不是(∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想，因为μ(0)=0 0.5<0.7=μ(2)，40.7∈μ并且 ((1∗(2∗1))∗4)0.5∈μ，可是定理1设μ为BCK-代数X的模糊子集，则下列结论成立：

（1）每个模糊蕴涵理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。

（2）每个 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。

证明（1）设μ是X的一个模糊蕴涵理想。一方面，令x∈X且t∈(0,1]使得xt∈μ，则μ(x)≥t。结合（F1）有μ(0)≥μ(x)≥t，因此 0t∈μ，进而 0t∈∨qkμ。另一方面，设x,y,z∈X且t,r∈(0,1],使得 ((x∗(y∗x))∗z)t∈μ且zr∈μ，则μ((x∗(y∗x))∗z)≥t且μ(z)≥r。由（F3）可得μ(x)≥min{μ((x∗(y∗x))∗z),μ(z)}≥ min{t,r}，故xmin{t,r}∈μ，于是xmin{t,r}∈∨qkμ。综上所述μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。

（2）假设μ是X的一个 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想，则①对任意x∈X和t∈(0,1]，xt∈μ蕴涵0t∈ ∨q μ；②对任意x,y,z∈X且t,r∈(0,1]，((x∗(y∗x))∗z)t∈μ并且zr∈μ蕴涵xmin{t,r}∈∨q μ。现考虑①：如果 0t∈μ，则0t∈∨qkμ；如果 0tq μ，那么μ(0)+t>1，因此μ(0)+t+k>1，这表明 0t∈∨qkμ，即条件①蕴涵条件（I1）。类似地，可得条件②蕴涵条件（I2），故（2）为真。□

定理2BCK-代数X的模糊子集μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想的充分必要条件是对任意x,y,z∈X，有：

证明假设μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。如果（I3）不成立，则存在a∈X使得μ(0)<当有μ(0)<μ(a)，进而存在使得μ(0)

假设（I4）不成立，则存在a,b,c∈X使得μ(a)<如果 min{μ((a∗(b∗a))∗c),那么存在使得 min{μ((a∗(b∗因此 ((a∗(b∗a))∗c)t∈μ且cr∈μ。但因且μ(a)+min{t,r}<2t<1-k，有且，即它与（I2）矛盾。如果那么且因此且故这与（I2）矛盾，因此（I4）成立。

反之，设μ是X的一个模糊子集且满足（I3）和（I4）。令t∈(0,1]使得xt∈μ，那么μ(x)≥t。结合（I3）有：

条件μ(0)≥t蕴涵 0t∈μ。由可得μ(0)+t>即 0tqkμ。因此 0t∈∨qkμ，故（I1）成立。

假定x,y,z∈X且t,r∈(0,1]使得 ((x∗(y∗x))∗z)t∈μ且zr∈μ，则μ(z)≥r并且μ((x∗(y∗x))∗z)≥t。结合（I4）有：

条件μ(x)≥min{t,r}蕴涵由条件可推得即因此xmin{t,r}∈∨qkμ，这表明（I2）成立，故μ为X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。□

推论1设μ为BCK-代数X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，如果，则μ必为X的一个模糊蕴涵理想。

证明设μ为X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想且如果存在a∈X使得μ(0)<μ(a)，则由可得μ(0)

因此μ是X的一个模糊蕴涵理想。□

下面讨论 (∈,∈∨qk)-模糊理想与 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想的关系。

定理3BCK-代数X的任何(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想必是X的(∈,∈∨qk)-模糊理想。

证明令μ为X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，则在（I2）式中用x替代y便有 (x∗z)t=((x∗0)∗z)t=((x∗(x∗x))∗z)t∈μ且zr∈μ蕴涵xmin{t,r}∈∨qkμ，这表明μ满足（I-2）。结合（I1），μ为X的一个(∈,∈∨qk)-模糊理想。□

下例说明定理3的逆不真。

例2设X是例1中的BCK-代数。定义模糊子集μ:X→[0,1]如下：μ(0)=μ(2)=0.5 且μ(1)=μ(3)=μ(4)=0.3。可以验证模糊子集μ为(∈,∈∨q0.1)-模糊理想，但它不是 (∈,∈∨q0.1)-模糊蕴涵理想，因为 ((1∗(3∗1))∗2)0.4=00.4∈μ，20.5∈μ，1min{0.4,0.5}∉μ且μ(1)+min{0.4,0.5}+0.1=0.8<1，于是即

下列定理说明对于蕴涵BCK-代数而言，定理3之逆是成立的。

定理4如果X是蕴涵BCK-代数，则X的每一个(∈,∈∨qk)-模糊理想都是X的 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。

证明因为X是一个蕴涵BCK代数，所以由文献[2]知，对任意x,y∈X，有x=x∗(y∗x)。设μ为X的一个 (∈,∈∨qk)-模糊理想，则依（I-2）可知，对任意x,y∈X和t,r∈(0,1]，zr∈μ与 (x∗z)t∈μ可蕴涵xmin{t,r}∈∨qkμ。因为x∗z=x∗z=(x∗(y∗x))∗z，所以 ((x∗(y∗x))∗z)t=(x∗z)t∈μ与zr∈μ蕴涵xmin{t,r}∈∨qkμ，故（I2）成立。结合（I-1）有，μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。□

定理5BCK-代数X的模糊子集μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想当且仅当：

证明假设μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想且是得U(μ;t)≠Ø 。令x∈U(μ;t)，则μ(x)≥t，因此由（I3）可知，从而得0∈U(μ;t)。令(x∗(y∗x))∗z∈U(μ;t)，z∈U(μ;t)，则μ((x∗(y∗x))∗z)≥t且μ(z)≥t。按照（I4）得t，进而x∈U(μ;t)，因此U(μ;t)是X蕴涵理想。

反之，假设μ是满足（I5）的X之模糊子集。如果（I3）不成立，则存在a∈X使得于是对某些成立，由此可得a∈U(μ;t)，所以U(μ;t)≠Ø 且U(μ;t)是X的蕴涵理想。但由μ(0)

若在定理5中取k=0，则有如下推论：

推论2BCK-代数X的模糊子集μ为X的(∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想X当且仅当对任意t∈(0,0.5]，当U(μ;t)≠Ø时，U(μ;t)是X的蕴涵理想。

定理6如果I是BCK-代数X的一个蕴涵理想，定义X的模糊子集μ如下：

证明注意到

为X的一个蕴涵理想。由定理6知，μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。□

推论3如果I是BCK-代数X的一个蕴涵理想，定义X的模糊子集μ如下：

其中，t1∈[0.5,1]且t2∈(0,0.5)，则μ为X的一个(∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想。

定理7对任意k1,k2∈(0,1]且满足k1

证明结论是显然的。□

下例说明定理7的逆不成立。

例3考虑例2中X的模糊子集μ，容易验证μ是X的一个(∈,∈∨q0.8)-模糊蕴涵理想。但由例2可知，它不是X的(∈,∈∨q0.1)-模糊蕴涵理想。

对于X的任一模糊子集μ及t∈(0,1]，定义X的两个子集如下：

定理8设μ为BCK-代数X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，则对任意当Qk(μ;t)≠Ø 时，Qk(μ;t)为X的一个蕴涵理想。

证明假设μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，令使得若x∈Qk(μ;t)，则即μ(x)+t+k>1。由（I3）并注意到有：

即μ(0)+t+k>1，于是 0tqkμ，因此 0∈Qk(μ;t)。令 (x∗(y∗x))∗z∈Qk(μ;r)并且z∈Qk(μ;r)，则 ((x∗(y∗x))∗z)tqkμ，ztqkμ，即μ(z)+t+k>1且μ((x∗(y∗x))∗z)+t+k>1。利用（I4）并注意到，并记，那么：

即μ(x)+t+k>1，于是xtqkμ，因此x∈Qk(μ;t)。综上所述，对任意当Qk(μ;t)≠Ø 时，Qk(μ;r)是X的蕴涵理想。□

定理9BCK代数X的模糊子集μ为X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想当且仅当对任意t∈(0,1]，当是X的蕴涵理想。

证明假设μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，且令t∈ (0,1]使得如果则根据定理5可知，为X的蕴涵理想。如果则依据定理6可知，是X的一个蕴涵理想。总之，对任意为X的蕴涵理想。

反之，假设μ是X的一个满足题设的模糊子集。如果存在a∈X使得对某些成立，则但 0∉U(μ;t)。因此故，即矛盾，所以对任意x∈X成立。若存在a,b,c∈X使得那么对某些成立。因为且 (a∗(b∗a))∗c∈U(μ;r)⊆所以这表明是X的蕴涵理想。但从μ(a)

根据定理2可知，μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。□

在定理9中令k=0，可得如下推论。

推论4对于BCK-代数X的模糊子集μ，下列条件是等价的：

（1）μ是X的一个(∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想。

（2）对任意t∈(0,1]，当是X的蕴涵理想。

下面给出(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想的一个刻画。

定理10如果μ是BCK-代数X的一个(∈,∈∨qk)-模糊理想，则μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想当且仅当对任意x,y∈X，有：

证明假设μ是X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，则依定理2有：

对任意x,y∈X成立，从而（I6）成立。

反之，设μ是满足（I6）的 (∈,∈∨qk)-模糊理想，则依文献[16]中的定理 2（F-4）可知，μ(x∗(y∗x))≥结合（I6）可知，对任意x,y,z∈X，有：

从而（I4）成立。因为μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊理想，所以依文献[17]中的定理2（F-3）可知，（I3）成立。总之，μ为X的一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。□

4　基于蕴涵的BCK-代数的模糊蕴涵理想

模糊逻辑是多值逻辑理论的一个延伸。模糊逻辑中的一些算子，如∨、∧、¬、→，是通过真值表来定义的，并且扩展原理可以应用于派生出算子的定义。在模糊逻辑中，模糊命题ψ的真值表示为[ψ]。对于给定的论域X，本文要用到的模糊逻辑和相应的集理论符号如下：

（2）中的真值规则是基于Lukasiewicz蕴涵算子的连续值逻辑系统。当然，还存在许多其他蕴涵算子，最常用的蕴涵算子列举如下：

Ying在文献[19]中引入了不分明化拓扑的概念，并研究了其相关性质。本文将他的思想应用于BCK-代数的结构讨论中，定义不分明化蕴涵理想。

定义8BCK-代数X的模糊子集μ叫作X的不分明化蕴涵理想，如果它满足：

（1）对任意x∈X，有╞(x∈μ)→(0∈μ)。

（2）对任意x,y,z∈X，有╞ (((x∗(y∗x))∗z∈μ)∧(z∈μ)→(x∈μ))。

显然，定义8中的条件（1）和（2）分别等价于（F1）和（F3）。在文献[20]中引入了t-重言式的概念，即╞t ψ当且仅当[ψ]≥t对所有赋值都成立。

定义9设X是BCK-代数且t∈(0,1],X的模糊集μ叫作X的t-蕴涵的模糊蕴涵理想，如果它满足：

（1）对任意x∈X，有╞t(x∈μ)→(0∈μ)。

（2）对任意x,y,z∈X，有╞t(((x∗(y∗x))∗z∈μ)∧(z∈μ)→(x∈μ))。

设R是一个蕴涵算子，显然μ是X的t-蕴涵的模糊蕴涵理想当且仅当它满足对任意x,y,z∈X，有：

定理11对BCK-代数X的任一模糊子集μ,下列结论成立：

（1）若R=RGR，则μ是X的一个0.5-蕴涵的模糊蕴涵理想当且仅当μ是X的模糊蕴涵理想。

①对任意x∈X，有成立；

②对任意x,y,z∈X，有(y∗x)∗z),μ(z),1}。

证明（1）是明显的。

（2）假设μ是X的一个-蕴涵的模糊蕴涵理想，则对任意x,y,z∈X，有且对于第一个不等式，有μ(0)≥μ(x)或，因此对任意x∈X有成立。第二个不等式蕴涵着 min{μ((x∗(y∗x))∗z),μ(z)}≤μ(x)或者从而对任意x,y,z∈X成立。由定理2可知，μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。

反之，假设μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想。由（I3），若则R(μ(x),μ(0))=1≥G否则由（I4），如果

则μ(x)≥ min{μ((x∗(y∗x))∗z),μ(z)}，进而对任意x,y,z∈X成立。若

（3）假设μ是X的一个-蕴涵的模糊蕴涵理想，则（i）对任意x∈X成立，并且（ii）对任意x,y,z∈X，有RcG(min{μ((x∗(y∗x))∗z),μ(z)},成立。条件（i）蕴涵着μ(0)≥μ(x)或1-故从而由 条件（ii）可 知 min{μ((x∗(y∗x))∗z),μ(z)} ≤μ(x) 或 者。因此对任意x,y,z∈X,有：

反之，假设模糊集μ满足条件①和②。对于条件①，若μ(x)=1，则故R(μ(x),cG如果μ(x)<1，则③成立。

推论5对于BCK-代数X的模糊子集μ，下列结论成立：

（1）若R=RG，则μ是X的一个0.5-蕴涵的模糊蕴涵理想当且仅当μ是X的一个(∈,∈∨q)模糊蕴涵理想。

（2）若R=RcG，则μ是X的一个模糊蕴涵理想当且仅当μ满足下列条件：

①max{μ(0),0.5}≥min{μ(x),1}对任意x∈X都成立；

②对任意x,y,z∈X，有 max{μ(x),0.5}≥min{μ((x∗(y∗x)∗z),μ(z),1}。

5　结论

随着数学和计算机科学的发展，作为非经典模糊逻辑代数类的BCK-代数类被人们深入而广泛地研究。本文建立了模糊点与模糊集之间的属于与重于更一般关系，从而推广了BCK-代数的(∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想，引入了(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想的概念，研究了它的相关性质，证明了任何模糊蕴涵理想和任何 (∈,∈∨q)-模糊蕴涵理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，例证表明反之则不必然；指出了每个(∈,∈∨qk)-模糊理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，通过实例说明了其逆不真，并进一步说明了蕴涵BCK-代数的 (∈,∈∨qk)-模糊理想与 (∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想是等价的；阐明了对一个(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想而言，当k在区间[0,1]由小变大时，它仍是(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想，反之则不然；给出了BCK-代数的(∈,∈∨qk)-模糊蕴涵理想的几个等价刻画，其中包含了水平子集在内的3个普通集合的关系；引入了基于蕴涵的BCK-代数的模糊蕴涵理想的概念，讨论了3个特殊蕴涵算子诱导的模糊蕴涵理想的特征，获得了有意义的结论，这些丰富结论足以说明这种关于代数结构的研究是非常有价值的。

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