基于二进小波与PDE的乳腺X线图像增强

唐泉，黄允浒

（新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830017）

乳腺癌是女性中主要癌症类型，也是女性中第二大致死性癌症类型，早期检测和治疗被视为最有效的方法来降低乳腺癌的死亡率。它们通常由于图像质量差，普遍缺乏对比度，存在伪影、模糊、噪声和阴影等。虽然目前已经有好多学者提出医学图像增强方法，但是由于受到实际医疗水平限制、图像自身的复杂性及其本身固有问题和人体内部组织受到外部环境，如温度、光照等影响，使得医学图像在获取过程中往往存在不同程度噪音污染，因此，开展对乳腺图像的增强研究具有重要意义[1]。鉴于à trous算法未进行下采样操作，数据有很大冗余，便于对每个尺度下的细节和概貌进行频谱分析。相对于Mallat算法不但较好的保留了平移不变性，可以有效避免由于非线性变换在边缘不连续所引起的Gibbs现象，而二进小波相对于双正交小波具有平移不变性[2]；在边缘检测及图像增强具有较高的精度的独特优点，因此二进小波在图像增强，边缘检测及特征提取等的应用更能表现出更好的性能。

在图像增强领域中出现了许多实用的算法，诸如直方图均衡化算法、频域平滑滤波法等.而偏微分方程（Partial Differential Equations即PDE）图像去噪是其中非常重要的一类，已经成为图像处理的一个热点。20世纪90年代，Perona与Malik提出的非线性各向异性扩散代替高斯平滑，建立了P-M模型[3]；然而，由于P-M模型解的不唯一性，具有病态性质，在图像处理容易产生“块效应”，2000年，You和Kaveh[3-4]提出一个各向异性的四阶偏微分方程进行图像去噪，该方法在去除噪声同时更好的保持了边缘特征，克服’块效应’。

近年来，Retinex图像增强算法已然成为数字图像增强技术研究的热点。具有增强动态范围压缩、保持颜色恒常性和色调再现特点[6]。多尺度Retinex（Multi-scale Retinex，即 MSR）是 单 尺 度 Retinex（Single Scale Retinex，即 SSR）的加权平均[6]；尽管单尺度Retinex算法在图像增强方面应用非常广泛，优势明显，如算法模型简单，便于计算机运算，图像增强效果好，色彩保持性高等但也存在若干不足之处：算法难以避免光晕的产生，对数空间内数值取值有限导致单尺度Retinex算法在调节亮度对比度时拉伸能力有限。MSR相对于SSR算法优势在于，MSR算法在图像动态范围压缩方面效果更好，同时图像的对比度、亮度改善也更为明显，色彩保持也更好[9]。因此，应用MSR算法对医学图像进行增强，从仿真实验结果看，该算法在医学图像增强中有较好的效果。

经过反复图像仿真实验结果表明本文所提出的算法在对于对比度低、弱光照图像、阴影图像，均有独特的增强效果，在去除光晕现象、噪声放大问题等都有明显改善。且亮度、信息熵、对比度与清晰度都得到了进一步增强；为了证明这种方法的有效性，与我们所知道的各种常用增强方法相比，如边缘增强、反锐化增强、直方图均衡化、MSR、偏微分方程降噪。

1 à trous算法与P-M模型算法

1.1 à trous算法基本理论

à trous算法（à trous algorithm）[10-12]是由滤波器组{hi}与{gi=δi-hi}定义的一种非正交多分辨率分解算法，其中的克罗内克（Kronecker）算子δi是一个全通滤波器。为了提高该算法的时间效率，本文采用快速二进小波变换à trous算法[11-12]。现推广一维à trous算法并将其应用于图像的分解与重构过程中。

定理1 二维à trous算法

分解公式

重构公式

二进小波把原始医学图像I(x,y)分解成大小相同的4个子图像，分别是水平垂直皆为低频;水平低频，垂直高频;水平高频，垂直低频;水平、垂直皆为高频。文中选取r=2,m=2的B-样条二进小波滤波器，此方法正是Mallat提出的构造方法的推广.这些滤波器生成如图1所示的两个尺度函数和小波 (φ,ψ,φ,ψ͂)。

1.2 偏微分方程去噪方法

1.2.1 P-M模型具有如下特点

1）各向异性。

2）保留了因果性。

图1 两个尺度函数和小波 (φ,ψ,,)的图像

3）计算代价小[14-15]。

1.2.2 正则化的P-M模型

1992年，Cattle、Lions、Morel和 Coll提出了正则化模型[14]，其表达式如下：

式中I0是原图像，div表示散度算子，∇I是图像梯度，|∇I|是图像梯度模长。是以方差为σ的高斯卷积核，正则化的P-M模型本质上是在P-M模型处理之前进行了一次高斯滤波，解决了P-M模型无法去除大的噪声点和P-M模型的解是否存在唯一性问题，同时增强了去噪能力[3，15]。Perona与Malik给出式（3）中两个既能去噪又能增强边缘的扩散系数：

其中K为图像梯度阈值，P-M模型能很好解决了热扩散无法对图像边缘和平滑区域选择去噪的缺陷[3]，过度去噪时会出现‘块效应’。

1.2.3 新的扩散系数

文章提出一种新的扩散系数，其表达式为：

式（6）中0＜α≤2，取梯度阈值K=10。如图2所示，给出了u1,u2和新的扩散系数u3在α分别等于0.2，0.5，1和2的图像。

图2 不同扩散系数函数图像

2 图像增强原理

2.1 Otsu最大类间方差法原理

Otsu提出一种阈值分割法，它是建立在一幅图像灰度直方图基础上[15]，通过阈值将原图像分成两个图象即前景，背景。前景用g1,csum,h1来表示在当前阈值下的前景的点数，质量矩，平均灰度。后景用g2,sum-csum,h2来表示在当前阈值下的背景的点数，质量矩与灰度均值。Otsu的公式推导：

记k为前景与背景的分割阈值，前景点数占图像比例为ω0，平均灰度为u0；背景点数占图像比例为ω1，平均灰度为u1。图像的总的灰度均值为：u=ω0∗u0+ω1∗u1；类间方差：

类间方差越大，两类灰度差别越大，使得σ2最大的即为所求最佳阈值；因此本文采用如下最大类间方差法的7段对称连续分段函数E(x)如下：

其中，km,kh为阈值门限，ei(x)与E(x)为变换前后的小波系数。

2.2 图像增强具体步骤

步骤1：首先利用二维à trous算法对原图像I(x,y)进行J层分解，得到低频子带aJ和高频子带

3 增强实验及分析

3.1 增强实验

本文的实验环境为CPU：P4 2.93G，内存为4G，软件环境：结合Matlab2010（a）与C语言作为平台进行编程，为验证该算法有效性，增强实验选取2幅1024×1024的女性乳腺X医学图像做图像增强测试研究，本文算法的2组实验结果如图3所示。

图3 X线乳腺图像处理前后对比

在图3中，（a），（b）表示所选择的 2幅源图像，（c）、（d）为本文方法的实验结果。从结果中，我们可以看出实验结果图像的视觉效果比原来的图像效果好。（a）、（b）由于腺体组织较多，噪声干扰较大，经过本文方法处理后边缘轮廓得到增强显得更清晰，有效去除部分噪声，过亮区域被减弱，过暗区域得到增强。

3.2 实验结果

在分析部分，为证明本文算法实验结果优于传统的图像增强方法，我们将本文方法与如下5种常用的增强方法：直方图、均衡化边缘增强、反锐化、MSR和偏微分方程降噪作比较，几种增强算法如图3、4所示。

图4 不同增强方法对比

表1 图3（a）在不同增强方法的信息熵、对比度和信噪比

与此同时，我们也给出了图像处理效果评价指标与大量定量分析结果，到目前为止还没有一个公认的良好主观和客观评价标准，目前对于一幅处理过的图像常使用信息熵、对比度、信噪比、峰值信噪比等评价指标。

3.3 实验分析

表1对应图4，分别给出对应乳腺X线图像在不同图像预处理结果的客观性评价，从图4中和表1可以看出，边缘增强结果如图4（c）所示，该方法增强整个图像的轮廓，且信息熵和对比度得到进一步增强，效果较好；直方图均衡化结果如图4（b）所示，该方法对整个图像增强的对比度过大，效果并不理想，由于直方图处理的图像灰度级有限，变换后灰度级变少，严重影响图像的实用性；4（d）采用反锐化对图像进行增强反锐化掩模增强图像，在一定程度上抑制了噪声，但对于图像边缘增强效果一般，实验表明只要参数设置合理，可以对图像起到很好的增强效果；4（e）是在MSR算法增强后的结果，可以看出，直接使用MSR处理算法出现光晕的问题，此方法亮度拉伸增益过大，图像噪声明显被放大了。4（e）是基于偏微分方程的直接利用正则化P-M模型，未采用新的扩散系数的结果，过度去噪时出现了’块效应’，影响整幅图像的协调性，丢失了部分有用信息，效果也不佳.结合图3（c）和（d）与表1，可以看出本文方法在对于过暗或过亮区域提高了图像的对比度，对低像素图像做拉伸，而对于高像素过亮图像区域进行压缩，增强图像轮廓边缘，保留更多细节信息，对于对比度下降的不足有了较好改善，有效抑制块状效应，较好地去除光晕现象，视觉效果好，层次感更丰富，且在信息熵、对比度与信噪比都得到了进一步提高。

4 结 论

改善乳腺X线图像质量有利于乳腺图像特征提取，有助于医生对乳腺疾病的发现分析和诊断.本文提出结合à trous算法与偏微分方程的乳腺图像增强，利用推广的二维à trous算法，并选择具有线性相位、紧支撑、高阶消失矩及有限长单位脉冲响应的r=2,m=2提升二进小波滤波器的B-样条滤波器对乳腺图进行分解对乳腺图进行多层分解，对经过分解后的图像的低频子带通过采用不同的软硬阈值法去噪，进而利用基于Otsu阈值法的7段连续分段对称函数增强，而在偏微分方程的正则化模型基础上利用一个新的扩散系数，调整常数α来自适应模型以达到对高频子带噪声更好抑制，后用改进的MSR算法进行增强，最后利用à trous算法重构增强后的低频和高频子带.仿真试验结果表明，边缘增强也是一个较好的图像增强方法，尤其在原图像中含有较少的噪声时，其结果非常接近本文的增强效果。本文方法在去除噪声的同时具有颜色保真且更好地增强图像弱边缘、保留了图像更多细节信息，对于对比度低、弱光照图像、阴影图像，均有独特的增强效果，在去除光晕现象、噪声放大问题等都有明显改善；且亮度、信息熵、对比度与清晰度都得到了进一步增强，凸显图像的轮廓的同时，更好地改善乳腺图像的视觉效果。

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