高中数学解题中函数与方程思想的实例探究

涂方珍

(江西省南昌十中经开校区　330100)

一、函数思想与方程思想概述

1.函数思想

函数思想是解决数学问题的思维策略，在高中数学中函数思想的充分运用是解决定量与变量关系的主要路径.简而言之，函数阐释了数学问题中的数量关系，而函数思想则是描述问题中数学特征的有效方式.从而可以利用函数本身的性质来解题，并快速掌握其中的解题思路.诸如一次函数、二次函数、三角函数等较为常见的高中函数题型中，其最大值或最小值的锁定，图象变换的周期性或奇偶性等等，均为利用函数思想解决数学问题的主要路径.因此，在高中数学解题过程中，正确运用函数思想也是加强解题正确性与精准度的重要模式.

2.方程思想

方程思想是数学问题采用的方程解析模式，运用方程描述数学变量中的客观规律，可以迅速找出其中的解题路径.而构建方程组也可以描述数据问题的表象特征，是解题过程中极为重要的有效手段.在解决数学问题时，通过假设方程未知参量的预期值，寻找未知条件和已知条件的等量关系，能够充分描述变量关系的可能发展路径.因此在方程或方程组等式成立的基础上，可以将未知问题转化为假设性的已知问题，从而达到预期的数学问题解决效果，弥补由于已知条件不足而造成的解题思路匮乏现象.当学生能够从应用类题型中深度发掘未知参量的转化条件时，便可以观察和分析其中的方程解题路径，以便快速寻找到数学问题的解题思维.

二、在高中数学中运用函数与方程思想的实例

1.函数零点与方程根

函数零点与方程根的相关数学问题是较为普遍的高考题型之一，应用题或选择题中较为多见，运用函数与方程思想是快速构建解题思路的重要方式.方程f(x)=0的解为函数与坐标轴的交点，可以将y=f(x)视为二元方程y-f(x)=0，那么方程便有f(x)=a的解，而a也在方程函数解集范畴之列.因此方程与函数直接的转化关系往往是极为重要的解题路径，也是常见考试题型之一.

例题：函数f(x)=2x|log0.5x|-1有多数个零点？

在这样的函数方程题型中，主要考查学生对于函数与方程解题思维的掌握程度.在解题时可以首先设定该方程零点的假设数量，以f(x)=0为已知条件，进而求得|log0.5x|=(1/2)x的函数图象，并在直角坐标系中表现出y=(1/2)x的图象和y=|log0.5x|的图象，从而在两图交汇后寻找其中的函数图象交点，便可以快速明确函数方程的零点个数为1个.此类题型是极为常见的类型化题目，在函数与方程思想的运用上需要以零点问题转化为个数问题才能便于快速解题.当遇到此类数学题型时，需要构建f(x)=g(x)的方程等式，以便从中找出数形结合的有效方式，通过观察函数图象特征从而判定方程可能存在的零点个数.

2.三角函数中运用函数与方程思想的方法

三角函数是运用函数与方程思想较为普遍的题型之一，是以图形角度为自变量，对图形中所呈现的任意角终边，以及单位圆交点坐标进行的因变量比值函数设定，从而求解相应的线段长度问题，或与单位圆有关的角度取值空间问题.三角函数在高中数学中是极为重要的题型之一，对于学生数学思维的培养也是极为关键的方向.

例题：设f(x)为奇函数，其定义域R内函数单调递减，当0<α<π/2时，求解函数f(cos2α-2ksinα)+f(3k-5)>0不等式中k的取值范围.

在此题型中，主要考查学生对于三角函数数学规律的掌握程度，其奇偶性和单调性，及不等式与二次函数在三角函数题型中的连带知识点均有涉及.在解题过程中需要依据函数奇偶性和单调性的关系来进行运算.并推导出不等式：(cos2α-2ksinα)<(5-3k)的关系.从而在cos2α+sin2α=1的条件下转化不等式为：sin2α+2ksinα+4-3k>0.然后设定sinα=t的假设性条件推导出方程(t+k)+4-k2-3k>0.便可以设定t的取值空间为[0,1].依据函数与方程思想的解题路径，可以假设f(x)=(t+k)2+4-k2-3k的二次函数区间为单调性，进而得到相关的不等式类型，诸如：-k<0且4-3k>0；或者-k>1且1+2k+4-3k>0的取值范围.那么此类题型不仅对学生数形结合的思想进行了培养，同时也激发了学生对于还元化归解题思路的重新认知，更加是函数与方程思想的有效运用，对于三角函数问题的解题思路快速构建具有重要意义.

函数思想是高中解题中的关键，而方程思想也是快速运算求解的必要方式，综合运用函数思想与方程思想，能够加强学生对于数学问题的主观判断，并以严谨的态度关注数学问题的形成机制和求解要素.在三角函数或函数零点等数学问题中，有效运用函数与方程思想也是快速构建解题思路的重要方式.通过对两类题型的深入分析与探讨，能够明确函数与方程思想在高中数学解题思维中的重要性，需要数学教师依据学生的当前情况加强培养，以期达到更为理想的教学效果，引导学生掌握函数与方程思想的运用方法与关键要素.