探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧

2018-04-03马海生

数理化解题研究 2018年19期

关键词：通项题型习题

马海生

(陕西省榆林市靖边中学 718500)

一、什么是“数列”

“数列”是指按照一定次序进行排列的一列数.其中，数列中的每一个数称为这个数列的“项”，排在第一位的数叫做这个数列的“首项”(也叫第一项)，排在第二位叫做第二项，以此类推，排在第n位称之为第n项，通常以an表示.

二、探讨高中数学数列试题解题方法及技巧必要性

数列作为高中生数学高考重要考查内容，目前已受到广泛关注.教师对于高中数列知识点的教授，不能仅局限于使学生了解其理论概念，更应该使学生通过一定技巧与方法对习题进行透彻的研究，以更好地理解数列教学内容，提升自身综合解题能力.

三、有关高中数学数列解题方法与技巧具体研究

1.有关数列基本概念及基础性质的考查

(1)直接运用数列通项及求和公式.对于此种题目，通常没有特殊解题技巧，需要学生对基本数列概念和相关公式进行熟悉掌握，能够在审题之后迅速利用公式进行运算.因此，教师在讲授数列知识内容时，应强调学生对数列基本概念及公式的理解掌握，使学生有一个良好的知识积累.

(2)有关数列基本性质的考查.在历年数学高考中，都考查了学生对于数列基本性质的理解.高考试题中通常以变换说法的形式，考查学生对数列基础性质的理解程度以及能否灵活运用，因此，教师在教学中，应注意对数列性质进行推导演绎，以帮助学生更好地理解和运用.

2.有关数列通项公式的考查

(1)合并求和法：在数列试题中，有一些较为复杂和特殊的数列，需要在解题过程中对数列进行一定的整合工作，才能从中发现其特殊性.因此，在进行这一类试题的学习中，教师应引导学生化难为易，找出试题中隐含的组合项并求出特殊项，进行求和，然后再进行整体求和，解决题目.

(2)分组求和法：在许多数列试题中，有一些数列本身并不是我们常见的等差数列或等比数列，需要学生在解题过程中进行数列拆分，使原数列拆分为几个不同的等差数列或等比数列，然后根据不同数列应用不同的求和方法进行求和.

例如：设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3×2n-1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

通过审题可知，此题为递推求和问题，第一问中，通过累加法求数列{an}通项公式，第二问中则运用了分组求和法进行求和.

具体解题过程为：(1)an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,故数列的通项公式为an=22n-1.

(2)由bn=nan可得，Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1①.

从而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×22n+1②.

①-②，可得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n22n+1.即Sn=1/9[(3n-1)22n+1+2].

错位相减法：近年来数学高考试题中，均考察了学生对错位相减法的掌握及运用能力.主要是在等差或等比数列求和中得以体现.

例如:设数列an为等比数列，a1=1,a2=3.

(1)求最小的自然数n,使an≥2007;

(2)求和：T2n=1/a1-2/a2+3/a3-…-2n/a2n.

由题干明显可知此题主要考查错位相减法，具体解题步骤为：

(1)有已知条件可得，an=1×(a2/a1)n-1=3n-1.因为36<2007<37,所以使原不等式成立的最小n为n=8.

(2)因为T2n=1/1-2/3+3/32-4/33+…-2n/32n-1,……①

1/3T2n=1/3-2/32+3/33-4/34+…+(2n-1)/32n-1-2n/32n,……②

①+②得：4/3T2n=1-1/3+1/32-1/33+…-1/32n-1-2n/32n=(1-1/32n)/(1+1/3)-2n/32n=1/4(3×32n-3-8n)×32n.

所以=1/16(32n+2-9-24n)×32n.

3.有关传统数列题型考查

对于传统数列考查题型，在传统高中数学课堂上，教师对于习题的讲解多为灌输式讲解，使学生产生正确的解题思路和解题方法.然而，对于高中生而言，最重要的还是依靠自身的努力，在对数列基本概念和基础知识掌握扎实的前提下，通过进行大量习题的演练，寻求其中所蕴含的解题技巧和方法.对于许多传统数列题型，一般不会存在题型转换等较为复杂的问题，命题人一般采用直接提问的方式，学生只要对基本概念和公式熟练掌握，就能很好地完成题目.