浅谈三大力学的联系

(华北水利水电大学大学土木与交通学院 河南 郑州 450000)

理论力学是研究力学中最普遍最基本的规律，是材料力学，结构力学等力学课程的基础和前提，它以牛顿动力学基本定律为基础，和高中物理学中力学部分有很多相识吻合的地方，比如力的平衡，质点的运动学，动量定理，动量守恒能，量守恒动能定理等等，当然，理论力学中有了更加深入的研究。不再局限于高中物理学中的质点，理论力学的研究对象是刚体和刚体系统。理论力学运用了物理建模这个重要的工具，因为真实世界中并不存在质点，刚体等理想力学模型，刚体只是物体变形大小与所研究的问题或者本身尺寸相比完全可以忽略不计时所采用的理想化的模型。它分为三大力学，分别为静力学，运动学，动力学，其中静力学与材料力学，结构力学有着本质性的联系，约束与约束力，力的投影，力矩，力偶，力系的简化和平衡在以后材料力学和结构力学的学习中有着很大的作用，而理论力学中几大静力平衡方程更是在材料力学和结构力学的计算中起着举足轻重的运用，没有理论力学静力学解开支座反力哪有接下来的步骤。此外，静力学中有关桁架部分和结构力学中静定部分的桁架问题基本吻合，为接下来结构力学的学习打了很好的基础。

材料力学，作为固体力学的分支，它所研究的对象是更加贴近实际工程的变形体，因为不变形的物体实际上是不存在的。工程结构或机械都是由简单构件所组成的，相比结构力学主攻各种实用结构，材料力学则是从这些简单构件出发，解决构件的强度刚度和稳定性问题。构件的设计和计算当然与材料就密不可分，可以说材料力学是根据杆件的三个要求，即强度要求，刚度要求，稳定性要求而提出的一门力学。借用静力平衡法求出各种简单构件在单一外力作用下的内力，如杆轴向拉伸或轴向压缩产生的轴力，轴扭转产生的扭矩，梁弯曲产生的剪力和弯矩，求出内力后，综合变形几何条件，静力学条件和物理条件三方面，求出所受正应力或切应力，便可以进行强度的设计和强度的校核。接着研究变形问题便可以解决刚度问题，同时可以解决超静定和振动的问题。但是，由于构件所受荷载情况复杂，大多数情况下杆件并不是仅仅发生单一的基本变形，而是同时发生两种或两种以上的变形，因此材料力学又在后续展开了组合变形的学习，即构件在各种外力的叠加下所产生的内力和变形。

结构力学，便是以材料力学为基础，从简单的杆件到各种具体使用结构的升华，研究各种结构在各种作用状态下的内力，位移，动力响应以及稳定性，以校核强度和刚度，不涉及应力问题。同样的，计算这些内力和位移也像材料力学一样依据静力平衡条件，变形协调条件和物理条件。总的来说，就是以梁，钢架，拱，桁架，以及组合结构为主要结构，在各种效应，包括荷载，温度变化，支座移动，制造误差等作用下产生的内力和位移，其中内力包括轴力，剪力和弯矩，变形具体有线位移，角位移。静定结构已不局限于建立平衡方程解决问题的静力分析的方法，而是发展到了应用虚功原理建立虚功方程解决问题的虚设位移法，将力学的问题转化为数学几何问题来解决。其中超静定结构的解法也到了一个新的高度，不像材料力学那样复杂，在结构力学中，方法主要有以多余未知力为基本未知量的力法和以位移为基本未知量的位移法，力法计算内力位移以静定结构为基础，而位移法则是把结构拆成一系列的杆件进行内力和位移的分析，因此对力法来说，静定结构和超静定结构的界限很分明，但位移法无论静定超静定都可使用。并且，从位移法发展而来的，不需要建立方程组便可以解决问题的力矩分配法和无剪力分配法直接从力学意义去渐进，而之后的矩阵位移法则是一种适合计算机计算的结构分析方法，结合矩阵方法，实现了计算过程程序化。

虚功原理循序渐进。在理论力学最后一章节，细微地给刚体系的虚功原理和虚位移原理开了个小头，并用虚位移原理与达朗贝尔原理的结合组成动力学普遍方程，在比较复杂系统的动力学问题中，有了一个较为方便的解决方法。在材料力学中，应用虚功原理得出静力平衡方程的虚位移法和变形协调方程的单位荷载法，也即虚位移原理和虚力原理，分别实现对刚体体系内力和位移的计算。而到了结构力学，更是将虚功原理应用到了一个新的高度，不再局限于刚体系，而是发展到了变形体的虚功原理，而且适用于任何类型的结构，并且适用于材料非线性和几何非线性的问题。可以说，虚功能量方法贯通结构力学全书。

在超静定结构中，由于理论力学只研究刚体与刚体体系，不考虑物体本身的变形，因此在理论力学静力学中只能根据静力平衡方程解决静定结构的问题，而超静定问题得不到解决。在材料力学找出了补充方程，即利用结构的变形协调条件写出来的几何方程，并考虑材料物理方面把变形用力表示出来，这样就实现了对超静定问题的解决。而在结构力学中对于超静定结构的内力和变形，发展到了力法，位移法，矩阵位移法等一系列的渐进解法，可以说结构力学的主题就是超静定结构，超静定结构的问题在结构力学中得到了很好的解决。

三大力学都和数学有着千丝万缕的联系。理论力学与数学中的矢量运算，微积分，线性代数和微分方程关系很密切，理论力学在一定程度上具有数学课程的特点，但它不是抽象的纯理论学科，而是应用学科，材料力学中，各种各样公式的导出均和微积分有联系，截面的几个性质，比如静矩，形心的确定，惯性矩，极惯性矩，都用到了高等数学的微积分计算。而结构力学，最直接的就是图乘法，可以将积分运算问题简化为求图形的面积形心和标距地问题，极大方便了计算。

在结构力学中，出现了理论力学和材料力学中从未涉及过的影响线。不同于以前的固定荷载，影响线研究单位移动荷载在结构上作用时内力变化规律的图形。作静定内力和支座反力影响线时，除了静力法外，还可以采用机动法，以虚功原理为基础，把作静定内力和支座反力影响线的静力问题转化为位移图。不需要计算便可以很快做出影响线的轮廓。影响线是研究移动荷载运用的基本工具，在实际工程中有很重要的应用。

结构力学实现了计算机化。矩阵位移法以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段，以传统力学为理论基础，实现了计算过程程序化。此外，结构力学求解器作为新工具，提高了计算大型结构与复杂结构的例题的能力利用动画显示，提高对结构性能感性认识。

理论力学因为研究对象是刚体，因此不会对构件截面上的内力有所研究。而结构力学只研究结构各截面上的内力，内力只能说明其与外力之间的平衡关系，并不能说明分布内力系在截面内某一点处的强弱程度。因而材料力学进一步确定了截面上各点处分布内力的集度，也即应力。而研究一点的应力状态通常是围绕一点取出边长无限小的立方体即单元体来研究，具体方法有解析法和应力圆法。

三大力学的学习离不开正负号问题的讨论和解决。求力矩，写运动学的投影方程，力方向的假设，写出静力平衡方程，根据所求出力的正负判断力实际的方向和画内力图，位移法中判断固端弯矩的正负号等等。学习三大力学很多时候是正负号问题的解决与理解，而正负号问题很多时候也是让人头疼的地方。只有把正负号搞懂搞明白，才能写出正确的静力平衡方程，才能画出正确的内力图，因此，搞懂正负号，是学懂三大力学必须要过的一个关卡。

【参考文献】

[1]白新理.2013.《材料力学》.北京:科学出版社

[2]龙驭球.2012.《结构力学.1，基本教程》.北京:高等教育出版社

[3]杨开云.2013.《理论力学》.北京:科学出版社