谈高中数学中的恒成立问题
2018-04-02陈德华
陈德华
(江苏省溧阳市竹箦中学 213351)
高中数学十分考验学生的综合能力，而且学生在进行数学问题的解决过程中会提升自身的思维能力，所以教师在进行高中数学教授时要注意讲究方法，从而提升学生在数学方面的综合素质.数学问题有很多种类，而且针对不同的不同种类的数学问题有不同的解决方法，学生只有掌握了正确的解决方法，才能够高效率地去解决数学问题，所以教师在平时课堂教授过程中应该多多去传授给学生解题方法，而不应该让学生去进行记忆解题.恒成立问题是数学问题的一个重要类别，而且解决该问题时有很多种思路和方法，例如分离参数法，函数最值法等，教师在进行教授时应该针对每一种解题方法都举例说明，并让学生做适当的练习，在做题的过程中去进行总结，从而提升学生自身的逻辑能力和解决数学问题的能力.
一、构造函数恒成立法
函数是数学问题中一个很重要的类别，通过函数学生可以解决很多问题，并且将数学问题进行简化.而恒成立问题是指在已知条件下，无论其他变量有什么变化，其命题都永远成立.高中数学恒成立问题中涉及到很多函数，所以在进行该问题的解决时，教师不妨让学生利用函数去求解.一次函数，二次函数甚至是多元函数等都是数学中重要的知识点，也是考试的重点内容.函数在数学问题中以多种形式展现，因此其学习难度系数较大，所以教师在让学生利用函数去解决恒成立问题时，要教授给学生正确的方法，让数学问题不再成为难题.而利用函数去解决恒成立问题，其中一个重要的方法就是构造新函数，通过新函数的构造来简化问题，从而使得恒成立求解更加容易，让学生能够更加高效率的解决恒成立问题.除此之外，函数可以在坐标系中作图，所以在解决恒成立问题时，教师可以利用函数的图像来进行求值.
我们在利用函数解决恒成立问题时要注意转化，可以通过未知数的转化，或者是将函数转化成图像来进行求解.例如，若不等式2x-1>m(x2-1)，对满足-2≤m≤2所有的x都成立，求x的取值范围.这是一道关于不等式的恒成立问题，而且不等号两边都有未知数，我们不妨先将原不等式转化为m(x2-1)-(2x-1)<0，而为了借助函数去解决该问题，我们可以再构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2)，不难发现，该函数是一次函数，那么题干中的不等式恒成立问题便转化成一次函数的恒成立问题，即f(m)>0恒成立.在该问题中，需要求出变量的取值范围，x为已知参数，这与以往的求未知数的取值范围不同.那么在此问题中，我们可以针对一次项的系数进行分类，当x-1分别等于0，小于0，大于0时，让函数大于0的关于x的解集，根据此种方法，我们将x看成变量，完成了函数变量的转化，从而更加容易的解决恒成立问题.所以学生在平时解决恒成立问题中，不妨多多去利用函数的性质来简化恒成立问题.
二、数形结合恒成立法
数学学习过程中会有很多图形，而且这些图形与数字有着密切的联系，并且在解题过程中，若利用图像，会简化问题的解决步骤.而且图像与很多类数学问题都有联系，例如函数问题.而在进行函数图像绘画时，首先需要去构造函数，并且求出自变量的范围，而后再做出坐标系去考虑函数与函数图像之间的联系，最后作出函数图像.在数学问题的解决过程中，数形结合的思想应用很普遍，也很高效.利用该思想可以直接将一些复杂难懂的公式以及概念通过图像直观表示出来，从而使得学生能够更进一步的理解数学问题.而在解决恒成立问题过程中，学生也可以利用数形结合的方法去进行该类问题的解决，且通过做出图像能够更加准确地求出恒成立问题成立时未知数的范围.例如，解由2x-1≥x-2，x+8≥4x-1组成的方程组，传统解法中直接去计算方程组的解，但为了简便计算，我们可以将其看成为不等式的恒成立问题并且去利用图像进行求解，首先我们计算出每一个方程的解集，作出数轴，并将两个方程的解集分别标在数轴上，取其交集，而交集即是恒成立问题的解，也是该方程组的解.很明显这种方法比直接解方程组速度快，正确率高.所以学生在解决恒成立问题时，不妨多多作图像，从而在图像中寻找解决问题的简便方法.
三、分离参数恒成立法
恒成立问题往往是求不同变量的取值范围，而且在该问题的整式中会含有多种参数，包括已知和未知参数.所以学生在进行解题时，要能够将这些参数进行分离，分离的过程可以通过将含有参数的不等式问题进行变形来实现.分离参数解决恒成立问题，能够将复杂的恒成立问题简单化，且能够提升解决问题的正确率和效率.在平时的数学问题解答过程中，我们通常将不同的位置数转换成未知元x，在恒成立习题中，我们可以将参数视作主元，通过这种转化可以简化恒成立问题.分离参数进行恒成立问题的解决时，学生需要正确将未知数转化，而实现此能力需要学生进行多次的锻炼，那么教师在平时的课堂上，便可以多多去带领学生练习该方面的习题.
例如在“x∈R时，不等式4a+sinx+a2≥0恒成立，求出实数a的取值范围.”的恒成立问题解题过程中，通过观察已知条件，我们发现该问题中有两个变量a和x，其中x∈R，另一变量a范围是求值数，所以在利用分离参数解决恒成立问题时，首先我们要对a和x进行分离，解出解析式的变形后为sin2x+4sinx
总之，高中数学恒成立问题主要是探求未知数的取值范围和解集，而且往往恒成立问题中会掺杂许多其他种类的数学知识，包括数学的函数，数学不等式以及各种图像等，这便让恒成立问题解决起来变得困难.但也正是由于恒成立问题中包含许多其他类问题，我们所能用来解决问题的数学性质增多，这便为我们解决数学恒成立问题提供了多种方法.教师在进行恒成立问题的教授时应该让学生多多去练习，并且在练习中学会总结，从而让学生找出最适合自己的解决恒成立问题的解题方法.
参考文献：
[1]孟凡栋.恒成立型不等式中参数范围的几种求法[J].数学教学通讯,2004(01).
