基于核心素养的数学模型建构及教学策略

陈桂珠

（平潭综合实验区城中小学，福建 平潭 350499）

学生在经历数学建模过程中，不断感悟数学模型思想，并通过建立数学模型来解决实际问题，在解决问题的过程中不断建构数学模型。在小学数学教学中，教师应该如何引导学生自主探索，促使学生对数学模型经历一个感知、建构、运用和深化的过程呢？

一、在生活情境中提炼数学问题，初步感知数学模型

数学模型往往可以在生活中找到，模型的建构依赖于一定的现实情境，要想使学生有效建构数学模型，首先要创设出符合学生实际的生活情境。学生可以通过观察、分析，从生活原型中提炼出数学问题，并在初步感知模型的基础上，逐步向建构数学模型过渡。

如在教学《速度时间路程》时，教师在屏幕展示小明和小强家与超市之间的方位及路程示意图。学生提取信息：“小明家离超市360米，小明从家到超市走了6分钟。小英家离超市560米，小英从家到学校用了8分钟。那么，谁走得快呢？”让学生把自己的想法记录下来。接着，学生展示比较的过程：“小明是360÷6=60（米），小英是560÷8=70（米），因为60米小于70米，所以小英走得比较快。”教师追问：“360除以6是什么意思呢？”学生疑惑不解。教师继续追问：“为什么360÷6就是表示小明1分钟所走的路程呢？”经过互相补充交流，学生从除法的角度进行分析，把360米平均分成6份，每份是60米，也就是小明每分钟所走的路程。教师继续质疑：“为什么不用总路程比较他们的快慢呢？”学生经过讨论发现：“因为他们所用的时间不一样，路程也不一样，所以不能比较。”最后，学生感悟到：“分别求出了小明和小英1分钟所走的路程进行比较，也就可以把这两个同学的时间转化成相同的一分钟。在这相同的1分钟之内，他们所行走的路程却不一样，这样就可以直接比较他们的快慢了。”此时教师顺势小结：“小明平均1分钟走的路程就是小明的速度，小英平均1分钟走的路程就是小英的速度，比较他们的快慢就是比较他们的速度。”

以上片段教学，教师引导学生通过观察、分析，在充分交流的基础上，初步感知每1分钟所走的路程其实就是“速度”这一数学模型。最后的总结提升，让学生充分体会到平均1分钟的路程在这里就是比较的标准。在这样观察、分析的探究过程中，学生在大脑中形成“速度”的直观表象，感觉到某种数学模型的存在，初步建立起“速度”模型。

二、在归纳概括中分析数学问题，自主建构数学模型

模型思想在中小学数学教学中的渗透和应用，就是要引导学生经历自主建构数学模型的过程，让学生感悟模型思想。也就是说，模型思想的建立要蕴含于数学建模之中。而建立和求解模型的过程包括：用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。教学实践证明，学生对模型的自主建构与求解是需要不断的归纳与概括。［2］

如在教学《除数是两位数的除法的计算方法》时，先由同桌互相写两道除数是一位数的除法和除数是两位数的除法算式并进行计算，然后比较两种计算方法的相同点与不同点。学生发现：无论除数是一位数还是两位数，都是从被除数的高位除起。“被除数的最高位一定都会比除数大吗？可能出现什么情况？谁能举出这样的例子？计算除数是两位数的除法，在除的顺序上，要遵循什么法则？”以上连续追问，在学生所举的个性化的具体实例中阐述，除的顺序得以具体化，除数是一位数的除法与除数是两位数的除法的不同点跃然纸上。接着，学生通过比较实例算式（1）736÷5=147和算式（2）585÷45=13，讨论如何确定商的位置。算式（1）中，因为先用除数5试除被除数的最高位7，也就是用5试除7个百，商1个百，余2个百，所以商要写在百位上，和被除数百位上的7对齐。算式（2）中，用45去除58个十，商1个十，余13个十，所以商要写在十位上，和被除数的十位对齐。教师再次质疑：“同样是商1，为什么两题中的商1表示的意义却不一样？”这个问题再次引发学生反思：“为什么除到哪一位，就在那一位上面写商？”学生在整数除法范围内充分理解了“商对正”的重要性和意义，那么，理解后续的小数除法中商的小数点和被除数的小数点要对齐的原因，就不仅会知其然，而且知其所以然。教师进一步质疑：“每次除得的余数为什么都要比除数小呢？”学生可以从这两个算式比较中发现原因，也可以从已有的知识经验和生活经验中提炼余数都要比除数小的本质。在此基础上，再引导学生从“除的顺序”“商的位置”“余数小于除数”三个角度总结除数是两位数的除法的计算方法。

在这个环节中，学生通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，进一步明确除数是两位数的除法的计算方法与算理之间的关系，完成模式抽象，建立起除数是两位数的除法的计算法则这一数学模型。这是建模最重要的一个环节。学生在经历这个数学建模的过程中，不仅理解和掌握了除数是两位数的除法计算法则，而且感悟和体会了模型思想，还积累了数学活动经验，感悟到数学比较与抽象之美，体验到探索数学规律之妙。这样的教学，将学生由“简单的会计算”的层次转向“深入理解算法背后所蕴含的道理”的层次，使学生从小养成自主建构数学模型、应用数学模型的意识。

三、在联系运用中解决数学问题，深化数学模型

建立数学模型的过程应包括“观察实际情境—发现、提出问题—抽象成数学模型—得到数学结果—检验并调整、矫正模型”等多个环节。［2］在学生初步建立数学模型时，引导学生利用列举、比较、分析、展示等活动加深对该模型本质的理解。在抽象成数学模型，得到数学结果之后，教师又要及时组织学生应用已确立的模型检验并解决具体的数学问题。通过沟通联系、拓展延伸，进一步巩固、内化学生的认知体系。

如在教学《除数是两位数的除法的计算方法》的最后，教师质疑：“除数是三位数的除法的计算方法可能是什么样的？试着计算17407÷103=（ ）并用计算器进行验证。”在小学阶段，教材只安排到《除数是两位数的除法计算方法》，今后不再学习除数是三位数的除法。因为除数是两位数的除法的计算方法同样适用于除数是三位数的除法。学生在本节课掌握了除数是两位数的除法计算方法这个运算模型之后，能否自主应用和推广呢？这个课外问题的拓展，充分延伸了学生思维的长度，让学生充分感受模型的运用与推广。

例如在教学《速度时间路程》的最后，也可以选择以下一些生活中有关速度的信息，让学生自己编题，并进行解答。（1）蝴蝶的飞行速度是500米/分。（2）鸵鸟的跑步速度是72千米/小时。（3）藏羚羊奔跑速度可达每小时70～110公里。（4）一辆高铁的速度是290千米/小时。通过欣赏生活中的速度，丰富学生对速度的理解，让学生选择其中的一个速度素材，增加一个信息，编写求路程的数学问题，进一步深化“速度×时间=路程，时间=路程÷速度”的模型。这不仅让学生深刻理解了速度的意义，也为学生今后灵活地运用“速度=路程÷时间”这一数学模型打下扎实的基础。

引导学生自主建立数学模型，是培养学生应用能力、提升小学数学核心素养的重要手段之一。当然，建构数学模型只是一种手段而不是目的。在教学中，教师应该基于学生已有的知识经验和生活经验，设计合理有效的数学活动，让学生经历数学建模的全过程，帮助学生提高数学建模能力和深化运用数学模型能力。