断裂力学常用数值计算方法研究现状

(重庆交通大学土木工程学院 重庆 400000)

引言

断裂力学是固体力学的一个分支学科，主要研究内容是控制和防止结构在荷载作用下的断裂破坏，并以此分析结构在发生破坏时裂纹的发展规律以及对结构强度的影响程度[1]。自20世纪70年代断裂力学开始引入国内后，经过近50年的发展，断裂力学这门学科已经广泛的应用到了航空、航天、化工、能源等各个领域，为国家基础建设贡献了不可磨灭的力量。在当下，断裂力学的研究目标主要有三点：裂纹的起裂条件、裂纹在外界荷载或者其他因素影响下的开展过程以及裂纹开展程度对结构强度的影响程度[2]。为了解决这三个问题，以计算机为基础的数值计算方法得到了大力的发展，并且随着相关学者的不断努力，在原有的数值计算方法之上延伸出了许多更加优秀的方法，以往不能解决的问题或者解决存在较大困难的问题也逐渐被解决。

一、断裂力学数值计算方法研究现状

(一)有限元数值计算法

有限元法是出现时间最早的断裂力学数值计算方法。它的原理是将现实生活中的连续介质离散成为有限个数的单元，并对各个单元进行数值计算，然后通过节点位移求解得到应力分量，最终得到实际问题的数值解。近年来，断裂力学的有限元数值计算方法开始向各个方向发展，为有限元计算方法的发展带来了蓬勃的生机。其中，苏静波[3]等人将有限元法扩展到几何非线性断裂力学问题中，建立了Fortran程序，推导了几何非线性扩展的有限元法公式，并用算例说明这种方法在大位移条件下比传统的有限元法更加优秀，但当裂纹张开发生大变形时，几何非线性与物理非线性同时存在，这种方法的计算结果还需要进一步的研究。总体来说，这种方法为扩展有限元法的研究提供了前进的方向，丰富了断裂力学扩展有限元法的内容。另一方面，扩展有限元法在强度不连续问题中也得到了进一步的发展，李俊[4]等人在总结了扩展有限元法近年来水平集法、积分方案和不连续位移场富集策略的基础上，提出了未来扩展有限元法应该对裂缝处理方式、裂缝模型以及钢筋应力的处理方式等进行进一步的研究。

有限元法虽然提出的时间相比其他数值计算方法都早，但依然是目前最有活力的数值计算方法，这主要得益于他的包容性以及根本性，其他的数值计算方法大多是从有限元法的基础上得到的，因此有限元法的发展对断裂力学整体的发展而言至关重要。近年来国内相关学者对有限元法的新式理论方法研究随着社会的实际需求而不断丰富，未来断裂力学有限元法会朝着降低计算机需求，优化计算法则的方向不断发展，满足更多实际需求，丰富断裂力学数值计算方法的理论基础。

(二)边界元数值计算法

与有限元法相比，边界元法能够有效的降低计算所需要准备的数据数量，同时简化计算模型，加快计算速度。另一方面，边界元法的使用依赖于已知的带奇异性特殊问题的解，在特殊解存在的条件下，边界元法能够比有限元法更好的解决诸如应力集中，场量大梯度变化的问题。汪文桥[5]等人在利用边界元法处理裂纹扩展问题时，引入保形变换方程，这种方法能够很好的避免在裂纹上下截面处理不同阶次的奇异积分时所产生的病态矩阵，对结果的准确度提升具有巨大的帮助。高效伟[6]等人在对比传统边界元方法之后，提出利用径向积分边界元法分析功能梯度材料动态断裂问题具有自身的优越性，并建立起只需要边界离散的无内部网格边界元计算方法，使得分析功能梯度材料的边界元算法得到了极大的优化，但是这种方法是建立在各向同性、均质的材料之上，对于各向异性、非均质材料还需要进一步的研究，以得到符合实际情况的完整算法。张耀明[7]等人在三维边界问题中几乎奇异积分计算方法上做出了较为突出的贡献。高阶几何单元上的边界积分问题一直以来都是较为困难的问题，该文利用8节点的四边形以及6节点三角形曲面单元构造了新的距离函数，相比利用8节点二阶曲面单元来逼近几何边界更加简便，并且结果精度更高，更加稳定。

断裂力学边界元法一直以来便被看作有限元法的重要补充工具，近年来国内相关学者的各项研究都表明这种数值分析方法具有巨大的活力，能够比有限元法更好的处理裂纹开裂的问题，但是各项研究的深度还有待进一步提高，为这种数值计算方法的普适性做出更多的努力。

(三)小波数值法

近年来小波数值分析方法对各种裂纹的扩展模拟有了新的突破，为生产实际带来了较大的便利。彭惠芬[8]等人将内聚力模型(CZM)引入小波有限元法(WFEM)数值分析中,以区间B样条小波尺度函数作为插值函数,推导了小波内聚力界面单元刚度矩阵,基于虚拟裂纹闭合技术(VCCT)计算界面裂纹应变能释放率(SERR),采用β-Κ断裂准则,实现界面裂纹扩展准静态分析。将WFEM和传统有限元法(CFEM)的SERR数值分析结果与理论解比较，证明WFEM法相比传统有限元法具有更好的准确率，能够更好的分析材料弹性模量对裂纹扩展的影响。焦胜博[9]等人在考虑了金属结构裂纹检测的实际需要之后，通过小波分解法与小波变换模极大值法对检测信号去噪，实现了对疲劳裂纹扩展长度的精准检测，将误差减小到了1mm,满足了实际工程需要。林丽君[10]等人利用小波模极大值与图像加权信息熵相结合，并自行设计了BHPE滤波器，奠定了磁瓦裂纹缺陷自动识别的基础，相比传统边缘检测算法具有更好的精度与速度。小波数值分析方法不仅在裂纹扩展的研究中具有重要的促进作用，对于采用拟小波分析的问题以及振动问题也具有重要的意义。宋志伟[11]利用拟小波方法离散振动方程中的空间导数，通过判断动力响应的稳定性从而得到梁的动力失稳区域，并且通过实例计算结果对比发现利用拟小波方法能够很好的模拟梁的动力特性，并且得到随着轴向力中恒定项数目的增加，动力失稳区域逐渐从高频区域向低频区域进行移动，对后续梁动力特性的研究有着重要的意义。

小波分析除了在数值解法上有了较为显著的进步，利用这一方法结合声学对结构的微裂纹扩展情况进行研究也是近年来的研究热点。这种方法对多裂纹、多维度裂纹扩展情况的研究具有良好的模拟性，并且普适性也很广，可以较好的与声学、电磁学等学科有机的结合起来，为更多问题的分析提供可能。

(四)数值流形法

数值流形法近年来一直是数值计算方法中的研究热点，国内诸多学者都对这一方法做了大量的研究，主要涉及的方面包括数值流形法对裂纹扩展过程的模拟优化，方法本身的优化以及方法对多场结合条件的适用性等。其中，刘学伟[12]等人在数值流形法原理上基于线弹性热力学理论建立了温度应力耦合控制方程，成功模拟出了岩石破裂单元中温度应力耦合过程及该作用下岩体裂隙的扩展过程，并通过计算程序对算例进行验证，证明将数值流形法运用到岩体多场耦合作用中的可行性与合理性。张慧华[13]等人在已有的四边形网格划分方法的基础上采用正六边形网格求解线弹性复杂裂纹问题，并通过互能积分法计算得到裂纹尖端的应力强度因子，证明运用正六边形进行网格划分结果的精度更好，适合推广。原有的数值流形法在一定程度上还存在一定缺陷，为了对方法进行优化，在裂纹尖端的物理片上增加扩充位移函数，可以更加准确的预测裂纹的扩展方向，适用于大小变形。同时，数值流形法的线性相关性仅存在于数学网格的边界上，因此增加覆盖合并能够减少整体刚度矩阵零特征值的数目[14,15]。

数值流形法是在非连续变形分析法的基础上提出来的新数值计算方法，该种方法中的覆盖位移函数可以是任意的级数形式，并且一般能够同时处理静力与动力问题，对断裂力学中的接触问题有着很大的帮助。未来数值流形法在处理裂纹问题时的优势特点必将为以后满足更多实际需要提供不可或缺的保障。

三、未来发展趋势

(一)解析法与数值法的进一步融合

随着计算机计算能力的不断提升，未来数值法的更高计算效率依然是研究热点。结合数值法与解析法能够提高数值法的计算精度，并且能够为数值法的优化方向提供参考，如何将解析法与数值法更好的结合起来，二者之间优势互补是未来断裂力学数值计算方法研究的大方向。

(二)数据处理更加方便

运用数值计算方法对断裂力学问题进行处理时，大量的数据是一直以来问题解决途中较大的一个阻碍，研究数据如何在原始数据存在的条件下进行更多的智能处理，结合人工智能简化数据处理过程也是未来研究的重点。

(三)各种方法相互取长补短

断裂力学数值计算方法都有其自身的特点，如果融合各个算法之间的优点，对数值算法进行优化，数值计算方法便能够从纷乱繁杂逐渐走向统一，适用性更广、精度更高、计算更为简便的数值计算方法也能够逐步实现，这也是未来断裂力学数值计算方法重要的发展方向之一。

四、总结

随着相关研究的不断进行，基于断裂力学的数值计算方法必将得到更大的发展。未来各种数值计算方法之间优势的互补，以及基于已有的方法而发展起来的更优秀的计算方法是研究的主体方向，为了断裂力学这门学科的不断完善发展，时刻保持谨慎的治学态度是每个力学工作者做必须的。