挖掘课本内涵，培养思维能力

马勇

摘要：培养学生思维能力是数学教学的重要目标，如何能实现这一目标.灵活处理认真研究课本的例（习）题，挖掘并掌握其中丰富内涵，是一种行之有效办法，其对培养学生思维发散性、灵活性、深刻性、创造性、广阔性都有很大作用。

关键词：思维能力；课本例题

例（习）题是教材的重要组成部分，这些例（习）题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的，是学生掌握双基的重要来源，也是教师传授知识的纽带，它蕴含着丰富的教学功能，处理好例（习）题的教学，对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都是至关重要.

一、引申拓广，培养思维的发散性

教学中，若对一些典型的例、习题进行变式处理，如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等，即可以在演变多解过程中，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维.

例1：数学必修⑷P122第3题证明：对任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2） （c2+d2） （1）

先让学生推证，发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明.此时进一步追问：能否有更新颖的证法呢？

引导学生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的结构特征，因此可考虑用构造法证明.

证法1 （向量法）构造向量

则ac+bd=a2+b2 ·c2+d2 cosθ，

（ac+bd） 2=（a2+b2）（c2+d2） cos2θ

≤（a2+b2）（c2+d2）

证法2（构造三角形）利用“三角形的两边之和大于第三边”（上图中OBCA为平行四边形）

由|OA|+|OB|>|AB|及|OA|+|OB|>|OC|，不等式⑴迅速得证.

由解法一不少学生都能发现a与b，c与d可交换位置.

[变1]求证：（a2+b2）（c2+d2）≥（ad+bc） 2 ⑵

[变2]⑴式两边开方可否？

求证：a2+b2 c2+d2 ≥|ac+bd| ⑶

[变3]⑶式右边去掉绝对值可否？

求证：a2+b2 c2+d2 ≥ac+bd ⑷

对于⑴式能否有更深刻的变化呢？将不等式⑴字母分别排序，得

（a12+a22）（b12+b22）≥（a1 b1+a2 b2） 2 ⑸

通过分析知道，可以按字母增加的方向演变.

[变4]设a1、a2 、a3 、b1、 b2、 b3∈R，

求证：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）≥（a1 b1+a2 b2+a3 b3） 2 ⑹

此时，利用学生的连续思维所产生的思维惯性，教师因势利导，把问题推广.

推广 设ai，bi∈R（i=1，2……n），则

（a12+a22+……+an2） （b12+b22+……+bn2）

≥（a1 b1+a2 b2+……+an bn） 2 （当且仅当ai=kbi时，取“=”号）

这是一个重要的定理，叫柯西不等式.不等式⑸、⑹即柯西不等式当n=2和 n=3时的特例.如此层层推进，使结论更加完美，更具有普遍性.

上述对原题从不同角度进行演变和多解，这样从一题多变到一题多解，使知识横向联系，纵向深入，拓宽了学生的思路，培养了学生的发散思维.

二、融会贯通，培养思维的灵活性

数学中有很多知识是相互联系的，现行新教材特别注意用联系的观点处理问题，课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间.因此，在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律，引导学生串通教材，做到融会贯通，开阔学生的视野，增强学生思维的灵活性.

如研究空间面面关系，线面关系，线线关系时经常要用到转化思想方法来解题，通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题，而有关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题.

三、標新立异，培养思维的创造性

例题教学中，在学生掌握基本方法的同时，应有意识地创设新活的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位地思考问题，鼓励学生标新立异、探究新解，达到开拓学生思维、锻炼学生思维创造的目的.

例2：数学必修⑷P111例7，已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）试判断A、B、C三点之间的位置关系.这是一道基本题，但应要求学生尽可能多地进行多方位、多层次的联系，寻求不同解法，如一些学生仅想到一些常规解法：

（1）证明|AB|+|BC|=|AC|；（2）证明点B在直线AC上；（3）证明直线AB、AC的方程相同或斜率相等.而有一些同学，联想宽广深刻，不但有上述解法，还得到了如下的非常规解法；（4）证明点C到直线AB的距离为0；（5）证明△ABC的面积等于零；（6）证明点B是有向线段AC的一个定比分点，显然后者的解法较之于前者，更难想到，因而更具有创新性，有利于培养思维的广泛性、创造性。

四、联想转化，培养思维的广阔性

数学是一个具有内在联系的有机整体，各不同分支，不同部分，都是相互联系、相互渗透的，解题方法、解题思路更是如此，因而，在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力，促进知识的正向迁移，培养思维的广阔性。

例3：已知a，b，m∈R+，并且a

求证：a+mb+m >ab

教材上是用“分析法”证的，如果就此结束，效果不大，实际上，它内蕴着丰富的教学价值，如引导学生巧妙联想，灵活转换，构造函数来证，则很富有意趣。

证明：令f（x）=a+xb+x =（x+b）+（a-b）b+x =1+a-bx+b

∵a-b<0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，

∵m>0，∴f（m） >f（0） 即a+mb+m >ab

这样的教学就使学生不再把函数与不等式割裂开来，而是融合为一个有机的整体，以后处理有关问题时将能迅速迁移，另如例1巧妙地利用了数形转换解题的思想方法，这些都有助于培养学生思维的广阔性、创造性。

综上所述，课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本，对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样教学，深化了基础知识，培养了思维品质，发展了思维能力，这正是我们所要追求的目标。