让学生真正成为数学学习的探索者——《圆的周长》课例实践与反思

新课标明确指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”现代教学理论也认为：学习不是学生对教师所授予知识的被动接受，而是学生以自身已有知识和经验为基础的主动研究和构建活动。那么，如何有效践行新课程理念，提升学生动手操作活动的有效性，使实践操作活动摆脱表面的热闹，由肤浅走向深入呢？下面，就以笔者执教的武汉市优质课《圆的周长》为例，对此问题加以反思和探索。

片段一：创设情景、激疑——操作感知对象

师：上节课我们认识了圆，感受了圆的神奇，那么这节课我们来继续学习圆的有关知识。（课件出示“圆的周长”主题图）圆桌和圆形菜板有点开裂，需要在它们的边缘箍上一圈铁皮。要求所需铁皮的长，就是求什么呢？

生：圆桌和圆形菜板的周长。（课件抽象出圆形）

师：这节课我们就来研究圆的周长问题。（板书课题）

师：对于周长，大家并不陌生，因为我们已经知道了很多平面图形的周长。那么什么是圆的周长呢？老师这儿有一个圆形的物体，谁能告诉老师它的周长指的是哪一部分的长？请同学们举起你手中的圆片，用手指一指、摸一摸。谁能用自己的话说一说什么是圆的周长？

生：绕圆一周线的长。

师（结合课件演示）：对！我们把围成圆曲线的长叫圆的周长。

师：圆的周长，怎么测量呢？

【反思】《数学课程标准》明确要求数学教学内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课始，创设学生生活中常见的情境——要给圆桌和圆形菜板的边缘箍上一圈铁皮，引出圆的周长的概念；再通过用手摸一摸圆的周长、指一指圆的周长的操作，让学生在初步感知的基础上对圆周长的概念进行描述。触摸之后的语言概括，帮助学生充分而有效地从具体到抽象建构了圆周长的概念。这个课堂导入部分，既让学生感受到数学来源于生活，也激发了他们的探究欲望，同时也引出了本堂课需要学习的教学内容——圆的周长。

片段二：探讨测量圆周长的方法，渗透化曲为直的数学思想和方法——操作测量对象

师：（出示学具）老师给你们准备了直尺、皮尺、线等材料，用这些材料你能想办法测量圆的周长吗？同学们可在小组内议一议，也可动手试一试！（学生自选材料尝试操作）

师：谁来把你的方法介绍给大家？

生1：我是在圆上绕绳，再把绳子拉直，在直尺上量出这段绳子的长。

师：是这样吗？（放课件）圆周是曲线，不方便直接测量，你想到用绳子间接测量圆的周长，把圆周的这条曲线转化成了直线段，你真了不起！谁还想出了其他方法？

生2：我将圆放在直尺上滚一周，直尺所对的刻度就是圆的周长。

师：（放课件）这个方法也挺有创意！可怎么就知道圆正好滚了一周呢？

生3：我直接将圆环剪开，圆环的长就是这个圆的周长。

生4：我用透明胶在硬币上绕一周，这样可以减少误差！

……

师总结：同学们真不错！想到了不同的测量方法。不知大家注意到没有，这些方法有什么共同点？

生：都是把圆周的这条曲线转化成了直线段。

师：（板书：化曲为直）这就是我们数学中研究几何问题常用到的方法——化曲为直。

师：（激起矛盾）大家想一想，是不是所有的圆都能用刚才的方法测量它们的周长呢？

生：不是的，比如说很大的圆就不方便用线绕法。

生：还有，像电扇转动形成的圆都没法用线绕和滚动法测量。

师：有道理！看来，我们的方法存在着一定的局限性。那么，你认为我们该怎么办呢？

生：计算长方形、正方形的周长都有公式。如果我们可以找到一个计算圆周长的公式，那就好了！

【反思】“测量圆周长”是本节课第一次操作活动。我把操作的主动权交给学生，改变传统教学中给学生准备好材料，让学生在老师的预先设定下寻找测量方法的做法。在这个动手操作环节中，放手让学生探索操作，发挥了学生学习的主动性，而学生也不负所望，通过自主的动手操作实践探索出“绕”“滚”“截”三种方法测量圆的周长。教师则在学生得出结论后进行引导，顺势引导学生归纳出它们的共同点：“化曲为直”，同时分析反思和评价不同测量方法的优劣，并巧妙地设置认知矛盾：“是不是所有的圆都能用刚才的方法测量它们的周长呢？”这个提问打破了学生的思维平衡，使学生原有的认知失衡，进一步激发起他们的探究欲望，开始认真思考测量圆周长的一般方法：“要解决所有圆的周长问题，该怎么办呢？”至此，通过一步步的操作、测量、观察、思考和表达，学生的思维也得到一步步的深化。可以说，这个环节的操作活动是有效的，它同时也为第二次的操作——探究圆周长的计算公式埋下了伏笔。

片段三：旧知迁移，大胆猜想——明确操作验证的目的与方向

师：圆的周长会与它的什么有关呢？

生：直径。

生：半径。

生：圆的大小。

师：圆的大小又是由什么来决定的呢？在同一个圆内，直径是半径的两倍，圆的周长与半径有关系，实际就是与直径有关系。请看大屏幕（课件出示大小不同的三个圆）观察一下，你发现了什么？

生：圆的直径越长，周长越长；直径越短，周长越短。

师：看来，圆的周长确实与直径有关。（板书：圆的周长、直径）今天我们就来研究圆的周长与直径的关系。到底圆的周长与直径有什么样的关系呢？同学们不妨大胆猜一猜！

生：我觉得圆的周长与直径可能有某种倍数关系。

……

生：因为正方形的周长是它边长的4倍，而正方形的内切圆的周长比正方形周长小一些，所以我觉得圆的周长可能是直径的3倍多。

师：那你的意思是你感觉到圆的周长与直径之间可能有某种倍数关系，而且是3倍多，是吗？当然，这只是猜想（板书），为了证明这个猜想，我们必须通过实验来验证（板书）。要验证圆周长与直径的倍数关系，你打算怎么研究？

生：我想量出一些圆的周长与直径，分别用周长除以直径，看看商是不是固定的值，如果是，那么到底是多少。

师：通过测量、计算的方法来验证，这个主意不错！谁还有其它方案？

生：我们直接用绳子绕圆片一周，减去多余的部分，也就是圆的周长。再直接拿这条绳子去量这个圆的直径，看看有什么发现？

……

【反思】在探索“圆的周长与直径的关系”时，很多老师都是直截了当，让学生按教材意图完成一些指定性的操作：先测量出圆的周长，再测量出该圆的直径，最后计算出该圆周长与直径的商，从而引出“圆周率”。至于为什么要测量圆的周长和直径，为什么要算出周长与直径的商，却缺乏探究，以至于让学生感到一片茫然，完全不知其所以然。

本节教学中，为了确定研究的方向，提高操作的有效性，我先引导学生进行两次合理猜想，一是通过对大小不同的三个圆的直觉观察引发学生猜测，让学生猜想出圆的周长与直径有关。二是根据正方形的周长与边长的关系而类比产生猜测，猜想出圆的周长与直径有倍数关系。合理的猜想科学地定位了探究的思路，提高了课堂的实效。学生在猜想过程中，新旧知识的碰撞，激发出智慧火花，也拓展了思维，提高了数感，发展了推理能力，锻炼了数学思维。为了使后面的操作更加明晰，在学生确定圆的周长与半径或直径的关系后，教师再引导学生自主制定操作方法——要验证圆周长与直径的倍数关系，你打算怎么研究？这样，学生知道“做什么”“怎么做”以及“为什么要这么做”，这样的实践操作才是有效的，也是学生感兴趣的。

片段四：验证猜想，发现圆周率——给足学生动手操作的时间与空间

师：为了配合大家做好研究，老师为每个小组准备的一张实验报告单就藏在你们的抽屉里，请组长把它取出来。为了同学们实验的顺利进行，老师提出两条建议，请看大屏幕。（课件出示“温馨提示”）明白了吗？那就在小组长的带领下小组合作，动手实验吧！我们看看哪个小组能最先证明出圆的周长与直径之间的倍数关系。（学生分小组动手实际测量、计算、填表；师巡视，了解活动情况，及时指导帮助）

师：哪个小组来汇报一下你们测量的周长和直径的数据？（师板书填表）观察这些数据，你们发现了什么？

生：他们的商都是三点多。

师：也就是每个圆的周长大约是它直径的3倍多一些。其他小组计算的圆的周长与直径也有这样的关系吗？请四人小组相互交流一下。（生小组交流）你们手中的圆的周长与直径的关系又是怎样的？

生1：我们小组每个圆的周长也大约是直径的3倍多一些。

生2：我们小组圆周长与直径的关系也是这样。

……

师：凡是通过测量计算发现你的圆周长是直径的3倍多一些的同学请举手。（生都举起了手）其实，关于圆周长和直径之间的这种关系，人们在一千多年前就开始研究了。我们的数学家们早就发现任意一个圆的周长都是它直径的3倍多一些，它是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用π表示。请看大屏幕。（课件介绍圆周率及祖冲之）

【反思】合理的猜想，只有经过科学的验证，才能彰显智慧的光环。在验证中，教师应留给学生足够的时间，让学生的脑、手、眼、口等多种感官参与到探究过程，并在此基础上通过观察、计算、分析、归纳和概括寻找出结论。由于测量的误差，学生只能计算出圆的周长是直径的3倍多一些，对这样的测量结果，教师给予了应有的尊重。教师这种实事求是的科学态度，不仅能进一步激发学生探究的热情，同时对学生严谨治学态度的培养也有不可估量的作用。

在教学过程中对祖冲之的一段内容介绍后，我并没有对学生进行思想教育，而是提了这样一个问题：“读了这则小故事，你有何感想？”让学生自己谈谈体会与感触。正是由于教师充分信任学生，把教学的主动权还给学生，让学生自己教育自己，起到了事半功倍的作用。学生们通过学习、比较，不但感受到我国源远流长的古代文化，也感受到古人勤奋努力、积极探索的精神；同时通过史话的介绍，也让学生感觉到圆周率发现的不易，由此从小培养他们严谨科学、坚韧不拔的探索精神。

片段五：推导圆周长计算公式——让思维在动手操作过程中内化与提升

师：我们知道了圆周长与直径的关系，你会求圆的周长了吗？如果用字母C表示圆的周长，用d表示直径，用字母怎样表示圆的周长公式？

生1：只要测量出圆的直径再乘圆周率就行了。

生2：用圆的半径乘2再乘圆周率也行。

生 1：C=πd。

生2：C=2πr。（教师根据学生回答板书，并提问：第二个公式为什么要乘2？）

【反思】有效的操作，通过语言的表达才能得以内化。学生在进行动手操作的过程中，在观察、分析、猜测、比较、综合、概括、反思等一系列活动的基础上，结合语言的表述，才能完成从感性到理性的内化过程。这样才能让学生透过动手操作活动的表面去深入思考，使知识得到内化，使能力得到发展。

片段六：全课总结——提升数学学习思想方法

师：同学们，这节课你们有什么收获？

生1：我不仅知道了什么是圆的周长，还知道了要想求圆的周长既可以用测量的方法，也可以用计算的方法。

生2：我还自己动手推导出了圆周长的计算公式呢！

生3：我知道了我国古人在研究圆周率上的骄人业绩。它们太了不起了！我一定要学习他们刻苦研究的精神。

生4：我知道了验证猜想最好的办法是动手实验。

……

师：同学们很了不起！这节课我们不仅学到了圆周长的有关知识，还一起经历了曲线图形的研究方法——化曲为直；除此以外，还通过猜想、验证的方法找到了圆的周长计算公式，这都是很重要的方法，也是我们以后学习中常用到的方法。那同学们还有什么疑问吗？

生5：老师，我很想知道我国古人刘薇、祖冲之他们当时是用什么方法计算出圆周率的。跟我们今天研究的方法一样吗？

生6：圆的周长不是圆直径的3倍多一些吗？那为什么我国的数学专著《周裨算经》中却是“周三径一”的说法？

生7：我还想知道圆周率小数点后上万亿位后的数是多少？

师：同学们善于动手、肯于动脑、敢于提问，太好了！关于圆周率的知识还多着呢！古人是怎么研究出圆周率的？又正是由于圆周率是一个无限不循环小数，人类对它的探究远没有停止！它的小数点后上万亿位后的数究竟是多少，还有待在座的同学们去进一步探索和研究。若感兴趣，就上网或查阅相关资料吧！

【反思】叶圣陶先生有句名言：“教是为了不教。”教师在教学中不仅应该注重数学思想方法的渗透，培养学生主动获取知识的学习能力，更应帮助学生总结归纳学习方法，在发展学生数学思维的同时，掌握科学的探究方法。“学无止境”，让学生带着疑问离开课堂，体现了“学起于疑，又终于疑”的教学理念。“课已尽，而意无穷”，我们要不断激起学生对知识继续探究的强烈渴望，因为这种渴望才是他们进一步学习的动力。

案例反思

本节课教学内容是新课标人教版小学数学六年级上册第62—64页“圆的周长”。“圆的周长”计算方法的教学，是学生初步研究曲线图形基本方法的开始，又是后面学习“圆的面积”以及今后学习圆柱、圆锥等知识的基础。因此它起着承前启后的作用，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。这个内容不仅是学生第一次研究平面上的曲线图形的周长，也是第一次化曲为直方法的渗透，更是接触极限思想的第一次。

本节课教师确立了知识和能力并重的教学目标，教学中以“问题”为导向，引导学生通过“观察——发现——猜想——验证”等方式来开展知识的探究活动，促使学生主动探索，让学生真正成为数学学习的探索者。

l．数学知识的探索，贯穿于课堂教学的始终

著名的美国数学家和数学教育家乔治·波利亚认为，学习任何新知的最佳途径是由学生自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握内在的规律和联系。《数学课程标准》也指出：学生学习数学并非单纯的依赖模仿和记忆，数学学习的过程实质上是学生主体富有思考性的探索过程。所以，数学知识的探索轨迹，作为学生是否主动参与的标志，展现于课堂教学的全过程。在本课例中，无论“圆的周长”的引出，“圆周长意义”的理解，还是“圆周长公式”的建构都是来自于学生生活经验、亲身体验和自由表达。每个知识点的发现，都是学生自主探索的成果，而不是学生被动接受的结论。探索，作为学生学习数学的重要方式，在本节课的教学中得到了最大的体现。

2.让学生带着问题去学习，培养学生主动探索的精神

教师在本节课先创设一个问题情境，使学生感悟到：要知道圆的周长，可以直接测量，包括滚测、绳测、截断等方法，而问题“是不是所有的圆都能用刚才的方法测量它们的周长”让学生感受到直接测量圆的周长有时很麻烦，有时根本不可能，“要解决所有圆的周长问题，该怎么办”的提问促使学生去寻找解决问题的办法。大家通过猜测，提出“圆的周长可能和它的直径或半径有关，而且有倍数关系”的猜想，再通过小组合作验证猜想，发现圆周长的计算方法。在学生“兴趣点”“关键点”“新旧知识的链接点”处激疑、质疑，无疑能激起和鼓舞学生的探知、求知精神。这次课后，我深切地感受到以学生为主体的本质就是激发和唤醒学生学习的兴趣与思考。

3．注重思维方式和学习方法的引导，在探究中培养学生思维能力，渗透数学思想

“圆的周长”这节课教学是重知识还是重思维方式、学习方法？我个人认为，思维方式与学习能力的提升是更高层次的数学学习，而单一化的归纳呈现知识目标应是基于思维后的知识产物。展示学生数学思考的过程，更多的还是在培养和展现学生多维分析问题的能力。“圆的周长”是在学生已经掌握了长方形、正方形周长的基础上开展的学习，学生完全有能力自主探究这部分知识。同时，圆作为小学阶段第一个平面上的曲线图形，圆的周长计算方法的探索，对学生也存在一定的挑战性。“化曲为直”的思想、“猜测、验证”的方法都是学生研究中最常用的方法，也是最重要的方法，对研究圆的周长有效，对发现其它知识也有效。“授人以鱼，不如授人以渔。”掌握这些思想和方法并应用到其它知识的探究中，这比单纯学到知识更重要。同时，让学生在亲身经历数学知识的探究过程中发现知识、理解知识、应用知识，这样，学生获取的并非纯粹的知识本身，而是数学的态度、思想方法，更是一种探究的品质。

4．在探究操作过程中培养学生的科学精神和方法

新课程标准目标中明确指出：“让学生通过操作实践，学习科学研究方法，使学生具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。”本节课中，学生亲身经历探究的过程，从提出猜想——实践验证——分析判断——得出结论，就是科学研究的过程。在这个过程中尊重学生由于实验误差找到的“周长是直径的3倍多一些”的实验结论，就是实事求是的科学态度……学生从探究操作过程中获得了数学活动经验的同时，更收获了科学研究的方法和实事求是的科学精神。