巧转化——抽象问题不再难

河北省保定市河北安新中学 杨文增

高中数学的好多知识是很抽象的，面对课本上抽象的概念、符号、公式、定理等，学生很容易产生心理疲劳甚至心理恐惧，如果老师处理不当，就会使学生“怕数学”，甚至“烦数学”，从而使数学学习变成沉重而无奈的负担。不过，再抽象的知识也是源于现实生活的，假如在课堂上能给枯燥的数学穿上一身生动有趣的生活化外衣，就能让数学显得丰富、饱满、实用，同时还能提高学生学习数学的兴趣。

学生学习时之所以有“怕”的感觉，主要是由问题的抽象性引起的。解决与现实生活密切相关的问题时，学生几乎没有茫然的感觉，问题解决得得心应手。这样一想，解决抽象问题的重要方法之一就是将其具体化、形象化、生活化，即尽量转化为与现实生活相关的问题。遇到抽象的问题，将原题转换一下，让学生走进问题中，成为问题解决的“主人”。这样做既激发了学生的学习兴趣，又活跃了课堂气氛，还充分发挥了学生的“主体”作用。遇到抽象问题时，到底如何转化？这个问题没有固定答案，可能是让学生当“演员”来“表演”，也可能是让学生通过动手作图的方式解决，还可能是借助现实生活中的实物，更可能是其他“因题而异”的方式。

【例1】由1、2、3、4、5、6、7可以组成多少个1、2相邻且3、4相邻的数？

问题分析：如果没有附加“1、2相邻且3、4相邻”，那是最基本的排列组合问题。现在问题有了限制条件，如何解决？通过审题发现这个问题可以转化为人员排队问题：“不同的7人站成一排进行排队,要求其中的甲、乙相邻，同时丙、丁也相邻,请问一共有多少种不同的排法？”经过这样转化后，给学生的感觉就比原题具体多了，而且学生可以亲自参与到问题当中。

问题解决：安排7名学生在讲台上当众按题意进行排队，让学生亲自参与排队的目的是通过几次（哪怕是十几次）的排队试验，找到解决问题的方法。排队的同时，其他同学也都在思考解决方法，不一会儿，同学们就有了一致的看法：采用捆绑法，先将甲、乙两人看成一组组成一个整体，同时丙、丁也看成另一个整体，再同其他人进行排队，最后一组内的两人再进行排队。根据分步计数原理，可得共有种排法。

问题总结：某几个元素必须排在一起的排列组合问题,可使用上面的“捆绑法”来解决问题。但是要注意捆绑成一体的内部是否进行排列，要根据题意来决定。

【例2】设命题甲：0≤x≤3，命题乙：|x-1|≤4，则乙是甲成立的（ ）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件

问题分析：直接判断很容易出错，如果将两个命题在数轴上表示出来，将很直观。

问题解决：由一名学生先解出命题乙，再在黑板上画出数轴并表示命题甲和乙。（其他同学在草稿纸上同时进行）总结：命题成立问题涉及范围可以借助数轴直观形象地去解决。

【例3】已知关于x的方程x2+（a-1）x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围。

问题分析：这是方程的根的分布问题，仅靠记忆总结的公式和规律,很容易记错。若结合函数图象学习、理解、记忆、解决根的分布问题，就非常直观明了、印象深刻。

问题解决：首先,令f（x）=x2+（a-1）x+1。说方程两相异实根在区间[0，2]上，也就是说对应的函数f（x）的图象与x轴在区间[0,2]上有两个不同的交点。

问题总结：方程的根的问题与相应的函数图象的交点问题是相关的。数形结合是重要的解题思想。

【例4】在立体几何的教学中，遇到过这样一个问题：定理“平面内，如果一个角的两条边分别和另一个角的两条边相互垂直，那么这两个角相等或互补”，改成“如果一个二面角的两个半平面分别和另外一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面角相等或互补”，是否成立？

我曾经试图在黑板上画图解释这一问题，结果非常失败。好多同学们发现教室的门与墙壁构成的二面角和地板与教室间的隔墙构成的二面角恰好符合题意，由于门可以开合而始终保持这种垂直关系，也就是其中一个二面角可以是任意角，因此修改后的命题是不成立的。这样借助身边的实物弥补了传统教学手段的不足，同时也激发了学生学习数学的兴趣，又启发学生去积极主动发现、研究生活中的数学问题。

生活是一切知识的源泉，所以在数学教学的时候，就需要老师们积极创造条件，挖掘生活中的数学，将抽象的问题尽可能地转化为与学生实际生活贴近、实际知识有联系的问题进行解决。这能够进一步活跃课堂气氛，更能全面地调动学生的学习兴趣，同时发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

[1]周先华．高中数学核心素养之数学抽象能力的培养实践初探[J]．数理化解题研究，2017（19）．

[2]陆建．落实数学抽象素养应立足课堂、扎根教学[J]．中小学数学（高中版），2017（Z2）．

[3]杨兴军，高思霞．培育“抽象思维”素养的研究性学习[J]．中小学数学（高中版），2017（Z2）．