中职数学中最常见函数值域的几种求法

王东

【摘要】函数值域的求法是中职数学教学的一个难点，在实际的教学过程中让学生掌握一些常见的值域求解方法，他们反复练习、灵活掌握，就能对中职学生值域的求法起到清晰思路、简化运算过程、避繁就简、事半功倍的作用，也对激发中职学生学习数学兴趣，提高中职学生数学素养起到积极作用.

【关键词】值域；单调性分离系数；换元；数学思想；数学兴趣

我们知道，在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用.确定函数的值域是中职数学学习函数不可缺少的重要环节，是一个难点.

对于如何求函数的值域，是中职学生感到十分难做的数学问题，它不但所涉及的知识面广、涉猎的知识内容多，而且应用的方法灵活多样.若在具体教学过程中，有意识的给学生归结总结一些常见的求值域方法，让他们反复练习、灵活掌握，就能对中职学生值域的求法起到清晰思路、简化运算过程、避繁就简、事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下几种常用方法，在课题上专题讲给学生，使他们掌握收到了一定的效果：

一、观察法

观察法是对所研究的数学对象或待解的数学问题，就其本身的结构形式（数、式、形），通过视觉获得信息，从而发现它们的性质和关系的一种方法，是数学思维的基本方法.我们首先通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域的方法叫观察法.

点评 根据我们大家已经熟悉的算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）整体值的非负性.求出变量x的取值范围，通过直接观察算术平方根的二重性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法简捷明了，不失为一种巧法.

四、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

换元法是对结构较为复杂，量与量关系不十分明确的式子，通过恰当的引入新的变量，以新变量代替函数式中的某些量，使原函数转化为以新变量为自变量的我们较为熟悉函数的形式，进而求出原函数的值域.

点评 将一些无理函数通过换元，化为常见的一次、二次函数，再根据它们的单调性求出它们的值域，从而确定出原函数的值域.

值域的求法方法很多，中职学生掌握一些常用的方法，不但可以解决基本的数学求值域问题，而且对自身数学素养的提高有很大帮助.通过这样系统化归、分类、转换的数学方法练习，让学生感受对应数學思想的妙处，提升数学兴趣有很大的积极作用.