渐进一致φ-伪压缩型映象不动点的迭代逼近

隆建军

1 引言及预备知识

近些年，Mann迭代序列和Ishikawa迭代序列的迭代逼近已被许多学者研究[1-6]，利用其解决了许多类非线性算子方程解的问题.本文在赋范空间中分析了渐进一致φ-压缩型映象的Ishikawa及Mann迭代序列的收敛性及强收敛于渐进一致φ-压缩型映象不动点的条件.本文结果推广了现有文献[1,7,8,9,10,11]中的结果.

设X是一个实赋范线性空间，X*是X的对偶空间，<●，●>表示X*与X间的广义对偶对，映象J:X→2X*是由下式定义的正规对偶映象：

定义1设D是X的一个非空子集，T:D→D是一个映象，φ：[0,+∞）→[0,+∞）是一严格增加的函数，满足 φ（0）=0.

（4）T称为渐进一致φ-伪压缩：

定义2设D是X的一个非空子集，T：D→D称为一致L-Lipschitz映象：

引理 1［12］设 X 是一个实赋范空间,是正规对偶映象，则有

2 主要结论及其证明

定理1设D是赋范空间X的一个非空凸子集，T:D→D是渐进一致φ-伪压缩的一致L-Lipschitz映象，则

(1)若q∈D是T的任一不动点，则q=x*，从而T至多只有一个不动点；

(2)若T(D)是X中的有界集，且Аx0∈D，Ishikawa迭代序列｛xn｝定义如下：

其中｛αn｝，｛βn｝是[0,1]中的实数列，｛mn｝，｛kn｝是任意两个正整数列，且满足以下条件：

则｛xn｝强收敛于T的不动点x*，特别地，若q∈D是T的不动点，则

又由j是正规对偶映象，所以=‖q-x*‖2，故

即 φ（‖q-x*‖）＜（rn-1）‖q-x*‖2,n＞1

令n→∞，则有φ（‖q-x*‖）＜0，再由φ的性质即得q=x*.

由于T（D）是X中的有界集，我们定义

下证

事实上当n＝0时，有

设当n＝k-1,k＞1时，结论成立，则当n＝k时，有

故由归纳法原理知，(2.2)式对一切n＞0都成立.

另外，由引理1、(2.1)、(2.2)及是一致L-Lipschitz映象可得，

由(2.2)知｛xn｝有界，再由 T（D）有界及条件(Ⅱ)可得

将(2.4)代入(2.3)中可得

即有

由 αn→0，rmn→0（n→0）知，∈N+当 n＞n0时，1-2αnrmn＞0，于是当 n＞n0时，有

其中 σn=2αn（rmn-1）M2+2dn→0（n→∞）.

设 δ=inf｛‖xn+1-x*‖：n＞0｝，则 δ＞0，下证 δ=0

假设δ＞0，则‖xn+1-x*‖＞δ，Аn＞0，从φ的严格增加性质可得

于是由(2.5)式，有

又由 σn→0（n→∞），所以 n＞n0，使得 σn＜φ（δ），n＞N，于是从(2.6)，可得

即 αnφ（δ）＜‖xn-x*‖2-‖xn+1-x*‖2，＞N.对此式求和得

此与(Ⅲ)相矛盾，故必有 δ=0，即 δ=inf｛‖xn+1-x*‖：n＞0｝=0.因此

事实上，由(2.7)知i=1时，结论成立，对于i=2时，假设‖xnj+2-x*‖＞ε，则由φ的严格增加性可得‖xnj+2-x*‖＞φ（ε）＞0，从而由(2.5)和(2.7)有

此与假设‖xnj+1-x*‖＞ε相矛盾，故必有‖xnj+2-x*‖＜ε，由数学归纳法，可证得(2.8)式对一切i＞0成立，由ε＞0的任意性，有至此定理得证.

定理2设D是赋范空间X的一个非空凸子集，T:D→D是渐进一致φ-伪压缩的一致L-Lipschitz映象，则

(1)若q∈D是T的任一不动点，则q=x*，从而T至多只有一个不动点；

(2)若T（D）是X中的有界集，且Аx0∈D,Mann迭代序列｛xn｝定义如下：

其中｛αn｝是[0，1]中的实数列，｛mn｝是任意正整数序列，且满足以下条件：

则｛xn｝强收敛于T的不动点x*，特别地，若q∈D是T的不动点，则

证明：在定理1中，令 βn=0（n＞0），即得定理2.

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