一类新的有序分数阶q-差分系统边值问题解的存在性
2018-03-27范成涛
范成涛, 林 爽, 葛 琦
(延边大学 理学院, 吉林 延吉 133002)
0 引 言
q-差分微积分在工程数学、 数学物理模型、 动力系统、 量子物理和经济学等领域应用广泛. 例如, Ernst[1-2]将q-差分理论应用于股票收益率等问题中. 目前, 关于分数阶q-差分方程边值问题的研究已取得很多成果[3-12]. 本文考虑如下分数阶q-差分系统:
(1)
其中: 2<α,β≤3; 0
1 预备知识
定义1[11-12]Riemann-Liouville型分数阶q-积分定义为
Riemann-Liouville型分数阶q-导数定义为
其中:f(t)是定义在[0,1]上的函数;m是不小于α的最小整数. Caputo型分数阶q-导数定义为
定义2[13]设M是含有非负元素的方阵, 如果Mk→0(k→∞), 则称方阵M收敛于零矩阵.
定义3[11,14]标准q-指数函数定义为
性质1[11-12]设α≥0,I是包含原点的实区间, 且a,b∈I,f(t),g(t)是定义在I到上的函数, 则：
2) [a(t-s)](α)=aα(t-s)(α),tDq(t-s)(α)=[α]q(t-s)(α-1)；
3) (Dqfg)(t)=(Dqf)(t)g(t)+f(qt)(Dqg)(t)；
这里iDq表示与变量i有关的q-导数.
性质4[15]设α∈+,λ∈(-1,∞), 则
性质5[15]设α∈+ , 则
引理1[13]设M是一个非负方阵, 则下列条件等价：
1) 矩阵M收敛于零矩阵；
2)I-M是非奇异的, 且(I-M)-1=I+M+M2+…(I表示与矩阵M阶数相同的单位矩阵)；
3) 对任意λ∈, |λ|<1, 且特征值M-λI=0；
4)I-M是非奇异的, 且(I-M)-1具有非负元素.
引理2[13]设(X,d)是一个完备广义度量空间,T:X→X是带有Lipschitz矩阵M的压缩算子, 则T在X内存在唯一的不动点u, 且对u0∈X, 有
d(Tk(u0),u)≤Mk(I-M)-1d(u0,T(u0)), ∀k∈.
引理3[13]设K是Banach空间E的有界凸闭集, 而T:K→K是全连续的, 则存在x*∈K, 使得Tx*=x*.
2 主要结果
定理1设h∈C[0,1], 则分数阶q-差分方程
(2)
有唯一解
其中
证明: 设u(t)是问题(2)的解. 根据性质3和定义1, 可得
又由性质2, 可得
从而由式(2)有
(4)
因此
(5)
(6)
(7)
由u(0)=u(1),Dqu(0)=Dqu(1)及式(6),(7), 可得
将e0,e1代入式(7), 可得
由式(6)和Dqu(ξ)+ku(ξ)=M, 可得
将d2代入式(8), 可得
于是
证毕.
则(W,d)是一个完备的广义度量空间. 根据定理1, 定义算子F:W→W如下:
F(u,v)(t)=(F1(u,v)(t),F2(u,v)(t)),
(9)
其中:
这里Lf,Lg分别表示为
为方便, 记
本文给出下列假设条件:
(H1) 存在正实数Mi,Ni, 使得对∀t∈[0,1], ∀ui,vi∈,i=1,2, 有
M1θ1+N1θ2<1,M2θ1+N2θ2<1.
(H3) 存在正实数mi,ni(i=0,1,2), 使得对∀t∈[0,1]及∀u,v∈, 有
|f(t,u,v)|≤m0+m1|u|+m2|v|, |g(t,u,v)|≤n0+n1|u|+n2|v|.
m1θ1+n1θ2<1,m2θ1+n2θ2<1.
(H5) 存在0<λ1,λ2,ρ1,ρ2<1和正实数mi,ni(i=0,1,2), 使得对∀t∈[0,1]及∀uj,vj∈(j=1,2), 有
定理2假设条件(H1)和(H2)成立, 则边值问题(1)有唯一解.
证明: 首先证明算子F是一个广义压缩算子[13]. 即对∀(u1,v1),(u2,v2)∈W且任意收敛于零矩阵的矩阵A, 有‖F(u1,v1)-F(u2,v2)‖≤A‖(u1,v1)-(u2,v2)‖. 则对∀(u1,v1),(u2,v2)∈W, 有
同理可得
因此
将式(10)和式(11)写为
则有‖F(u1,v1)-F(u2,v2)‖≤A‖(u1,v1)-(u2,v2)‖. 由引理1和条件(H2)知, 矩阵A收敛于零矩阵. 综上, 对∀(u1,v1),(u2,v2)∈W, 由引理2知问题(1)有唯一解.
定理3假设条件(H3)和(H4)成立, 则问题(1)至少有一个解.
证明: 定义集合W1={(u,v)∈W： ‖u‖≤p1, ‖v‖≤p2}, 显然W1是W的有界凸闭集, 其中p1,p2是任意正实数. 首先证明F(W1)⊂W1. 事实上, 对∀(u,v)∈W1, 有
同理可得
因此
‖F1(u,v)‖≤m1θ1‖u‖+m2θ1‖v‖+m0θ1+|M|/k,
(12)
‖F2(u,v)‖≤n1θ2‖u‖+n2θ2‖v‖+n0θ2+|N|/k.
(13)
由式(12)和式(13)得
(14)
下面证明存在两个正数r1,r2, 使得当‖u‖≤r1,‖v‖≤r2时, 有‖F1(u,v)‖≤r1, ‖F2(u,v)‖≤r2成立. 因此, 只需证当‖u‖≤r1, ‖v‖≤r2时, 不等式
(15)
成立即可. 由引理1和条件(H4)可知, 矩阵A1收敛于零矩阵, 故矩阵I-A1可逆, 且(I-A1)-1中的元素均为非负元素. 因此存在两个正数r1,r2, 满足
故式(15)成立, 即∀(u,v)∈W1={(u,v)∈W： ‖u‖≤p1, ‖v‖≤p2}, 有‖F1(u,v)‖≤p1, ‖F2(u,v)‖≤p2成立. 于是F(W1)⊂W1.
其次证明算子F:W1→W1是完全连续的. 根据上述证明知, 算子F是连续且一致有界的, 故只需证F(W1)是等度连续的. 对∀t1,t2∈[0,1], 且t1 定理4假设条件(H5)成立, 则边值问题(1)至少存在一个解. 证明: 定义W2={(u,v)∈W： ‖u‖≤R, ‖v‖≤R}, 这里 显然W2是W的有界凸闭子集, 只需证F(W2)⊂W2即可. 事实上, 对∀(u,v)∈W2, 有 同理可得|F2(u,v)(t)|≤(n0+n1Rρ1+n2Rρ2)θ2+|N|/k≤R. 因此‖F1(u,v)‖≤R,‖F2(u,v)‖≤R, 于是F(W2)⊂W2. 类似定理3的证明, 易证算子F:W2→W2是全连续的. 根据引理3可知问题(1)至少有一个解. 推论1若条件(H5)中λ1,λ2,ρ1,ρ2>1, 其余条件不变, 则问题(1)至少有一个解. 证明: 只需取 类似定理4的证明, 可知问题(1)有唯一解. 例1考虑方程 则 参考文献 [1] Ernst T.q-Bernoulli andq-Euler Polynomials, an Umbral Approach [J]. Inter J Differ Equ, 2006, 1(1): 31-80. [2] Ernst T.q-Pascal andq-Bernoulli Matrices, an Umbral Approach [J]. Adv Dyn Syst Appl, 2008, 3(2): 251-282. [3] Jackson F H. Onq-Definite Integrals [J]. Quart J Pure Appl Math, 1910, 41: 193-203. [4] Al-Salam W A. Some Fractionalq-Integrals andq-Derivatives [J]. Proc Edinb Math Soc, 1966, 15(2): 135-140. [5] Agarwal R P. Certain Fractionalq-Integrals andq-Derivatives [J]. Proc Cambridge Philos Soc, 1969, 66(2): 365-370. [6] LI Yanfeng, YANG Wengui. Monotone Iterative Method for Nonlinear Fractionalq-Difference Equations with Integral Boundary Conditions [J/OL]. Adv Differ Equ, 2015-09-17. https://doi.org/10.1186/s13662-015-0630-4. [7] Sitthiwirattham T. On Nonlocal Fractionalq-Integral Boundary Value Problems of Fractionalq-Difference and Fractionalq-Integrodifference Equations Involving Different Numbers of Order andq[J/OL]. Bound Value Prob, 2016-01-13. https://doi.org/10.1186/s13661-016-0522-x. [8] WANG Wengui. Positive Solutions for Three-Point Boundary Value Problem of Nonlinear Fractionalq-Difference Equation [J]. Kyungpook Math J, 2016, 56(2): 419-430. [9] MA Kuikui, SUN Shurong, HAN Zhenlai. Existence of Solutions of Boundary Value Problems for Singular Fractionalq-Difference Equations [J]. J Appl Math Comput, 2017, 54(1/2): 23-40. [10] ZHAI Chengbo, REN Jing. Positive and Negative Solutions of a Boundary Value Problem for a Fractionalq-Difference Equation [J/OL]. Adv Differ Equ, 2017-03-20. https://doi.org/10.1186/s13662-017-1138-x. [11] 葛琦, 侯成敏. 一类有序分数阶q-差分方程解的存在性 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(3): 377-382. (GE Qi, HOU Chengmin. Existence of Solutions for a Class of Sequential Fractionalq-Differences Equation [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(3): 377-382.) [12] Almeida R, Martins N. Existence Results for Fractionalq-Difference Equations of Orderα∈]2,3[ with Three-Point Boundary Conditions [J]. Commun Nonlin Sci Numer Simul, 2014, 19(6): 1675-1685. [13] Nica O. Existence Results for Second Order Three-Point Boundary Value Problems [J]. Differ Equ Appl, 2012, 4(4): 547-570. [15] ZHAO Yulin, CHEN Haibo, ZHANG Qiming. Existence Results for Fractionalq-Difference Equations with Nonlocalq-Integral Boundary Conditions [J/OL]. Adv Differ Equ, 2013-03-04. http://www.advanceindifferenceequations.com/content/2013/1/48.
3 应用实例
