从数学史上的三大悖论看悖论的驱动功能

邹世龙

一切事物都是在矛盾中生存、矛盾中发展的，数学的发展也离不开这样的规律；数学史上三大悖论对数学发展的驱动也印证了这一点。

一、毕达哥拉斯悖论

1. 毕达哥拉斯悖论

不管度量单位取得多么小，都不可能成为正方形的边与对角线的共同度量单位。也就是说，正方形的边和对角线不可公度；这与毕达哥拉斯学派关于任何两条线段都可公度的理论构成了一个悖论。

2. 受毕达哥拉斯悖论驱动的数学成果

（1）发现了无理数，催生了相关的数学方法。

产生了一个新的数类——实数；更重要的是，人们在证明无理数存在和探索无理数性质的过程中得到了多种重要的数学方法。如，辗转相截的方法、反证法、分析法、欧几里得奇偶数证法等等。

（2） 形成了以逻辑演义为代表的一系列数学思想。

毕达哥拉斯悖论使人们认识到，直觉、经验乃至实验都不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。如柏拉图强调要把数学奠基于逻辑之上。亚里士多德的经典著作《工具论》把逻辑规律典范化、系统化，阐述了逻辑学理论，创立了古典逻辑学。

（3）催生欧几里得《几何原本》。

欧几里得在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成一座几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。《几何原本》的产生离不开亚里士多德的逻辑思想，而亚里士多德的逻辑思想源自柏拉图推理论证的思想，柏拉图推理论证的思想则是在毕达哥拉斯悖论的驱动下产生的。

二、贝克莱悖论

1.贝克莱悖论

贝克莱分析了牛顿求xn的流数的方法。在这一方法中，为了求xn的流数，牛顿假设在相同的时间内，x通过流动变化为x+0，同时xn变化为（x+0）n……，在得到增量0与增量n0xn-1+n2-n202xn-2+…之比等于1和nxn-1+n（n-1）2xn-20+…之比后，牛顿令增量等于0，得到最后的比等于1：nxn-1.

贝克莱指出这个推理中先取一个非零的增量0并用它计算，然而在最终却又让0“消失”，即令增量为零得出结果，这里关于0的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。

2. 受贝克莱悖论驱动产生的主要成果

（1）麦克劳林完成了《流数论》。

在贝克莱悖论的驱动下，英国数学家麦克劳林率先给出了最重要的回应。为维护牛顿的流数术，麦克劳林完成了《流数论》。

（2） 拉格朗日的《解析函数论》。

拉格朗日试图通过摆脱使用无穷小量、流数、零，甚至极限来解决贝克莱悖论。在这方面的研究体现在他的重要著作《解析函数论：包含微积分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限和流数等概念，而归结为有限量的代数分析艺术》中。

（3）柯西确立了以极限论为基础的现代数学分析体系。

他从极限定义出发，确立了以极限论为基础的现代数学分析体系，成为这项伟大工程的开拓者与集大成者。

（4）魏尔斯特拉斯以ε-δ语言系统建立了分析的严谨基础。

对于柯西“一个变量无限趋于一个极限”的说法，魏尔斯特拉斯认为会使人们想起时间和运动；为消除这种描述性语言带来的不确定性，他给出著名的“ε-N（ε-δ）”定义，使极限和连续性摆脱了对几何和运动的依赖，给出了只建立在数与函数概念上的清晰定义，从而使一个模糊不清的动态描述，变成一个严密叙述的静态观念，这是变量数学史上的一次重大创新，也是源于解决克莱悖论的成果。

三、罗素悖论

1. 罗素悖论

构造一个集合S：S是由一切不是自身元素的集合所组成。那么S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但是，对于这个看似合理的问题的回答却会陷入两难的境地：如果S属于S，根据S的定义（S包含所有不属于自身的集合），S就不属于S。反之，如果S不属于S，同样根据定义（S包含所有不属于自身的集合），S就属于S。无论如何都是矛盾的。

2. 罗素悖论驱动下的数学基础研究

（1）公理集合论。

1908年，策梅洛发表著名论文《关于集合论基础的研究》，建立了第一个集合论公理体系，用集合论公理化的方法消除罗素悖论。

（2） 三大学派的数学基础研究。

以罗素为代表的逻辑主义。

以布劳威尔为代表的直觉主义。

以希尔伯特为代表的形式主义。

（3）哥德爾的发现。

哥德尔证明了：任何一个足以包含自然数算术的形式系统，如果它是相容的，则它必定存在一个不可判定的命题，即存在某一命题S，使S与S的否定在这系统中都不可证。这一结论被称为哥德尔第一不完全性定理。

作为第一不完全性定理的自然延续和深化，哥德尔第二不完全性定理表明的是：如果一个足以包含自然数算术的公理系统是无矛盾的，那么这种无矛盾性在该系统内是不可证明的。

哥德尔的第一不完全性定理提出后，人们清楚的意识到：虽然可证的是真，但真的却并不一定可证；因此，就最本质的意义上说，哥德尔定理所做的无非是永远击碎了真与证明同一的信念。简单地说，“真”大于“证明”。

不可否认，三大悖论尤其是毕达哥拉斯悖论也曾给数学的发展带来过负面影响，但这丝毫不影响其正面驱动的成就，并且之后的悖论负面影响大大减小，这是经验的力量。

【注：本文系甘肃省教育科学“十三五”规划课题《悖论的驱动功能与新课程理念下数学教学策略中的悖论驱动研究》的研究成果，课题立项号GS[2017]GHB3312】

（作者单位：张掖市山丹县第一中学）