反比例函数的图象是双曲线的证明

李俊平 赵生初

摘 要：教师在课堂上有目的地培养学生的问题意识，首先需要结合教材内容为学生准备一些具备探索价值、学生愿意思考且经过一定努力可以获得实效的问题。教师处于课堂教学的主导地位主要就表现在善于根據学情灵活追问，引导学生自觉运用已有认知解决新问题，从而获得新知识。这个过程中学生核心素养的发展就能得到自然落实。

关键词：旋转变换；反比例函数；双曲线

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）02-0041-03

教师在课堂上有目的地培养学生的问题意识，首先需要结合教材内容为学生准备一些具备探索价值、学生愿意思考且经过一定努力可以获得实效的问题。教师处于课堂教学的主导地位主要就表现在善于根据学情灵活追问，引导学生自觉运用已有认知解决新问题，从而获得新知识。这个过程中学生核心素养的发展就能得到自然落实。

一、提出问题

初中要求学生记住反比例函数y=（其中k≠0）的图象就是“双曲线”，但它的表示与高中所学的双曲线标准方程-=1或-=1在形式上有很大差别.为什么形状相似的图形之间，解析式却相差如此之大呢？这是一个能够引起学生认知冲突，引发其深入思考的解析几何问题，且就高中生的知识储备程度和能力培养水平来说这个问题他们完全可以自主解决。因此，“反比例函数图像性质的验证”是一个值得教师在课堂上投入时间，引导学生展开探究拓展活动的好题材。

二、分析问题

（一）直观猜想

图1-a、图1-b分别是k=1和k=-1时反比例函数y=的图像，如果反比例函数的图象是双曲线的话，从图1-a和1-b来看，它们只可能是渐近线互相垂直的“等轴双曲线”；图2-a、图2-b是当a=b=时等轴双曲线-=1和-=1的图象.从上述四个图象直观推测，图1-a和图2-a及图1-b和l图2-b的图象可经由围绕原点O旋转45°来实现二者之间的相互重合。如果此猜想正确，可知过去为学生所“熟悉”的反比例函数y=图象是双曲线，且它的很多数学性质都可以用新学的解析几何知识来重新解读。

（二）探究与论证

1.寻求理论支持

依据初中数学中有关图形旋转的知识，可知一个图形从一个位置绕某点旋转一定角度后所得到的新图形与原图形在形状、大小上均保持不变。即经旋转变换，双曲线依然是双曲线；不仅保持双曲线的形状不变，而且还使得旋转前后双曲线的实轴长、虚轴长、焦距等几何量也保持不变。

2.观察客观规律

猜想的证明是问题分析阶段的核心，即保证每一个个案都能在猜想中得到验证。为此，教师可以引导学生先讨论平面直角坐标系xOy下任意一点P（x，y）绕原点O逆时针旋转θ到P′（x′，y′）后（如图3），两点的横纵坐标之间的变化规律。

根据旋转变换的性质有|OP′|=|OP|，另一方面若设OP与x轴之间的夹角为φ，不仅有x=|OP|cosφ、y=|OP|sinφ，而且还有x′=|OP′|cos（θ+φ）=|OP′|（cosθcosφ-sinθsinφ）=xcosθ-ysinθ、y′=|OP′|sin（θ+φ）= |OP′|（sinθcosφ+cosθsinφ）=xsinθ+ycosθ.即，P（x，y）绕原点O逆时针旋转θ到P′（x′，y′）后前面两点的横纵坐标之间的变化规律是x′=xcosθ-ysinθy′=xsinθ+ycosθ.

（三）论证具体问题

借助上述坐标变换公式来讨论图1-a的图象如何旋转变为图2-a中的图象。从反比例图形的“渐近线”直观看，图1-a的图象绕原点顺时针旋转45°或-rad后也可以和图2-a中的图象重合；图2-a中的图象绕原点逆时针旋转45°或rad后也可以和图2-a中的图象重合。

当θ=-45°或-rad 时，

有x′=xcos（-）-ysin（-）y′=xsin（-）-ycos（-），

即x′=（x+y）y′=（-x+y）；

进而在此基础上可得x=（x′-y′）y=（x′+y′）.

若点P（x，y）是y=的图象上的点，则xy=1，即[（x′-y′）]·[（x′+y′）]=1，

展开可得-=1.

这就可以印证y=的图象的任意点P（x，y）绕原点O顺时针旋转45°或-rad后的对应点P′（x′，y′）正好在双曲线-=1的图象上，故y=的图象绕原点O顺时针旋转45°或-rad后都在双曲线-=1的图象上.反之，双曲线-=1绕原点O逆时针旋转45°或rad后所得到的图象也都落在函数y=的图象上.而顺时针、逆时针旋转45°互为相反映射，所以两个图形的点是一一对应的。综上所述， y=的图象就是由双曲线-=1旋转得到的.

一般地，当k>0时，反比例函数y=的图象绕原点O顺时针旋转45°或-rad后所对应的是双曲线-=1的图象；当k<0时，反比例函数y=图象绕原点O顺时针旋转45°或-rad后所对应的是双曲线-=1的图象.

三、解决问题

经过孩子们的努力，问题获得了圆满解决。深度探究不仅能调动学生求知的欲望，而且也能调动学生通过自身努力去寻找问题解决的策略或方法的积极性；深度探究不仅能进一步丰富了学生的数学活动经验，而且也能较好地促进学生的创新意识或创新能力的发展，增强学生运用数学方法或数学知识解决数学问题的能力，值得倡导，值得实践。这也说明深度探究不仅可能，而且可行。