齐次化思想在解题中的应用探索

蓝云波 张刚

摘 要：齐次化是数学解题的重要方法，通过在教学中对齐次化方法的深入探究，引导学生挖掘出齐次化的本质其实就是化两元为一元，减少代数字母数量，从而使齐次化方法上升为一类解题思路。这种转化思路在解决三角函数问题、求取值范围问题、解析几何问题、证明不等式、证明数列不等式、函数综合问题等方面都可以得到广泛的应用。教师应当通过设置不同角度的问题引领学生自主探究，促进学生理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向，将数学运算这个学科素养的发展落到实处。

关键词：齐次化；优化解题；解题思想；学科素养

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）02-0009-05

齐次式各项的次数相同，因而具有对称美和结构美的特征，这使得运算的处理往往会更容易、更简洁、更容易发现规律。同时，对于一些涉及非齐次式的数学问题，如果学生能够结合题设条件，将其转化为齐次式问题来处理，则往往能化繁为简，优化解题过程，起到事半功倍的效果。齐次化方法的本质是消参思想，齐次化运算步骤是各类考试中普遍热点，是对学生数学运算这个学科素养的具体考察——要求学生“理解运算对象”，合理构造满足题干条件的算式；“掌握运算法则”，能够正确运用所学的数学概念、公式、定理；“探究运算方向”——消除待求算式中与题干无关的参数。笔者以近年来的各类试题为例，包括三角函数、代数式取值范围、解析几何、证明代数不等式、证明数列不等式、函数与导数等方面的齐次化解法，供广大一线数学教师作为授课参考。

一、三角函数问题

考点是源于教材，如人教A版必修④第一章《三角函数》中的一道习题：已tanα=2知，求的值.解题思路是将该分式转化为只关于tanα的式子。以下这道高考试题就可以看作本例题的一个变式。

【例1】（2015年高考广东卷）已知tanα=2.

（1）求tanα+的值；

（2）求的值.

【解析】（1）tanα+=-3（略）；

（2）

=

=

=

===1

【点评】本题的第二问表面上不是齐次式，但在通過化简和变形后，可化为一个关于cosα的二次齐次式。所用到的思想方法和课本上的习题如出一辙。这体现出高考源于课本而高于课本的命题原则。齐次化的目标是化多变量为单变量，如例1本来同时含有sinα，cosα，但在通过分子和分母同除以cosα之后，便转化成只含有tanα的式子。

二、求取值范围

关于求解在某个条件下代数式的取值范围或最值的问题，此时教师需要引导学生把所求的代数式设为一个参变量，通过适当的运算代入已知条件中，并设法实现齐次化。

【例2】（2016年河北省高中数学竞赛）实数x，y满足x2+y2+xy=3，则x2+y2的取值范围是 .

【解析】设S=x2+y2，则=1，

故x2+y2+xy=3·，

整理得（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0.

①当x=0时，由x2+y2+xy=3，得y2=3

此时S=x2+y2=3.

②当x≠0时，且S≠3时，

方程（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0，

可化为（S-3）2+S·+（S-3）=0.视此式为关于的一元二次方程，

则有△=S2-4（S-3）2≥0，即S2-8S+12≤0，结合S≠3，可解得2≤S≤6且S≠3.

由①②知2≤S≤6，故x2+y2的取值范围是[2，6].

【点评】取值范围问题的常见解法是利用基本不等式进行求解，技巧性较强。本题的关键是通过把=1代入已知条件并实现齐次化，然后利用整体思想将原题转化为关于的一元二次方程有解问题，使问题的思路清晰，直接套用公式求取答案。

三、解析几何问题

众所周知，在各类考试中，解析几何解答题通常以运算量大著称，解题的最核心的方法是设而不求，在涉及直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，常见的做法是曲线方程组进行消元。然而笔者发现，构造齐次式是解答解析几何题的一大利器，具有一定的通性通法，视角独特，令人耳目一新！由椭圆与双曲线的离心率公式e=可知，若能在解题中，设法构建出关于a，c的n次齐次式，然后再同除以an，离心率问题便能快速实现问题的解决。

【例3】（2016年甘肃高中数学联赛）双曲线-=1（a>1，b>0）的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥c，则双曲线离心率e的取值范围是 .

【解析】 依题意可设直线l的方程为

+=1，即bx+ay-ab=0.

所以点（1，0）到直线l的距离

d1=，又因为a>1，

所以d1=.

又因为点到直线的距离.

所以s=d1+d2=+

==.

由s≥c得≥c，即5ab≥2c2，

所以5a≥2c2，

所以25a2（c2-a2）≥4c4，

即4c4-25a2c2+25a4≤0，

所以4·4-25·2+25≤0，

即4e4-25e2+25≤0，解得≤e≤5，

又e>1，所以≤e≤。即双曲线离心率的取值范围是[，].

【点评】本题是经典的可通过构造齐次式解决的离心率问题，通过消去b，并构建不等式，得到一个关于a，c的四次齐次式，然后同除以a4，转化为单变量问题，问题便迎刃而解.

【例4】（2015年广东省高中数学联赛）设抛物线y2=2px（p>0）上有两个动点A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2）（y2<0）.

（1）设直线AB的连线与x轴交于C，抛物线在A、B的切线的焦点坐标D（x3，y3），证明：OD+x3=0，其中为O坐标原点；

（2）若OA⊥OB，求线段AB的中点的轨迹方程.

【解析】（1）略；

（2）设AB中点为M（x0，y0），直线AB方程为mx+ny=1，联立y2=2pxmx+ny=1.

齐次化可得y2=2px（mx+ny），

即2-2mp-2mp=0。

由韦达定理可得·=-2mp，又·=-1，

所以-2mp=-1，即m=.

所以直线AB恒过定点（2p，0）.

以下对直线AB的斜率分两种情形讨论：

①若直线AB的斜率存在，

则kAB===；

又因为kBM=，且kAB=kBM，

所以=，即y=p（x0-2p）；

②若直线AB斜率不存在，此时M的坐标为（2p，0），它显然满足y=p（x0-2p）；综上所述，AB中点轨迹方程为y2=p（x-2p）.

【点评】本题通过使用齐次化思想，可以大幅减低运算量，提高解题效率。

四、证明不等式

不等式的证明是高中数学竞赛的重要考点，具有举足轻重的地位。由于其方法繁多，技巧性极强，因此通常难度较大。在不等式的证明方法中，齐次化是一种较为重要的方法，通过齐次化处理，使得不等式更对称、更完美，使得问题的难度降低，从而有利于求解。

【例5】（2014年全国高中数学联赛二试）设实数a，b，c满足a+b+c=1，abc>0。

求证：ab+bc+ca<+.

【证明】不妨设a≥b≥c.

（1）若c>0，因为a+b+c=1，故（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，原不等式等价于ab+bc+ca<+，即等价于的齐次式：2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）<

2.

若2（ab+bc+ca）≤（a2+b2+c2），原不等式显然成立；

若2（ab+bc+ca）>（a2+b2+c2），兩边平方后等价于∑a4+6∑a2b2<4∑（a3b+ab3）.

注意到

2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）·

（a2+b2+c2）-（ab+bc+ca）=

3∑（a3b+ab3）-4∑a2b2-abc（a+b+c）-∑a4≥0

故有4∑（a3b+ab3）>∑（a3b+ab3）+∑a4+4∑a2b2≥∑a4+6∑a2b2，故原不等式成立.

（2）若c<0，则b<0，a>0，

ab+bc+ca≤a（b+c）+

=（b+c）<0<+.

综上，原不等式得证.

【点评】本题的难点在于c>0时的证明，本文给出的解法的关键是通过a+b+c=1这个条件，并通过平方之后，从而使得所要证明的不等式化为一个四次齐次式从而使问题的方向更明确，并最终实现问题的圆满解决.

五、证明数列不等式

前面所举的例题都是都过化为完全齐次式使问题得到巧妙的解决的。事实上，对于某些不能完全化为齐次式的问题，也可以利用相关的思想方法使问题得到完美的解决。这类问题，由于式子中只是部分齐次的，故可以称之为部分齐次问题。这样，可以使齐次化方法得到更为广泛的应用，在指导学生备考阶段有助于其拓展视野。以下是一道具有独特处理方法的经典考题。

【例6】（2011年高考广东卷理科）设b>0，

数列an满足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求数列an的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1.

【解析】（1）an=2，b≠2b≠2略；

（2）若b=2，显然成立；

若b≠2，要证an≤+1，

即证≤+1，

即≤n+1+1.

令x=，不等式转化为≤xn+1+1，

若x>1，不等式可化为

f（x）=x2n+1-（2n+1）xn+1+（2n+1）xn-1≥0（*）

注意到f（1）=0，

而f′（x）=（2n+1）x2n-（2n+1）（n+1）xn+n（2n+1）xn-1

=xn-1（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1）

令g（x）

=（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1），

且g（1）=0，

g′（x）=（2n+1）（n+1）xn-（2n+1）（n+1）>0，

故g（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以g（x）>g（1）=0，

故f′（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以f（x）>f（1）=0，所以（*）得证；

若0

综上，对于一切正整数n，an≤+1.

【点评】本题官方给出的答案是利用试卷中给出的一个参考公式进行解答的，事实上，不用这个参考公式同样可以使问题得到解决。本题中，虽然不能化为完全的齐次式，但是通过观察发现，在≤+1中，，虽然不是齐次式，但是却是齐次式，故可顺手推舟，转化为用n表示，从而实现问题维度的降低，最后再通过导数转化为一个简单的不等式的证明.

六、函数综合问题

近几年，随着高考命题工作的不断探索，函数与导数的问题兴起了双变量问题。对于这类问题，虽然也不能化为完全齐次式，但是却同样可化为部分齐次问题。

【例7】（2016年湖南省高中数学联赛）已知函数f（x）=xlnx-mx2-x，m∈R.

（1）当m=-2时，求函数f（x）的所有零点；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1e2.

【解析】（1）略；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，

则导函数f′（x）有两个零点x1，x2.

由f′（x）=1nx-mx，

可知1nx1-mx1=01nx2-mx2=0要证x1x2>e2，

即证明1nx1+1nx2>2.

由1nx1-mx1=01nx2-mx2=0得m=，

m=.

所以=，

即1nx1+1nx2=.

故只需证>2，

因为x1

即证1n-<0，设t=，则0

故只需证1nt-<0（0

设g（t）=1nt-（0

故只需证g（t）<0.

因为g′（t）=-=>0。

所以g（t）在（0，1）上单调递增，

所以g（t）e2得证.

【点评】本题以重要不等式——对数平均不等式为背景，考查了导数在研究函数中的综合运用，解题的关键在于对通过等价转化后，雙变量的处理，解答过程使用了消元思想，解题的关键把>2化为1nx1-1nx2<，右边局部是一个一次齐次式，在通过化为用表示的不等式后，要构造的函数便呼之欲出.需要注意的是，在近几年的各类考试中，以对数平均不等式为背景的试题屡见不鲜，且常考常新，应引起足够的重视。

通过以上的案例可以说明，齐次化是源于课本的一种非常重要的数学方法。齐次化的本质就是通过代数变形，减少字母量，以此降低解题的维度。将齐次化仅仅作为一种解题策略实施教学是不够的，应当使其升华成发展数学学科素养的手段，并指导学生更为高效地解决数学问题。

教师在平时的备课中，要重视对课本的理解和挖掘，并从中找出体现数学思想，并引导学生在实践中运用。对重要的数学思想，教师还应使其从不同角度呈现出来，提高知识系统与数学思想的整合性，以达到提高学生数学素养的目的。

参考文献：

[1]刘绍学.普通高中课程标准试验教科书A版-数学（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]蓝云波.例谈圆锥曲线问题的几种解题新途径[J].数学教学，2016，（8）：32～36.

[3]蓝云波.活跃在各类考试中的对数平均不等式[J].数学通讯（下半月），2016，（2）：26～29.