小学数学认知拓展活动的选择与优化

吴央军 王微微

摘要 基于教材例题以及习题的难易程度来传授知识、掌握知识，往往与质量抽测之间存在一定的差异，这就需要开展认知拓展活动。在当前的教学形势下，立足教材，以微课为载体，依托微信与软件技术，不断挖掘知识点之间的内在联系，拓宽学生的知识面，从而提高学生灵活运用数学知识，解决生活实际问题的能力。

关键词 小学数学;认知拓展;活动;微课

一、小学数学认知拓展活动的深度辨析

（一）基于教学窘境的触发

同伴们经常遇到这样的窘境，感觉新课教学上得不错，学生作业也很好，可是一到质量抽测，学生的表现却有些不尽如人意。

是否试卷太难？询问出卷老师，出卷老师说，这道题的原型就是数学课本第几页第几题，并结合另外几道题改变的，这样的题目，既考数学知识，也考数学能力，更是中学学习数学的必要起点。出卷老师有根有据，话在理，而且题目也确实很经典，无可指责。

是否学生的问题呢？询问学生，学生说，这些题，我知道它要考什么数学知识，但是，就是没有找到方法，算出结果。看来学生也不是毫无所知，而是缺失某种能力。

考题是合理的，学生是懂事的，那考试成绩不理想，大多就是我们的课堂教学出了问题。

（二）基于教学反思的认知

回顾《圆环面积的计算》教学案例和学生学业测试的整个过程，我们可以认识到如下的事实：

（1）我们的课堂教学，主要认识了圆环的形状以及圆环面积的一般计算公式，本质上是学习关于圆环的数学知识，我们称之为知识建构。

（2）在配套练习中，大量的练习针对的是公式的直接应用，或者相关半径，直径，环宽等相互转换后的公式应用。另外，例如教材练习第6题，两个大小不同圆形完全重叠后，不管圆心是否重叠，它的阴影面积计算方法和环形一样。从中可看，练习主要针对的圆环的各种变化而带来的一些计算方法、策略、技能的训练。从本质上，练习不再停留于数学知识，而主要通过练习促使学生对圆环有一个较为全面和整体的认识，并掌握一定的方法技能和解决问题的策略，这是一个认知层面的学习，我们称之为认知建构。

（3）数学测试题常是一道经典题，之所以成为经典，是在于这个测试题的内在的数学知识和数学思维都具有代表性和典型性。很显然，这样的考试题不再是一般的认知方式能够解决，它需要整合更多的数学思想方法突破现有认知，我们将这样的认知过程，称之为认知拓展。

毫无疑问，知识建构、认知建构和认知拓展呈现一种逐步递进和上升状态，后者学习更难。遗憾的是，我们的数学教学，满含建构主义的思想，却仍然花了三分之二的时间用在知识建构，而另外三分之一的时间用在认知建构，而认知拓展仅仅成为课堂教学中的一种偶然点缀，可以说，认知拓展仍然是处于一种自然成长的状态。

二、小学数学认知拓展主题的选择

一般来说，小学数学认知拓展的选择有三个方向。

（一）小学数学认知方法的拓展

小学生习惯于直观获得知识，我们当然希望培养从直观到空间想象的能力，但事实上，没有深入解剖知识模型的拓展，学生就无法达成这样的目标。因此，认知方法拓展是小学数学课堂拓展的第一选择。

譬如圆柱体的认识，学生能直观获得圆柱的组成部分，圆柱是由两个底面和一个侧面构成，且两个底面是大小一样的圆形，而侧面展开一般是一个长方形，特殊的时候是一个正方形，如果沿着斜线展开，可能是一个平行四边形。但是同时，学生还有一种总想把物体剖开看看，里面是怎样的，但是事实上，我们对此缺少必要的拓展，因此，如果把圆柱体进行横截和竖切的解剖，就会拓展一系列的新认知，而且这些新认知是有价值的，同时是以后进一步学习几何形体的发展点和能力支撑点。

所以说，在直观基础上，进行深入的模型解剖常是数学认知拓展的第一选择。

（二）小学数学思想规律的拓展

小学数学以学习数学知识、方法为主，当然内在的数学规律也是重点内容之一，但是有时当数学知识和方法呈现一定的学习负担的情况下，数学思想规律常常被忽略。

例如，人教版六年级下册“圆柱体的认识”中有如下一題：

这就是一种数学思想规律拓展的重要考点设计，主要指向于怎样做一个最大圆柱的思想萌发。通过探究，最终发现在侧面积相等的情况下，圆柱的底面半径越大，它的体积就越大，并初次感受到指数级扩大的一些情景。

（三）小学数学综合能力的拓展

小学生掌握了一般的数学知识和方法外，有些能力培养需要一个漫长的形成过程，而且这些能力具有一定的阶段性，在特定的阶段中，当这种能力缺少拓展，就会给以后的学习带来困扰。

例如：圆柱体教学有如下一道题：

一个圆柱的侧面积是20平方分米，它的半径是5分米，求这个圆柱的体积。

如果按照常规思路，先算圆柱的高，再算圆柱的体积，发现计算会遇到除不尽的窘境，那怎么办？可以联想到探究圆柱体体积时，将圆柱体切割成长方体时，长方体的前面就是圆柱的侧面积的一半，而长方体的宽就是半径，这样长方体的体积，也就是圆柱的体积等于20÷2×5=50（立方分米）。这就是数学中常见的一种能力，转化能力。而转化能力显然不是一时形成，需要许多次的认知拓展后，逐步成为一种成熟的思想方法。因此，小学数学综合能力的拓展也是必须重视和长期坚持的一项教学任务。

三、小学数学拓展活动的一般结构

通过实践活动经验总结，我们认为小学数学拓展活动一般分以下几个环节：“操作准备、猜想验证、问题解决、发现规律、巩固运用”。

以上例图1的圆柱体积大小为例：

操作准备是认知拓展活动的基础环节，主要为学生提供丰富的感性经验，为学生进一步解决问题做准备。例如，要探究侧面积相等时，怎样围成体积较大的圆柱体？可以给学生提供一张纸，让学生尝试围成一个圆柱，并在小组中进行交流。

猜想验证：猜猜哪种围法体积最大？

问题解决：分组算算四种情况的体积。

以18为底面周长，求半径时用18÷3.14，计算极不方便，从而产生可以统一把π取3整数值。从而简化计算，而又达到验证的目的。

（18÷3÷2）2×3×2=4.52×3×2=20.25×6=121.5（平方分米）

（12÷3÷2）2×3×3=4×9=36（平方分米）

（9÷3÷2）2×3×4=1.52×12=27（平方分米）

（6÷3÷2）2×3×6=3×6=18（平方分米）

发现规律：

（1）当用面积一样的图形围成圆柱时，底面周长越长，体积越大。

（2）在追问中，获得数学原理，周长越长，是指半径越大，而半径越大（且大于1时），其平方值就更大。

侧面积相等的圆柱，底面半径越大，体积越大。

巩固运用：

在获得数学规律之后，常进行必要的相关练习，以加深对知识的理解与运用。

四、小学数学拓展活动的组织方式

在数学拓展活动中，常有以下三种组织方式：新知拓展、练习拓展、专题拓展。

新知拓展，即在数学新课教学中，就进行一些必要的拓展，例如以上的圆柱竖切和横截拓展，就可以在圆柱的新课教学，进行实施。一般来说，一些和新知联系紧密，且活动体量小，相对独立的拓展活动常与新课相结合。

练习拓展，有些拓展活动必须在学生熟练掌握一定的数学知识和方法后，才能进行一定的拓展，所以，这种拓展常与练习和作业相结合，所以称之为练习拓展。练习拓展本质上是一种对话作业，需要同学之间合作和交流，才能顺利达成目标，并取得最佳效果。同时，教师对话这样作业时，更应简洁明了且有力度地指向于拓展目标。

纵观教材的习题设计，仍然存在一些看不见的空洞留白，这就需要教师在教学过程中具有洞察的眼光，将其挖掘出来，从而使得习题变得更加饱满、有内涵，主要有以下几个步骤。

第一步：一线教师在教学的过程中，试图对教材习题中潜藏的探究内容挖掘出来，找到蕴含在其中的重要数学思想方法。

第二步：引导学生，利用网络的手段深入研究，开拓学生的思维空间。尤其是几何图形的探究，不仅仅局限于图形，更应该结合数据，真正将数形结合完美的诠释。

第三步：试图引发学生对数学内部之间联系的关注，关注数学能力的发展和数学活动经验的积累，也关注学生的发现和观点，多策略、创造性地解决问题，使学生在知识技能之外有所得。

【案例1】在方格纸上画几个长方形或是正方形，使他们的周长相等，然后比较它们的面积，你发现了什么？

这道题目的设置可以将图形和代数进行适当的衔接，真正诠释了数形结合，两位数的因数相当于长方形的长和宽，两个因数和一定，就是周长一定，两个因数相差越小就是长和宽越接近，积越大也就是面积越大。在对比中，让学生充分感受到数学的学习是连贯相通的，不仅掌握了基本的数学知识，也拓宽了学生的思维，增强了学生学习数学的兴趣。

专题拓展，有些拓展项目并非是孤立的，常贯穿于一个单元，甚至几个年段的全部，但一时难以达成目标，这样就需要设计一个专题的数学拓展训练。一般来说，这样的拓展，最有效，也最有创造性。

【案例2】

1.怎样把一块正方形铁皮制作成一个无盖的长方体铁盒？

生1：先把正方形铁皮的四个角各剪去一个小正方形，然后做成一个无盖的长方体铁盒。

生2：把正方形铁皮一边的两个角各剪去一个小正方形铁皮，焊接到对边去，做成一个无盖的长方体铁盒。

2.哪种方法做成的无盖长方体铁盒的体积大，为什么？

3.如果正方形铁皮的边长是18厘米，能做成多少种不同的无盖长方体铁盒？

4.要是剪去的小正方形边长是整厘米数，又有几种呢？

5.哪个无盖长方体铁盒的体积最大呢？

始终紧扣长方体体积的计算，围绕“怎么做最大”层层展开，步步紧逼。让学生在“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”中感悟数学无穷的魅力，激发创新的热情与欲望，真正体会到数学在解决生活实际中发挥举足轻重的作用。

五、小学数学拓展活动的优化策略

（一）健全微课资源，变革自主学习的新模式

我们根据教材的探究点加以梳理，整理出比较适合探究的认知拓展活动课程。

第一步：发布探究的课题。经过筛选，整理出适合研究的课题，再进行发布，供大家思考与选择。

第二步：自主学习。学生根据课题的内容，自己利用网络平台进行自我充电，比如观看教师精心准备的突破重难点的微课视频，进行线上的学习。

第三步：自主练习。有了线下学习的经验积累，再自己进行线上的向上网练习，以达到巩固的目的。

第四步：自我评价。对线上的向上网练习进行答案的校对，完成初步的自我评价。

第五步：教师个别指导。教师收集学生的资料，通过谈话、随访等形式对个别学生进行单独指导，真正实现因材施教。

第六步：经过教师的再次梳理与更新，把这样一套集课程情景教学素材、配套资料、拓展练习、学习反馈以及交流互动为一体的微课体系，分享到班級微信群，为学生的学习和交流提供了新的学习平台。

【案例3】三年级教材第30页的12题，如右图：

这道看似思维发散，实则心思缜密的题吸引了笔者的注意，教学完新课内容后，尝试把它发到微信群里，让学生们先自行探究，尝试设计合理的买票方式。学生们各抒己见，方式五花八门，最后把自己的想法亮出来交流、探讨，在不断的思想冲突中，筛选出最合理的买票方法，然后制成微课，发到班级微信群，供大家课后学习与分享，对于学生的学习尤其是潜能生更是意义非凡。

（二）借助软件，提升认知拓展活动课程的数字化水平

探究起源于课堂，又超越课堂，从课内的学习拓展到课外以及更广阔空间的学习，让学生进行更深层次的探究与学习，这就需要一定的软件支持。

第一步：合理选择智能化的学习工具进行演示、探究和自主学习。

第二步：进一步培养学生的数学素养以及基于网络环境下的学习能力，拓展学生自主学习的空间，培养学生自主学习的能力，收获属于自己的成功。

（三）开辟项目活动，实现课内外教学的有机衔接

探究是数学认知拓展活动课程提倡的一种重要的学习方式，旨在引导学生围绕一个问题综合运用自己已有的知识和经验，通过自主探索和合作交流，解决一些和数学知识、生活经验密切联系的实际问题，从而使学生的数学能力得到培养。

第一步：学生大胆思考，合作探究，把自己当作学习的主人积极地参与到学习中。

第二步：通过彼此之间的交互作用，建立一个新的学习共同体，每个学生亲自参与，自己动手，动脑做数学，充分利用互联网教学资源、社会教学资源和学校教学资源，经历时间和创新的过程，培养学生从数学的角度去观察和认知现实世界，提高运用数学知识去解决实际问题的能力。

认知拓展活动课程实属一条尚未开辟而必须经历的数学能力发展之路，任重而道远。教科书中例题与测试卷之间的差距强烈对比，不断向一线的教师要效率，要面向全体因材施教，要深挖教材，切实加强知识点之间的点、线、面联系，要不断拓宽学生的视野，拓展教学的空间，要时刻保持融洽的课堂氛围，激发学生学习的兴趣，尤其是对学生解决实际问题的能力有了更高层次追求，让学生的数学学习不断焕发人性的光辉和无穷的力量。