关于最速运动问题的探讨

■ 李泽昊

山东省泰安第一中学 山东泰安 271000

引言

在一些竞技运动中，如果是以时间长短决定胜负，沿着最快路径将获得更大的优势。最快到达最高速度对于建造过山车也有巨大的指导意义，那些造过山车的工程师总要绞尽脑汁在有限的垂降距离里，尽快达到最高速。我们现在对最速运动问题进行探讨，做出一些假设，来进行验证。

作出假设

方案1：两点之间直线距离最短，更短的距离或许会用时更短。

方案2：先让小球竖直下落，再让小球以很大的速度水平到达B点，更高的速度或许会用时更短。

方案3：沿摆线下落，起始近乎垂直加速，让物体获得了快速通过后半程水平位移的能力，平均速度最快。

摆线描述的是某个圆上的一点，在圆沿直线运动时候的滑过的轨迹。如图1。

图1

图2

方案3用时：

首先建立坐标系，可以已知摆线会经过坐标A点（0,0）和B点（1,1）

则方案3用时为0.424

通过以上结果对比可以知道摆线下降时间最短，摆线也称为最速曲线，有时候也被称之为“等时曲线”，你可以把物体放在“等时曲线”的任何位置上，它们都将以相同的时间滑落到同一个位置，位置越高的物体，将以更快的速度，和位置较低的物体一起通过最低点。

针对以上结论，通过模拟实验，我们同样可以进行验证。

寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图2所示。

A、B、C同时静止释放，同时下滑到最低点O。

由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O。

这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。

我们在计算机中按照简谐运动要求设置模拟运动轨迹，进行运动模拟实验。

从不同位置的起点释放，经过运动，到达轨迹最低点，当物体同时运动的时候，会发现不论位置高低，将会同时经过最低点。如图3所示。然后经过最低点后，根据能量守恒定律达到对称位置，相同高度。

图3

图4

总之，最速运动路线的形成必须是在确定的速度场中，而确定的速度场的形成又必须是在保守的力场中。在非保守力（如摩擦力）场中是绝对不行的。保守场的方向和强度分布不同，最速运动路线的类型也就不同。它可能是滚摆线（也叫旋轮线），但也完全可能是别种线。所以滚摆线未必总是最速线，它必须在特定的情况下才能成为最速线。

结束语：

最速运动路线的研究与发现，在物理学和几何学上都有着重大的意义，它填补了人类科研史上的一项空白。物体是没有思想的，更不可能想那么长远，使自己能沿着用时最少的路线运动。不仅保证自己在每个微分段用时最少，还能保证在整体上也用时最少。但是如果给它一个合适的机制，那么就能使它走出用时最省的路线，这不难理解。对于这一问题的研究，人们曾走了许多弯路，耗费了无数人的精力；可现在我们所得到的运动制约竟是如此简单，真是出人预料，令人叹奇！