浅析利用几何模型求函数最值

摘 要：在生活中，常要考虑在一定的条件下，怎样使成本最低，使收益最大等最优化问题。这类问题一般都是转化成求函数的最小值或最大值问题。最大值和最小值统称为最值。如何分析一个函数最值问题的几何意义？对于比较简单的函数最值问题，通过直接转化，就可得到几何意义。这就要求不但要具有从几何上观察、分析与思考问题的意识，而且还要熟悉各种常见曲线的方程、常见的几何量和几何关系，并且明确它们的几何意义。这样让解题显得新颖而巧妙，起到意想不到的效果。

关键词：几何；模型；函数

一、 构造距离模型

【例1】 求y=2t2+（2sinθ-2cosθ-4）t-4sinθ+5（t，θ∈R）的最小值。

分析：所要求的二元函数中的两个变量t，θ之间没有任何关系。但仔细观察函数发现此二元函数正好可以配成（cosθ-t）2+（sinθ-2+t）2。根据此形式联想到两点间的距离公式，问题转化为求两点之间距离的最小值。

图1

解：如图1建立平面直角坐标系，设圆O：x=cosθy=sinθ，θ∈[0，2π）及直线l：x+y=2

则y=2t2+（2sinθ-2cosθ-4）t-4sinθ+5=（cosθ-t）2+（sinθ-2+t）2

可以看成圆O上一点A（cosθ，sinθ）与直线上一点B（x，x-2）之间距离的平方。

作圆O：x2+y2=1及直线l：x+y=2。过点O作OB⊥l于B，OB交圆O于A点，如图1所示。圆O上点到直线距离的最小值是：|AB|=|OB|-|OA|=|0+0-2|12+12-1=2-1

故最小值是（2-1）2即3-22，即ymin=3-22。

评述：当目标函数的形式为f（x，y）=（x-a）2+（y-b）2时，可以从它的结构特征类比联想到两点之间的距离公式，从而把求最值问题转化为求两点之间距离的最值问题。

二、 构造定比分点模型

【例2】 求函数y=cosx-2cosx+2的最值。

解：由y=cosx-2cosx+2=-1+12cosx1+12cosx，

利用定比分点坐标公式x=x1+λx21+λ，可令A（-1，0），B（1，0），λ=12cosx，由此知-12≤λ≤12。

当λ=-12时，y=-1+-121+-12=-3；

当λ=12时，y=-1+121+12=-13。

∴ymin=-3，ymax=-13。

评述：此题同样可以用直线的斜率模型来求解，大家可以试一试比较这两种方法的特色。

三、 建立二次曲线模型

【例3】 已知实数x，y满足等式3x2+4y2=12，求S=x2+y2-2x+2y+2+2x2+y2-2x+1的最小值以及相应的x、y值。

分析：观察已知条件，关于x、y的方程表示一个椭圆，我们设法把S表示为距离之和。

解：由于3x2+4y2=12可化为x24+y23=1，即表示动点 M（x，y）在长轴长为4，短轴长为23，焦点为（±1，0）的椭圆上运动。

而S=x2+y2-2x+2y+2+2x2+y2-2x+1M（x，y）表示动点P（1，-1）的距离与焦点F（1，0）距离的两倍之和，即S=|MP|+2|MF|。

又上述椭圆的离心率e=12，以及圆锥曲线的统一定义|MF|d=e，得d=2|MF|，故S=|MP|+|MF|e=|MP|+d。

图2

如图2所示，Smin=|PN|=3，易得点M坐标为263，-1，即此时x=263，y=-1。

评述：转化是数学解题中的重要策略，转化策略作为数学思想方法，是在考虑问题时，直接解决有困难的问题而改变思维的方向。正如该题若用纯代数的方法来做定很复杂，但若建立了兩曲线相交的模型，问题就转化为两曲线相交时求k的最值。而k的值很容易从图形的直观性得知。当然这就要求学生熟悉各种二次曲线的代数表达式。

四、 利用复数的模

将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复数模的不等式，也是解决某些无理函数最值的有效方法。但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数。

以上就是本文整理出的有关求函数最值问题的几种模型。由于最值问题的解题方法的灵活多样性，在求最值问题的过程中，应重视思想方法的渗透。利用几何中的相关知识构造几何模型求解有关函数的最值问题，可化难为易，化生为熟，并且过程简捷而又生动形象，思维广阔而又富有创意，能使我们从中深刻领悟到数与形的完美结合和本质上的高度统一，感受到数学的无穷魅力，激发对探索美妙数学世界的向往和追求。

作者简介：

邹强，四川省广安市，广安友谊中学实验学校。