向量在平面几何中的应用

摘 要：向量在中学学习和研究中占有比较重要的地位，在平面几何中有着广泛的应用，如何用向量的知识去解决平面几何问题是比较重要的。向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题。实际向量在几何类问题中的考察要多角度，多方位的思考，注重数形结合，增加思维维度。

关键词：向量；平面几何；方法；应用

一、 证明线段平行问题

证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件：a∥ba=λb（x1y2-x2y1=0）。

【例1】 如图1，若ABCD是平行四边形，EF∥AB，AE与BF、DE与CF分别相交于N和M。求证：MN∥AD。

图1

分析：本例是典型的平面几何问题，如果利用平面几何知识证明，很难找到突破口，而且思维过程较复杂，但用向量法处理就可使得问题变得简单多了，关键在于已知向量或基向量的确定。

要证明MN∥AD，只要证明AD=λMN（λ≠0）即可。

证明：∵EF∥AB，

∴△NEF∽△NAB。

设AB=λ′EF（λ′≠1），

则ANEN=λ′，

∴AN-ENEN=AEEN=λ′-1，

∴AE=（λ′-1）EN，

同理，由于EF∥DC得DE=（λ′-1）EM，

于是AD=AE-DE=（λ′-1）EN-（λ′-1）EM=（λ′-1）（EN-EM）=（λ′-1）MN，

令λ=λ′-1，则AD=λMN（λ≠0），

∴MN∥AD。

二、 证明线段垂直问题

证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥ba·b=0（x1x2+y1y2=0）。

【例2】 如图2所示，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足OE=OA+OB+OC。求证：AE⊥BC。

图2

分析：要证AE⊥BC，即证AE·BC=0，选取OB，OC，将AE，BC表示出即可。

证明：∵ AE=OE-OA

=（OA+OB+OC）-OA

=OB+OC，

又∵BC=OC-OB，

∴AE·BC=（OC-OB）·（OC+OB）=|OC|2-|OB|2，

∵O為外心，∴|OC|2=|OB|2，

即AE·BC=0，AE⊥BC。

做题过程中，我们通常需要建立平面几何与向量的联系，确定已知向量或基向量，将其余所需要的向量用已知向量或基向量表示，或建立平面直角坐标系，将所需要向量用坐标表示出来，即用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，注意分清已知向量和未知向量，进而选择适当的向量运算公式和定理，通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，最后将运算结果还原成几何关系。

三、 用向量解决问题的一般方法

用向量的方法解决平面几何问题可以分为三步：

1. 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。

2. 通过向量运算、研究几何元素之间的关系。

3. 把运算结果“翻译”成几何关系。

向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性。因而向量方法是几何研究的一个有力工具。而“三步曲”给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想。在解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键。

作者简介：

叶巧渝，重庆市，重庆育才成功学校。