滞后型脉冲微分方程的有界变差解

李宝麟, 安晓伟, 苟海德

(西北师范大学 数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070)

Henstock-Kurzweil积分包含了Riemann积分和Lebesgue积分[1],这类积分的一个典型特征是如F′(t)这样的高振动函数的积分可以定义,其中F(t)=t2sin t-2,t∈(0,1],F(0)=0.Henstock等[2]于1957—1958年建立的Henstock-Kurzweil积分在常微分方程问题研究中有很好的应用.李宝麟等[3]借助Henstock-Kurzweil积分研究了一类滞后型泛函微分方程

的有界变差解的存在性.本文在文献[3]的基础上,借助Henstock-Kurzweil积分,考虑滞后型脉冲微分方程

(1)

的有界变差解的存在性,其中t0∈R,r≥0,σ≥0,x∈Rn表示定义在[t0-r,t0+σ]上的函数.对任意的t∈[t0,t0+σ],定义函数xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],Ik:Rn→Rn连续,k=1,2,…,m,t0

(2)

本文假定滞后型脉冲微分方程的右端函数所满足的条件比文献[4-6]更为广泛,假定被积函数f是Henstock-Kurzweil可积的,且φ是正则函数.

1 Henstock-Kurzweil积分

引理1.2[6]如果u在[a,b]上Lebesgue可积,则它在[a,b]上H-K可积.

引理1.3[6]如果u在[a,b]上是非负的且H-K可积,则它在[a,b]上Lebesgue可积.

定理1.4设u,um:[a,b]→Rn,m=1,2,…,其中{um}在[a,b]上H-K可积.如果:

(i) 存在正值函数δ:[a,b]→R+,使得对任意的ε>0,存在P:[a,b]→N及定义在闭区间J⊂[a,b]上的正值超可加区间函数Φ:J⊂[a,b]→R+,满足Φ([a,b])<ε,使得对每个τ∈[a,b]及δ-精细区间[τ,j],τ∈J,当m>P(τ)时,有

‖(um(τ)-u(τ))|J|‖≤Φ(J);

(3)

(4)

则称u在[a,b]上H-K可积,且

(5)

证明易知Rn-值函数是收敛的当且仅当它的每个分量都收敛.因此,不失一般性,仅考虑实值函数序列.设u是一个实值函数,由(3)式有

|(um(τ)-u(τ))|J||≤Φ(J).

再由文献[8]的定理1.29,结论成立.

2 滞后型脉冲微分方程

本章主要回顾滞后型脉冲微分方程及相关的结果.

显然,当函数x∈G-([t0-r,t0+σ],Rn)时,对任意的t∈[t0,t0+σ]都有xt∈G-([-r,0],Rn).

令H1⊂G-([-r,0],Rn),{xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}⊂H1,假设f(t,xt):(t,xt)∈[t0,t0+σ]×G-([-r,0],Rn)满足以下条件:

(A) 存在正值函数δ(τ):[t0,t0+σ]→R+,使得对每个区间[u,v]满足τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,t0+σ]及x∈G1,都有

‖f(τ,xτ)(v-u)‖≤|h(v)-h(u)|;

(B) 对每个区间[u,v]满足τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,t0+σ]及x,y∈G1,都有

‖f(τ,xτ)-f(τ,yτ)‖(v-u)≤
ω(‖xτ-yτ‖)|h(v)-h(u)|,

其中,h:[t0,t0+σ]→R是不减的左连续函数,ω:[0,∞)→R是连续的增函数,且ω(r)=r,r≥0.

定义2.1设Ω⊂[t0,t0+σ]×H1是开集,若函数f:Ω→Rn是Carathéodory函数,如果f满足条件(A)和(B),则f∈H(Ω,h,ω).

证明设ε>0给定,由条件(B),对每个τ∈[α,β]⊂[t0,t0+σ],t1≤τ≤t2,[t1,t2]⊂[α,β],有

‖f(τ,(xk)τ)-f(τ,xτ)‖(t2-t1)≤
ω(‖(xk)τ-xτ‖)(h(t2)-h(t1)).

(6)

令

函数μ:[α,β]→R是不减的且μ(β)-μ(α)<ε,因此

由于对每个t∈[α,β],函数ω在0处连续,则存在p(τ)∈N,使得对k≥p(τ),有

令Φ(J)=μ(t2)-μ(t1),J=[t1,t2],对k≥p(τ),不等式(6)可写为形式

其中τ∈J⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[α,β].

S={x∈Rn:‖x‖

(7)

证明由于每个有界变差函数都是有限阶梯函数的一致极限[9],由推论2.3,结论成立.

(8)

成立.

由ε>0的任意性有

下面考虑方程(2)的脉冲项,对脉冲函数Ik:Rn→Rn,k=1,2,…,n,假设以下条件成立.

(C) 存在一个常数K>0,使得对所有的k=1,2,…,n及x,y∈Rn,有

Ik(x)-Ik(y)≤K|x-y|.

给定一个d∈[t0,t0+σ],定义

则

且方程(2)等价于

3 有界变差解的存在性

定义3.1[10]x(t,t0,x0),t∈[t0,T]⊂[a,b]是滞后型脉冲微分方程(1)的解,如果:

(ii)x(t)在[t0,T]上的任意紧子区间是有界变差的;

(iii) 对t∈[t0,T],有(x,t)∈G;

(v)Δ(t)|t=tk=x(tk+)-x(tk)=Ik(x(tk)),tk∈[t0,T].

定理3.2设f∈H(Ω,h,ω).如果x:[α,β]→Rn,[α,β]⊂[t0-r,t0+σ]是方程(6)的一个解,则x在[α,β]上有界变差且

证明令α=t0

引理3.3设X是Banach空间,U是X中的有界闭凸集,T:U→U连续且T(U)列紧,则T在U上必有一个不动点.

定理3.4设φ是H1上的函数,f∈H(Ω,h,ω),Ik:Rn→Rn满足条件(C),且对θ1,θ2∈[-r,0],有

‖φ(θ1)-φ(θ2)‖≤|h(θ1)-h(θ2)|,

(10)

则对每个(t0,φ)∈Ω,存在Δ>0,使得方程(2)在区间[t0-r,t0+Δ]⊂[t0-r,t0+σ]上存在解

G-([t0-r,t0+Δ],Rn).

证明考虑以下2种情形:函数h:[t0,t0+σ]→R在点t0处连续及不连续.

首先,设函数h在点t0处连续,即有h(t0+)=h(t0).由于G1是开集,则存在Δ>0,使得对任意的t∈[t0,t0+Δ]⊂[t0,t0+σ]及x∈Rn有

‖x(t)-φ(0)‖=‖x(t)-x(t0+)‖<
|h(t)-h(t0)|, (t,xt)∈Ω.

‖z-φ(0)‖≤‖zk-z‖+‖zk-φ(0)‖<ε+b,

即有

‖z-φ(0)‖≤b.

类似地,对每个t∈[t0,t0+Δ]有

从而,对任意的ε>0及t∈[t0,t0+Δ],当k∈N充分大时有

即有

其中,

h(t)=h1(t)+h2(t),

其中θ1=s-t0∈[-r,0].令

b=max{|h(t0+Δ)-h(t0)|,

|h(θ1)-h(θ)|},

(11)

取t0≤s1

和

因此

由ε>0的任意性有

及

(13)

从而由函数ω1=ω(r)+K在0处连续,且ω1(0)=0,有

从而由(13)式有

再由(11)式有

另一方面,对t∈[t0-r,t0]有

(Tzk)(t)=φ(t-t0)=(Tz)(t),

则Tzk→Tz(k→∞),即T是连续映射.

最后,证明T(Q)⊂Q在Banach空间BV([t0-r,t0+Δ],Rn)是序列紧的.

由(8)式有y∈BV-([t0-r,t0+Δ],Rn),且易证

从而T是序列紧的.

下面考虑函数h在点t0处不连续.定义

类似于上一种情形,存在Δ>0,使得对t∈[t0,t0+Δ]⊂[t0,t0+σ]及x∈Rn,(t,xt)∈Ω,有

G-([t0-r,t0+Δ],Rn).

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