初探圆锥曲线中的定点和定值问题

圆锥曲线中的定点与定值问题，这类问题是高考的热点问题，近年来高考较多以解答题形式出现，这部分知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高，也综合考查了各种解题技能和思想方法.

关键词：圆锥曲线；定点；定值；参数

處理定点定值问题，常用两种解答思路：一是先研究特例下的定点或定值，下一步论证一般情况也成立；二是由已知条件列出方程或方程组，通过消参，确定定点或定值。

一、 定点的探究与证明

例1（2017·全国卷Ⅰ） 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.

（1） 求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.解： （1） 略解C的方程为x24+y2=1。

（2） 证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2。

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为t，4-t22，t，-4-t22，

则k1+k2=4-t2-2t-4-t2+22=-1，得t=2，不符合题设.从而可设l：y=kx+m（m≠1）.将y=kx+m代入x24+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0。由题设可知Δ=16（4k2-m2+1）>0。

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1。而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2。由题设k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，即（2k+1）·4m2-44k2+1+（m-1）·-8km4k2+1=0，解得k=-m+12。当且仅当m>-1时，Δ>0，于是l：y=-m+12x+m，即y+1=-m+12（x-2），所以l过定点（2，-1）。

定点问题小结：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点，再进行一般性证明。

二、 定值的探究与证明

例2（2017·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx-2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）。当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由。（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。解：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2满足x2+mx-2=0，所以x1x2=-2。又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1·-1x2=-12，所以不能出现AC⊥BC的情况。（2）证明：BC的中点坐标为x22，12，可得BC的中垂线方程为y-12=x2x-x22。

由（1）可得x1+x2=-m，所以AB的中垂线方程为x=-m2。

联立x=-m2，y-12=x2x-x22又x22+mx2-2=0，可得x=-m2，y=-12。

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为-m2，-12，半径r=m2+92。

故圆在y轴上截得的弦长为2r2-m22=3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。

定值问题小结：求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的值，说明证明其为定值。

参考文献：

[1] 教研通讯，2014.

[2] 教研通讯，2016.

作者简介：唐群海，福建省泉州市，泉州实验中学。