迟滞和蠕变补偿的F-P滤波器波长解调方法研究*

路元刚 王 缘 彭楗钦 杨雁南 赵 宁 王同光

(1.南京航空航天大学理学院，南京，211106； 2.南京航空航天大学江苏省风力机设计高技术研究重点实验室，南京，210016)

引 言

光纤布拉格光栅(Fiber Bragg grating，FBG)由于其体积小、精度高、响应快、耐腐蚀及电磁绝缘等优良特性，过去几十年在各类结构的温度与应变传感领域得到了蓬勃的发展[1-4]。FBG对温度与应变的测量，可通过探测其反射或透射中心波长的改变量来实现。对FBG反射或透射中心波长的解调方案中，可调谐法布里-珀罗(Fabry-Perot, F-P)滤波器解调法是应用较多的方法[5]。而获得可调谐F-P滤波器的透过波长，一般是利用F-P滤波器驱动电压和透过波长之间的近似线性关系来解调。但在实际应用中，因F-P滤波器中的运动部件锆钛酸铅压电陶瓷(Pb(Zr1-xTix)O3，PZT)具有迟滞和蠕变等不良特性，导致不同时刻同一驱动电压对应的F-P滤波器输出波长不同，解调误差较大，因此需要针对PZT的迟滞和蠕变进行补偿控制。目前在一些高电压精密位移驱动领域已有PZT迟滞和蠕变补偿控制研究。Kuhnen等人使用改进Presiach控制模型将PZT驱动位移误差降低到了4%[6]，Ru等人使用开环控制的方法将PZT位移跟踪误差降到了2%[7]，Xiao等人利用Bouc-Wen逆模型方法使低频正弦波驱动的PZT位移误差降低到了0.05 μm[8]。上述研究中，PZT上所加的驱动电压范围大、电压变化速度快，而F-P滤波器中的PZT所加驱动电压范围较小、电压变化速度较慢，其PZT的迟滞和蠕变特性有所不同。在F-P滤波器驱动电压控制研究中，刘琨等研究了F-P滤波器中的PZT迟滞补偿方法[9]，王鹏等人利用改进串联方法对F-P滤波器驱动电压和输出波长进行实时校准[10]，于效宇等人设计并联实时校正系统，对F-P滤波器迟滞特性进行控制[11]。但目前未见从研究F-P滤波器中的PZT迟滞和蠕变特性进行补偿控制研究的报道。本文针对一般使用环境下F-P滤波器中的PZT驱动电压范围较小、电压变化速度较慢的特征，提出了一种基于热标准具与PZT迟滞和蠕变补偿控制的F-P滤波器解调方法，对F-P滤波器的迟滞和蠕变特性进行补偿，控制PZT的驱动电压随时间非线性改变，使宽带光源经过F-P滤波器输出的波长能随时间等间隔变化，以获得随时间线性变化的标准具透射谱峰值波长，作为波长标尺的“刻度线”，为解调传感光栅的波长提供精确的波长基准。

1 工作原理

1.1 基于标准具的FBG传感系统工作原理

基于标准具的FBG传感系统，是通过控制F-P滤波器使宽带光源输出的波长随时间线性改变，将标准具输出的光谱各峰值波长作为波长标尺上的刻度线，通过确定FBG传感器反射波长在波长标尺上的位置解调出FBG反射峰波长实现温度与应变的传感。

基于标准具的FBG传感系统如图1所示，C波段宽带光源输出的连续光经光隔离器进入F-P光纤可调谐滤波器，在电压信号的驱动下可调谐滤波器在不同时刻输出不同波长的光信号。光信号经耦合器分光：一路作为探测信号经环行器和FBG传感器，当光信号的波长与某个FBG传感器的中心波长相等时，光信号被反射，经环行器被光电探测器PD2探测，该时刻探测到电脉冲的峰值位置对应FBG的中心波长；另一路信号进入标准具，标准具为光梳状滤波器，输出信号被光电探测器PD1探测，其在不同时刻输出的光谱各峰值波长作为波长标尺上的刻度线。由于FBG通道和标准具通道的光信号在时间上可视为同步，可比较光栅反射峰与标准具峰值的采样点相对关系来解调光栅波长。两路电信号经过两通道同步的采集卡进行A/D转换，在计算机中进行滤波、寻峰和计算，可获得温度和应变的测量结果。

该实验系统中采用热稳定标准具作为解调FBG传感器波长的波长标准器件，与传统的参考光栅相比，标准具具有参考峰多、波长漂移小等优势。本文系统是以FBG反射峰和标准具的多个峰之间的采样点差距为基础，通过波长与时间(采样点)的线性关系来解调FBG波长。如图1所示，因标准具的透射波长与可调谐F-P滤波器的波长相同，会因F-P滤波器中PZT的迟滞和蠕变出现标准具峰值波长间隔与时间变化不成线性的情况，导致作为“波长标尺上刻度线”的标准具峰值波长间隔不按照线性变化，给后继对传感光栅波长的解调带来误差。因此，非常有必要对F-P滤波器中PZT的迟滞和蠕变进行补偿控制，使F-P滤波器的透射波长随时间线性变化。

1.2 F-P滤波器工作原理及波长解调方法[12]

F-P滤波器内有一F-P谐振腔，谐振腔由两面反射镜组成，两面反射镜平行放置且镀有高反膜，其中一面反射镜固定，另外一面反射镜贴附在PZT上，只有满足F-P腔谐振加强条件波长的光才能出射，F-P滤波器的出射光波长和F-P谐振腔腔长之间的关系为

2nd=kλ

(1)

式中：k为正整数；d为谐振腔腔长；n为谐振腔介质折射率；λ为F-P滤波器输出波长。控制PZT的伸长量以调节F-P腔的腔长，可以改变F-P滤波器输出波长。由式(1)可以得到腔长改变量Δd与波长改变量Δλ之间的关系为

(2)

从式(2)可知，F-P腔的腔长改变量和F-P腔输出波长改变量成线性关系，所以研究F-P滤波器的输出波长改变量与研究F-P腔的腔长改变量等效。在PZT不存在迟滞和蠕变的理想情况下，PZT的伸长量与加在其上驱动电压的改变量成线性关系，F-P滤波器输出波长改变量也随驱动电压改变线性变化。但因PZT一般都会存在迟滞和蠕变，导致了驱动电压随时间线性变化、而对应的F-P滤波器输出波长不随时间线性变化的情况。因此，为了提供随时间线性变化的波长标尺(标准具透射谱峰值波长)，必须对F-P滤波器的迟滞和蠕变特性进行补偿，控制PZT的驱动电压随时间非线性改变，使F-P滤波器输出波长随时间线性变化。

图2 FBG波长解调方法Fig.2 Wavelength demodulation method for FBG

在获得随时间线性变化的波长标尺后，FBG传感器的波长可通过比较FBG反射峰与标准具透射谱峰值的相对位置来解调。如图2所示，因FBG通道和标准具通道的光信号在时间上同步，FBG反射谱与标准具透射谱的采样信号时间上同步，可画在同一张图上以相同的时间基准进行对比。假设标准具透射峰值波长之间的采样点为K1，波长间隔为Δλe，若标准具的第i个反射峰峰值波长为λei，标准具的第i个峰pi和FBG反射峰pFBG之间的采样数据点为Δgi，则可以解调出某一FBG的波长。标准具共有N个峰，则可以获得该FBG波长的N个解。为了消除标准具峰寻峰带来的误差，将这些波长取平均，则FBG波长λFBG为

(3)

在FBG反射谱与标准具透射谱上确定FBG反射谱中心波长与标准具透射谱峰值波长时，本文使用高斯拟合寻峰的方法确定峰值位置，利用最小二乘法逼近最佳模型[13]。

1.3 PZT的迟滞和蠕变补偿控制

图3 F-P滤波器中PZT所加驱动电压随时间的变化 Fig.3 Change of driving voltage of PZT in F-P filter with time

F-P滤波器中PZT所加驱动电压随时间的变化，一般如图3所示。

在一个电压加载内，驱动电压从0瞬时升到初始电压V0，在τ1时间内随时间线性增加到V1，然后降到0，在τ2时间段电压保持为0以使PZT恢复到初始状态。这种类锯齿波的周期电压加载方式，其PZT蠕变的不利影响小于传统三角波的周期电压加载方式。尽管如此，这种电压加载方式还是会引起PZT的蠕变和迟滞，需要研究迟滞和蠕变的特性，并进行相应的补偿控制。

1.3.1 PZT的蠕变补偿

PZT的蠕变特性主要是指PZT所加电压改变时，PZT伸长到一定长度后会继续伸长，经过一段时间之后达到稳定。一般F-P滤波器中PZT的驱动电压范围比较小(几伏至十余伏)，且所加电压值在不断变化。所以本文只需考察在驱动电压范围内若干电压值处蠕变量的变化值，根据蠕变量的变化值对驱动电压进行相应的补偿。

在一个较小(1～2 V)的电压范围uj和uj+1之内，一般用对数模型[14]描述PZT的蠕变

(4)

式中：i为非负整数；γ为电压范围[uj,uj+1]内表示PZT伸长快慢的无量纲常数；Δt为实验测量时的数据采样间隔；L(iΔt)为PZT在t时刻(t=iΔt)的伸长量；L0为t=0时的PZT伸长量。PZT开始蠕变时长度为L0，此时F-P腔腔长为最大值dmax，PZT长度L(iΔt)与F-P腔长d之和为定值D，即L(iΔt)+d=D，结合式(1)可得到F-P滤波器的输出波长λ与iΔt之间的关系为

(5)

λ=c0+c1·log10(t+c2)

(6)

对蠕变的补偿，首先在驱动电压范围内均匀选取M个电压值u0，u1，u2, … , uM-1，测量它们的蠕变速度。以最小电压值u0在该电压保持时间内的蠕变量v0为基准，将其他电压值uj(j=0,1, …, M-1)对应的蠕变量vj和v0相减得到Δvj，根据该差值对电压进行补偿。假定uj～uj+1共q个步进电压值，每个步进电压PZT的蠕变时间都相等，则uj～uj+1由于蠕变改变量导致的波长误差为Δvj·q。补偿这个波长误差需要的电压值Δuj为

Δuj=-K2·Δvj·q

(7)

式中K2为F-P滤波器的驱动电压与波长线性拟合得到电压-波长系数。将这个电压值Δuj均分到uj～uj+1之间的步进电压上，则uj～uj+1电压范围内的所有电压值都需要加上UC来补偿蠕变，UC的大小为

(8)

1.3.2 PZT的迟滞补偿

PZT的迟滞特性是指PZT的伸长量不仅与驱动电压有关，还与所加驱动电压的历史过程有关。在以往对PZT的研究中，对PZT的迟滞特性描述常用的数学模型有Presiach模型[15]、KP模型[16]和Duhem模型[17]，但这些模型中PZT驱动电压由步进的上升电压和下降电压共同组成，不适合描述F-P滤波器中的PZT迟滞特性。对于如图3所示的PZT驱动电压方式，多项式拟合方法是一种比较有效的迟滞特性描述模型。Jung等人[18]和Sun等人[19]提出了基于三阶多项式拟合的迟滞模型，对PZT进行补偿控制都取得了一定的效果。但是他们的驱动电压范围较大(0～120 V)，并且电压变化较快(整个电压变化周期为0.5 s)，与F-P滤波器使用时的驱动电压情况明显不同。在他们的方案中，由于电压范围大，迟滞比较明显，所以仅需三阶多项式拟合就可以比较准确地描述迟滞特性。但是一般F-P滤波器驱动电压范围仅有10 V左右，所以描述这样小电压范围对应的迟滞，需要更高阶(四阶或四阶以上)的多项式拟合才能比较准确反应其中的细节。

本文采用的方法首先是给F-P滤波器施加步进一致并且保持时间相同的电压。对标准具的N个峰值波长点进行考察，因这N个点的波长已知，可得到这些峰值对应的驱动电压值。对波长与电压的关系用四阶多项式拟合，来确定F-P滤波器中PZT的迟滞特性(由于波长与F-P滤波器腔长成线性关系，本文直接用波长描述PZT的迟滞特性)。波长与电压的关系应为

(9)

式中as为波长-电压拟合系数。对于迟滞的补偿，由于本文目标是让波长随时间线性变化，取标准具的前两个峰之间的波长与采样点数的比值K3作为基准，控制其他峰值波长与采样点之间的比值等于K3。若假定t=0时第一个峰值波长为e，则波长随时间线性变化的目标函数为

λ(t)=K3·t+e

(10)

为便于计算，将式(9)中波长与电压位置互换，直接拟合得到电压与波长关系

(11)

式中bs为电压-波长拟合系数。将式(10)代入式(11)，可得到对迟滞补偿之后电压与时间的关系为

(12)

若每个电压保持时间为τu，则可以得到补偿迟滞的驱动电压值为

(13)

将迟滞和蠕变补偿的电压值相加，即可得到电压控制方案的所有输出电压值U。具体方法为将式(13)计算出来的迟滞补偿电压值按蠕变测量时的M个电压值u0，u1，u2, … ,uM-1分段，在每段加上相应的蠕变补偿电压值UC，即

U=UC+UH=-K2·Δvj+UHuj

(14)

2 PZT蠕变和迟滞特性测量及其补偿控制

2.1 F-P滤波器中PZT蠕变特性测量及补偿

考察F-P滤波器中PZT在不同电压时的蠕变量，取13，14，15，16，17 V共5个电压处进行测量。选择标准具输出光强与波长成线性关系的采样数据区域，将标准具的输出光强进行归一化处理，根据标准具的光强变化可以解调出波长变化。利用式(6)对蠕变时的标准具光强输出进行拟合。以13 V时的蠕变量为基准，将其他驱动电压对应的蠕变量与其相减，根据蠕变量的改变值对各个电压作补偿。

如图4所示，拟合13, 14, 15, 16, 17 V时蠕变引起的标准具输出波长变化量，分别为-1.70×10-2, -1.72×10-2, -1.56×10-2, -1.54×10-2和-1.53×10-2nm。根据式(8)得到14, 15, 16, 17 V需要补偿的蠕变改变量对应的电压值，分别为3.31×10-5, -2.63×10-4, -3.02×10-4和-3.37×10-4V。这些电压值较小，本文实验中使用的电压源精度只有1 mV，无法实现对PZT蠕变变化量进行补偿，所以将其放在迟滞中一起补偿。若使用0.01 mV高精度的电压源，可按本文方法对F-P滤波器中PZT蠕变有效补偿。

2.2 F-P滤波器中PZT迟滞特性测量及补偿

实验中使用的标准具在ASE光源波长范围内共有47个峰，在这些峰之间有一个缺峰标记点，通过标记点可以准确地推断出这47个峰的波长。F-P滤波器的迟滞特性，会导致扫描出来的标准具的峰值波长间隔与时间(采样点)的比值不一致，后续使用采样点解调FBG波长，其精度会受到影响。首先对F-P滤波器的迟滞特性进行测量，将F-P滤波器在标准具47个峰值波长处的电压与波长进行四阶多项式拟合，得到F-P滤波器电压升高段的迟滞特性，如图5所示。对F-P滤波器的驱动电压与输出波长进行线性拟合和三阶多项式拟合的结果也在图5中给出。

图4 F-P滤波器在不同驱动电压时蠕变引起的标准具输出波长改变量Fig.4 Output wavelength change of etalon caused by creep with different driving voltages of F-P filter

图5 F-P滤波器的驱动电压-输出波长拟合Fig.5 Fitting of driving voltage and output wavelength of F-P filter

F-P滤波器驱动电压与输出波长进行线性拟合、三阶多项式拟合和四阶多项式拟合的标准差(RMSE)分别为2.43×10-2，1.46×10-2和1.35×10-2V。由此可知，线性拟合误差最大，四阶多项式拟合相较三阶多项式拟合效果更好。按照式(11)，四阶多项式拟合得到的参数b4，b3，b2，b1，b0分别为-5.46×10-7，3.37×10-3，-7.82，8 053和-3.11×106。将这些拟合结果代入式(12)，可以得到用于补偿控制的驱动电压随时间变化的公式为

U(t)=-2.25×10-20×t4+3.87×10-15×t3-2.50×10-10×t2+9.46×10-5×t-12.37

(15)

式中：t=iΔtout，单位为ms；i为非负整数；Δtout为不同电压输出的时间间隔，在本文实验中为110 ms。在该电压控制方案中，每个电压输出的保持时间为110 ms。

3 实验结果

3.1 补偿前后标准具透射谱峰值波长与时间的线性度对比

图6 控制前后拟合波长与实际差值 Fig.6 Fitting and actual wavelength differences before and after control

使用式(15)确定的驱动电压控制方案控制F-P滤波器输出。在补偿控制前后分别用线性拟合标准具输出波长与采样点(时间)，并用实际波长与直线拟合得到的波长相减，得到的未控制与控制后的波长偏差，如图6所示。从图6可以看到，补偿控制前，47个波长的偏差整体呈V型，严重偏离水平零线，表明标准具输出波长与时间成非线性。而补偿控制后47个波长的偏差整体上与水平零线重合，意味着标准具输出波长与时间成线性。

控制前后标准具输出波长误差如表1所示，最大误差由未控制的0.227 2 nm减小到控制后的0.013 8 nm，标准差由未控制的0.127 4 nm减小到控制后的0.007 0 nm。因此可以明显看到经过补偿控制，标准具输出波长与时间的线性度大为改善。

表1 补偿控制前后标准具输出波长误差比较

3.2 不同温度时光纤光栅波长解调结果

为了验证本文提出方法的效果，本文测试了在-20，-10，0，10，20，30，40和50 ℃时温度敏感光栅的波长，并将结果和光栅出厂测试报告进行了比较。实验时将光栅置于温度箱中，为了消除温度箱的温度漂移对系统测试的影响，在每个温度下测量10次取均值。

本文以FBG出厂测试值作为标准参考值，由图7可见，补偿控制解调出的温度敏感光栅波长与测试报告值非常吻合，波长最大差值为4.00×10-3nm，对应的温度差为0.46 ℃。而驱动电压未进行控制时，解调出的光栅波长与标准参考值之差最大为8.00×10-2nm，相应的温度差为8.89 ℃。

图7 控制前后解调效果对比Fig.7 Demodulation performance before and after control

本文使用的热标准具在-5～75 ℃波长最大漂移量为6.63×10-3nm，所以标准具温度漂移大约是8.29×10-5nm/℃，这可能是引起上述测量误差的一个因素。

4 结束语

本文针对FBG光纤传感中F-P滤波器中的PZT驱动电压范围较小、电压变化速度较慢的特征，提出了一种基于热标准具与PZT迟滞和蠕变补偿控制的F-P滤波器解调方法，研究了F-P滤波器中PZT的迟滞和蠕变特性，并据此进行补偿，控制PZT的驱动电压随时间非线性改变，使宽带光源经过F-P滤波器输出的波长能随时间等间隔变化。由此获得了随时间线性变化的标准具透射谱峰值波长，作为波长标尺的“刻度线”，为解调传感光栅的波长提供了精确的波长基准。实验结果表明，本文提出的方法与未进行迟滞和蠕变补偿控制的方法相比，温度测量精度提高约20倍，温度测量误差小于0.5 ℃。

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