数学教学中的哲学味——以“因数与倍数”教学为例

□荀步章

儿童是天生的哲学家。当代哲学家周国平说：“哲学不具备简单意义的实用性，它是无形、无限与无定。如果把科学比作一片广袤的大地，那么，哲学就是一片无限的天空。”如何培养小学生的哲学数学思考意识，引发他们追问 “从哪里来” “怎样去找”“有何特征” “到哪里去”，数学教学应该有自己的回答，在反复追问与辩证理解中发展学生数学的综合素养。笔者通过 “因数与倍数”一课想表达一点哲学数学的思考。

一、从哪里来

师：数学要研究 “数”，一年级开始，我们就学习自然数，自然数包括哪些数？

生： 0， 1， 2， 3， 4……

师：今天研究的数指不是0的自然数，叫非0自然数。

1.除法运算

师：数学要研究两个数之间的关系，老师用两个自然数做了几道除法算式。

依次出示： 12÷2=6 8÷3=2……2 36÷9=4 19÷7=2……5 15÷15=1 1÷2=0.5

师：仔细观察思考，谁来把这些算式分类？

学生尝试分类：

第一类： 12÷2=6 36÷9=4 15÷15=1

第二类：8÷3=2……2 19÷7=2……5

第三类：1÷2=0.5

师：怎样想的？

生：第一类算式中的每一个数都是自然数，第二类算式中都有余数，第三类算式中有小数。

师：特别研究第一类算式，像这样，被除数、除数和商都是自然数，没有余数。比如，12÷2=6，我们就可以说12是2的倍数，2是12的因数。也可以说，12是6的倍数，6是12的因数。

师：谁来说一说36÷9=4这道算式中因数与倍数的关系。

生：36是9的倍数，9是36的因数，36是4的倍数，4是36的因数。

生：15是15的倍数，15是15的因数。15是1的倍数，1是15的因数。

师：谁愿意出一道除法算式，让其他同学说一说。

……

【反思】从一年级认识的一个自然数出发，学生很熟悉，接着，用两个非零自然数做除法运算，寻找符合整除的算式，并聚焦这一类算式，被除数、除数和商都是整数，没有余数，发现两个数之间的因数与倍数关系，完全符合数论基础。因数与倍数是相互依存的辩证关系，有因数就有倍数，有倍数就有因数，中间用 “与”连接。因数与倍数从哪里来，从整除运算中来。

2.图形表示

师：用小方块拼长方形，一排摆6个，摆2排，一共用了多少个小方块，怎么算？

生： 6×2=12。

师：这道乘法算式里有因数与倍数关系吗？

生：6和2都是12的因数，12是6和2的倍数。

师：这幅点子图，怎么算？

生： 12×1=12。

师：谁来说一说，这道乘法算式中有因数与倍数关系吗？

生：12和1都是12的因数，12是12和1的倍数。

师：这是一幅线段图，怎样求乙？

生： 4×3=12。

师：谁来说一说，这道乘法算式中有因数与倍数关系吗？

生：4和3都是12的因数，12是4和3的倍数。

师：这些图形中的数可以选0吗？

生：不能，因为选0就不能构成图形了。

师：这也说明了因数与倍数研究的是非0自然数。因数与倍数是从哪里来的？从乘法、除法运算中来，从图形的表示中来。

【反思】亚里士多德说： “哲学是一切学问中最为自由的，因为它仅仅为了自身而存在。”因数与倍数是一种依存关系，通过整除运算让学生理解还不完整，借助图形表示，在乘法运算中同样存在因数与倍数的关系。跳出除法算式，建构乘法意义的因数与倍数。这一组图形数形结合，使学生进一步理解因数与倍数的意义。

二、怎样去找

1.找12的因数

师：老师找了几份研究单，一起来分享一下。

生：通过除法来寻找12的所有因数，从1开始，12÷1=12， 12÷2=6， 12÷3=4， 12 的 因 数 有1， 2， 3， 4， 6， 12。

师：朱同学找的非常好，掌声表扬。他用了什么好方法？

生：按顺序找。

生：按自然从小到大的顺序。

生：用乘法算式来找的，1×12=12，2×6=12， 3×4=12， 12 的因数有 1，12，2，6， 3，4。

师：蒋同学找的也非常好，但她写的因数没有按自然数顺序。

师： （电脑演示）第一步怎么找？用乘法或除法找。第二步怎么算？乘法先算1×12=12、2×6=12、3×4=12； 除法算 12÷1=12、 12÷2=6、 12÷3=4。 不论乘法还是除法都需要有序一一列举。第三步怎么写？先写1和12，一前一后，再写2和6，一前一后，最后写3和4，这样成对写很快，而且有序。

怎么找？ 乘法 除法

怎么算？

1×12=12 12÷1=12

2×6=12 12÷2=6

3×4=12 12÷3=4

怎么写？ 12的因数有1，2，3，4，6，12.

【反思】给学生问题挑战，尝试找出12的所有因数。学生受起始学习影响，部分学生用除法运算去找，还有学生用乘法算式有序找到12的所有因数，在具体写出12的所有因数时，注意一前一后成对有序写，学生感受到数学思考的理性与思辨。

2.分组找15、36、16的所有因数

师：第一组找15的所有因数，第二组找36的所有因数，第三组找16的所有因数。

先独立完成，再与同学交流。

生： 用乘法找，1×15=15，3×5=15，15的因数有1，3，5，15。在数直线上圈出来。

生： 用乘法找， 1×36=36， 2×18=36， 3×12=36， 4×9=36， 6×6=36， 36的因数有1， 2， 3， 4， 6， 9， 12， 18， 36。这里的6有2次，为了不重复，写一个就行了，并在数直线上圈出来。

生： 用乘法找， 1×16=16， 2×8=16， 4×4=16，16的因数有1，2，4，4，8，16。这里的4也有2个，我多写了一次，应该去掉一个4。

师：这三位同学都用乘法有序找了一个数的因数。

【反思】在全班找12的所有因数的基础上，放手让学生自主探索一个数的所有因数，全班分3个小组，每人完成一个数，强化寻找的过程，按自然数顺序一一列举，强调相同因数只要写一个，借助数形结合，把每个数的因数成对在数直线上表示出来，与写因数的过程一一对应。

3.分组找2、3、5的倍数

师：带着找一个数因数的方法，试着找一个数的倍数。第一组找2的倍数，第二组找3的倍数，第三组找5的倍数。

师：有什么问题吗？

生：一个数的倍数有无数个，怎么写？

师：一般写出前6个，加上省略号。

学生一一找2、3、5的倍数。全班交流反馈。

生：用乘法算式一一列举，1×2=2，2×2=4，3×2=6，等等，2的倍数有2，4，6，8，10，12……

生：用乘法算式一一列举，1×3=3，2×3=6，3×3=9，等等，3的倍数有3，6，9，12，15，18……

生：用乘法算式一一列举，1×5=5，2×5=10，3×5=15， 等等， 5的倍数有5，10， 15， 20， 25， 30……

师：怎样去找一个数的因数呢？

生：用自然数1、2、3……与它相乘，很快就能找到一个数的倍数。

【反思】找一个数的倍数学生很容易，以找一个数因数为基础，用乘法计算，从自然数1开始，依次与这个数相乘，口算思考都简单。这里主要解决写多少、怎么写的问题。学生开始就有疑惑，一个数的倍数无限个，怎么办呢？按规定写出6个，加上省略号，表示无限多。

三、有何特征

师：电脑呈现，回顾找一个数因数的过程。

15的因数有1，3，5，15

36的因数有1， 2， 3， 4， 6， 9， 12， 18， 36

16的因数有1，2，4，8，16

师：仔细观察每一个数的因数，有何特征？

生：一个数的因数中最小是1。

生：一个数的因数中最大的是本身。

师：15有几个因数？36和16呢？

生：4个、9个和5个。

师：一个数的因数个数是有限的还是无限的？

生：有限的。

师：再一起回顾找一个数的倍数过程。

2的倍数有2，4，6，8， 10，12……

3的倍数有3，6，9，12，15，18……

5的倍数有5，10，15，20，25，30……

师：仔细观察一个数的倍数，有何特征？

生：一个数的倍数中最小的是它本身。

生：一个数的倍数没有最大的，因为自然数有无数个。

生：一个数的倍数个数是无限的。

师：思考一下，找一个数的因数和倍数有什么相同点和不同点？

生：相同之处是因数和倍数都是从乘法、除法的角度去寻找，有序地找，因数、倍数中都有本身。

生：不同之处，一个是从本身开始向内找，有限个；一个是从本身向外找，无限个。

课件呈现：

师：我们研究了因数与倍数，表示两个数的相互依存关系。一是从哪里来？整数乘法、除法运算和图形表示中都可以找到因数与倍数。二是怎样去找？用乘法或除法去找，有序找，成对找。三是有何特征？一个数的因数个数是有限的，在1到它本身之间；一个数的倍数是无限的，从它本身开始，没有最大的。还有一个问题需要思考，就是 “到哪里去”。

【反思】学生通过探索学会了找一个数的因数和倍数，回顾反思，列举15、36、16的所有因数，发现一个数的因数最小的是1，最大的是它本身，个数是有限的，还相机呈现维恩图的表示方法、数直线的表示方法，多元表征形象理解。再回顾寻找2、3、5的倍数过程，发现一个数的倍数最小是它本身，最大的不存在，个数是无限的。辩证思考理解，找一个数的因数由本身向内寻找，而找一个数的倍数是由本身向外寻找。

四、到哪里去

1.生活中

师：生活中有关于求一个数的因数与倍数的问题吗？

问题一：乘坐小船每人应付4元，填写表格。

师：怎么填？

生： 12， 16， 20， 24……

师：这是求一个数的倍数，还是因数？

生：求一个数的倍数。

问题二：24个学生表演团体操，填写表格。

师：怎么填？

生： 8， 6， 4， 3， 2， 1。

师：这是求？

生：求一个数的因数。

2.数学中

师：数学中求一个数的因数还有研究，老师想给大家介绍一个特别的数6。6的因数有哪些？

生：1， 2，3， 6。

师：除去6本身，把剩下的因数相加。你发现了什么？

生：结果还是等于6。

师：这样的数很特别，数学家们将具有这一特点的数称之为完美数。6就是第一个完美数。想知道第二个完美数是多少吗?

生：想!

师：透露一下，比25大，比30小。

组内分工合作，看看哪一小组最先找出第二个完美数!

学生很快找出了第二个完美数28。

师：其实，人们对于完美数的探索兴趣是永无止境的，找到了第二个完美数，人们就开始寻找第三个、第四个，看……

师：想一下，要找出这些完美数来，有什么感觉？

生：我觉得太了不起了！

生：这需要付出多大的艰辛呀!

师：究竟是什么力量，吸引着一代又一代数学家为此付出毕生的心血呢？

生：是完美数本身。

生：是他们对于数学的热爱。

生：对于数的好奇心。

师：数学王子高斯说过，数学是自然科学的皇后，数论则是数学的皇冠。今天时间有限，我们只看到了皇冠上一粒小小的珠子，但只要我们沿着这条路走下去，一定会收获很多东西。同学们，努力吧！未来属于你们！

【反思】学生学完因数与倍数后，心中会有疑惑，因数与倍数有什么用？这里从两个方面进行延伸，一是从生活中的问题入手，如坐船付钱问题是求一个数的倍数，团体操表演问题是求一个数的因数；二是从数学本身出发，找出一个数的因数，除去本身，把剩下的数相加，若等于它本身，这个数就是完美数，进行数学探究精神的教育，引发学生热爱数学的兴趣。

【整课反思】本课想体现一点哲学数学的味道，通过 “为什么、是什么、怎么办”的追问，让学生整体理解因数与倍数的相互依存关系。为什么要研究？怎么研究？还有什么？除此之外，我们还想体现一点其他味道：

一是 “数学味”。从例题改编出来，强调直观，从非0自然数引入，探索整除算式，数形结合思考，一一有序列举策略等，想呈现一种数学味。

二是 “儿童味”。让学生在个人独立探索一个数的因数与倍数，小组交流、全班展示的过程中发现一个数因数与倍数的特征，让儿童自主生长发展，促进学生学习能力的提升。

三是 “问题味”。杜威说： “教育中永远成功的教学方法是，给学生一些事情去做，不是给他们一些东西去学。”学生探究找12的所有因数，在思考与交流中提升，对比发现一个数因数与倍数特征的异同，追寻数学问题横纵联系。

四是文化味。因数与倍数是同时存在的，谁也离不开谁。除法算式关系如何表示？乘法算式关系如何表示？如何求出一个数因数与倍数，由本身向内、由本身向外寻找的方法，慢慢体会两者的关系，满足不同学生学习差异需求。

正如俞正强老师在 《人民教育》2017年第10期开篇一文所说， “干所有的事情，都要先明白我要干什么，上课亦是如此。”