高中数学教学中“与圆相关的两类直线”探究

倪伟伟

时下，很多教师对圆x2+y2=r2过点M（x0，y0）的切线方程x0x+y0y=r2的实质以及两圆方程相减所得直线的实质进行了广泛探究.其实，这两类直线分别是圆的极线和定幂差线，本文试图对这两类直线加以介绍，以飨读者.

一、圆的极线

1.圆的极线与极点的概念.设圆O是平面上半径为r的定圆，M是平面上异于点O的任一点，在射线OM上，求一点M′使OM·OM′=r2；过点M′且垂直于OM的直線l叫作点M关于圆O的极线，M点叫作直线l的极点.

依据定义很容易得到以下性质：

2.圆心O与极点M的连线OM和极线l垂直.

3.设圆心O到极线l的距离为d，则OM·d=r2.

4.定圆的极线方程：设定圆O的方程为x2+y2=r2，点M（x0，y0）是平面上异于O点的任一点.则点M（x0，y0）的极线是l：x0x+y0y=r2.

5.点关于圆的极线的三种位置情形

结论1 若极点M在⊙O上，则点M的极线是过点M的⊙O的切线（证明略）.

结论2 若点M在⊙O的外部，则点M的极线是从M向⊙O所作两切线的切点的连线.

分析 依据同一法可知，要证明点M的极线是从M向⊙O所作两切线的切点的连线，即证明从M向⊙O所作两切线的切点连线的方程亦为x0x+y0y=r2.

由结论2易知：若点M在⊙O的外部，则点M的极线是圆的一条割线，反之，割线的极点在圆外.

结论3 若点M在⊙O内部，则过点M作两条割线，两割线极点的连线即为点M的极线.

分析 依据同一法可知，要证明点M的极线是从M向⊙O作的两割线极点的连线，即证明两割线极点连线的方程亦为x0x+y0y=r2.

命题 若M（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，过M点作两条割线CD，EF分别交圆于点C，D，E，F，以C，D为切点的切线交于A点，以E，F为切点的切线交于B点，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2.

图1

证明 直线CD是以A点引出的两条切线的切点弦，M是其上一点，由结论2知OM·OA=r2.

同理：OM·OB=r2，

∴OM·（OA-OB）=0，

即OM⊥AB.

∵P是直线AB上一点，

∴OM⊥AP，

∴OM·（OP-OA）=0，即OM·OP=OM·OA=r2，

即直线AB的方程为x0x+y0y=r2（如图1所示）.

二、定差幂线

1.定差幂线：平面上M动点与两定点O1、O2距离的平方差等于定值的轨迹，称为这两点O1、O2的定差幂线.

2.两圆方程与两圆心的定差幂线

命题 设⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，则直线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0为O1、O2两定点的定差幂线.

3.定差幂线与两圆的连心线O1O2垂直

命题 设⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，则O1，O2两定点的定差幂线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0与O1O2垂直.

证明 O1O2=D22-D12，E22-E12，直线l的法向量为n=（D1-D2，E1-E2），

∴n=-2O1O2，∴O1O2⊥l.

4.定差幂线上任一点与两圆的幂（切线长）相等

5.定差幂线与两圆的关系

（1）若两圆相交，则定差幂线l为两圆公共弦所在直线（证明略）.

（2）若两圆相切，则定差幂线l为两圆的公切线（证明略）.

（3）若两圆外离时，任作一圆⊙O，使之与⊙O1，⊙O2都有公共弦，两公共弦所在直线交于一点M，过点M且与O1O2垂直的直线即为定差幂线.

分析 依据同一法可知，要证明过点M且与O1O2垂直的直线即为定差幂线，即证明过点M且与O1O2垂直的直线方程亦为（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0即可.

命题 设⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，任作一圆⊙O：x2+y2+Dx+Ey+F=0，使之与⊙O1，⊙O2都有公共弦l1，l2，两公共弦所在直线交于一点M，试证明过点M且与O1O2垂直的直线的方程亦为（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0.

证明 设M（x0，y0）是公共弦l1，l2的交点，则直线公共弦l1，l2的方程分别是：

l1：（D1-D）x+（E1-E）y+F1-F=0，l2：（D2-D）x+（E2-E）y+F2-F=0，

所以M（x0，y0）满足：

（D1-D）x0+（E1-E）y0+F1-F=0，（1）

（D2-D）x0+（E2-E）y0+F2-F=0，（2）

两式相减得：

（D2-D1）x0+（E2-E1）y0+F2-F1=0，

O1O2=D1-D22，E1-E22.

过点M（x0，y0）且与直线O1O2垂直的直线l上异于M点的任一点为P（x，y），MP=（x-x0，y-y0）.

∵O1O2⊥MP，

∴（D2-D1）（x-x0）+（E2-E1）（y-y0）=0，

∴（D2-D1）x+（E2-E1）y=（D2-D1）x0+（E2-E1）y0=F1-F2，

经检验点M（x0，y0）也适合，∴过点M与O1O2垂直的直线的方程亦为（D2-D1）x+（E2-E1）y+F2-F1=0.

证毕.endprint